非线性发展方程求解的研究

北京邮电大学硕士学位论文非线性发展方程求解的研究姓名刘建国申请学位级别硕士专业应用数学指导教师李叶舟20070301独创性或创新性声明本人声明所里交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京邮电大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。本人签名二4垂至耻日期兰乙蔓一关于论文使用授权的说明学位论文作者完全了解北京邮电大学有关保留和使用学位论文的规定，即研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属北京邮电大学。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。保密的学位论文在解密后遵守此规定保密论文注释本学位论文属于保密在一年解密后适用本授权书。非保密论文注释本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。本人签名导师签名日期坦2墨日期弓寸哆一北京邮电大学硕士研究生论文非线性发展方程求解的研究摘要在许多像流体力学、生物、数学、等离子体、光学、通信等自然科学领域里，孤立子得到了广泛的研究和应用，具有非常重要的意义。本文主要研究几个非线性发展方程的求解，包括以下几个方面的内容1获得了变系数GINZBURGLANDAUGL方程的一些新的精确解类孤子解，相似解等。通过将一假设直接带入变系数GL方程，我们可以获得它的一些新的精确解类孤子解，相似解等，随后分析和讨论了这些精确解的性质和特点。2进一步研究了广义复变系数GL方程的解的情况。利用一个特殊的变换，在变系数满足一定的约束条件时，能够将广义复变系数GL方程转化成一些已知的经典方程，如KADOMTSEVPETVIASHVILI旧方程。而这些己知的经典方程已经被做了很多的研究工作，人们获得了它们的各种各样的解的情况，将这些解带入已经构造的变换中，我们就能够得到广义复变系数GL方程相应的解。3探讨了广义变系数KP方程的自BICKLUND变换和孤波型解。我们应用截断PAINLEV6展开法和符号计算得到了广义变系数KP方程的一个自BICKLUND变换。通过使用这个自BIICKLUND变换我们得到了广义变系数KP方程的孤波型解。4进一步推广了齐次平衡法，并用推广后的齐次平衡法获得2I维广义变系数KDV方程的自B2ICKLUND变换及更多的孤子型解。5利用经典LIE群方法和推广的TANH函数法分别获得2I维球KP方程新的相似约化，类孤子解及三角周期解。北京邮电丈学硕士研究生论文关键词非线性发展方程；孤子；刍BFICKLUND变换；KP方程；GL方程；齐次平衡法；推广的TANH函数法；经典LIE群方法。北京邮电大学硕士研究生论文THESTUDYOFNONLINEAREVOLUTIONEQUATIONSANDSOLUTIONSABSTRACTINMANYNATURALSCIENCELIKETHEFLUIDDYNAMICS，BIOLOGY,MATHEMATICS，PLASMAPHYSITS，OPTICSANDCOMMUNICATION，SOLITONSHAVEBEENWELLSTUDIEDANDWIDELYAPPLIED，WHICHHAVEIMPORTANTPAR7SICSSIGNIFICANCEINTHISPAPER,WEFOCUSONSOMESOLITONSOLUTIONSOFTHENONLINEAREVOLUTIONEQUATIONSNLEESTHEMAINRESULTSAREBRIEFLYSTATEDBELOWFIRST，SOMENEWEXACTSOLUTIONSSOLITONLIKESOLUTIONS，SIMILARITYSOLUTIONSETCOFTHEGENERALIZEDVARIABLECOEFFICIENTGLEQUATION,INCLUDINGBRIGHTANDDARKSOLITONLIKESOLUTIONSTITLEINVESTIGATEDBYPUTTINGADIRECTANSIITZINTOTHEGENERALIZEDVARIABLECOEFFICIENTGLEQUATION,WEOBTAINITSSOMENEWEXACTSOLUTIONSSOLITONLIKESOLUTIONS，SIMILARITYSOLUTIONSETC，SUBSEQUENTLY,WEANALYZEANDDISCUSSTHEPROPERTIESANDPECULIARITIESOFTHOSEEXACTSOLUTIONSSECOND，WEGO011INVESTIGATINGTHEGENERALIZEDCOMPLEXGLCGLEQUATIONWITHVARIABLECOEFFICIENTINVIRTUEOFASPECIALTRANSFORMATION，THECGLEQUATIONCANBETRANSLATEDINTOSOMEKNOWNCLASSICALEQUATIONSWITHSOMECONSTRAINTSABOUTTHEVARIABLECOEFFICIENTS，SUCHASKPEQUATIONHOWEVER,THESEKNOWNCLASSICALEQUATIONSHAVEBEENWIDELYSTUDIED，ANDMANYKINDSOFSOLUTIONSAREOBTAINEDSUBSTITUTINGTHESESOLUTIONSINTOTHESPECIALTRANSFORMATIN,WECANOBTAINTHECORRESPONDSOLUTIONSOFTHECGLEQUATIONTHIRD，BASEDONTHETRUNCATEPAINLEV6EXPANSIONMETHODANDSYMBOLICCOMPUTATION，THEAUTOBIICKLUNDTRANSFORMATIONOFTHEGENERALIZEDVARIABLECOEFFICIENTKPGKPEQUATIONISOBTAINED，AND北京邮电大学硕士研究生论文SOMESOLITONTYPEDSOLUTIONSCANBEGOTBYUSINGTHEAUTOBFICKLUNDTRANSFORMATIONFOURTH，USINGTHEEXTENDEDHOMOGENEOUSBALANCEMETHOD，WEDERIVETHEAUTOBLCKLUNDTRANSFORMATIONANDMORESOLITONTYPEDSOLUTIONSOFTHE21一DIMENSIONALGENERALIZEDVARIABLECOEFFICIENTKDVEUATIONFIFUL，INVIRTUEOFTHECLASSICALLIEGROUPMETHODANDTHEEXTENDEDTANHFUNCTIONMETHOD，WEOBTAINTHESIMILARITYREDUCTION，MULTIPLESOLITONLIKEANDTRIANGULARPERIODICSOLUTIONSOFTHESPHERICALKADOMTSEVPETVIASHVILISKPEQUATION，RESPECTIVELYKEYWORDNONLINEAREVOLUTIONEQUATIONS；SOLITON；AUTOBLICKLUNDTRANSFORMATION；KPEQUATION；GLEQUATION；HOMOGENEOUSBALANCEMETHOD；EXTENDEDTANHFUNCTIONMETHOD；CLASSICALLIEGROUPMETHOD4北京邮电大学硕上研究生论文第一章绪论现代自然科学和技术的发展，正在改变着传统的学科划分和科学研究的方法。“数、理、化、天、地、生”这些曾经以纵向发展为主的基础学科，与一些新技术相结合，使用计算机方法，推出了横跨多种学科门类的新兴领域。其中，非线性学科的发展是它的一个重要特征。然而，在当时人们并没有看到他们之间的内在联系【11。在应用数学学科的众多问题中经常会遇到大量的能反映各种因子或各种物理量之间相互制约和相互依存关系的非线性方程，一般可以称为非线性演化或发展方程NONLINEAREVOLUTIONEQUATIONS。本世纪60年代中期以来，非线性波动的研究有了惊人的进展，主要表现在1965年美国数学家NJZABUSKY和MDKMSKALL21，通过高速电子计算机的数值分析，发现了孤立子SOLITON；此后不久，在1967年，CSGARDNER，JMGREENE，MDKRUSKAL和MMIURAT3】提出了解KDV方程的反散射方法INVERSESCATTERINGMETHOD。由此推动，二十多年来，一些崭新的处理非线性问题的数学方法与技巧发展起来，并得出许多结果，且在流体力学，物理及许多技术部门，如基本粒子ELEMENTARYPARTICLE，等离子体PLASMA，位错DISLOCATION，晶格1ITTICE，激光LASER及气象学METEOROLOGY等许多领域，都得到了广泛的应用，引起了科学界的极大关注LL”。本章主要讲述孤子的产生和历史，研究现状和发展趋势以及本文的安排。11孤立子的发现和研究概况孤子SOLITON是最早在自然界观察到，并且可以在实验室产生的非线性现象之一。历史上，孤波的发现和孤子概念的建立，是从一维浅水槽中小振幅波的研究开始的。由于人们对自然现象的细心观察而发现了孤波，随后又进行了认真的试验研究和理论工作，导出了描述这一物理现象的KDV方程。通过对KDV方程的数值研究，发现孤波相互作用后仍能保持各自的波形和速度，从而进一步建立了“孤子”概念【191。1834年，英国科学家约翰斯科特罗素JOHNSCOTTRUSSELL偶然观察北京邮电丈学硕士研究生论文到一种奇妙的水波141。这种波以确定的形状和速度运动，在碰撞时彼此互相穿透，速度没有任何改变。他把这种始终保持在水面上，向前平移的孤立水峰，叫做孤立波。但遗憾的是，受当时科学水平的限制，在他有生之年，没有从理论上对这种孤立波现象给出合理的数学解释。到了1895年15I，即孤立波发现60多年以后，为从理论上阐明JSRUSSELL的孤立波现象，在瑞典AMSTERDAM大学数学教授KORTEWEG的指导下，他的学生DEVRIES写了一篇博士论文，首次提出了流体中单向波的传播的数学模型，运动方程是百DR辩昙如十J12JI盯1这里吁是相对于静止水平面的波峰高度，Z是静水深度，G是重力加速度，岔和仃是与水的特性密度，表面张力等有关的常数，通过适当的变换方程111可以化为塑6“一0U20A盘由7这就是通常所说的KORTEWEGDEVRIES方程，简称KDV方程，但是他们的工作并没有引起人们的足够重视。在孤立波的发展中，值得提出的一个重要问题是EFERMI，JPASTA，SULAM以下简称FPU在计算机上进行的一维非谐晶格的试验研究，发表了“STUDIESOFNONLINEARPROBLEMS”一文【6】，再次引起人们的兴趣。其实初看起来，这个问题似乎与KDV方程，孤立波没有什么关系，实际上这个问题的研究，在揭示孤立波的奇特性质，导致孤立波的广泛应用以及开拓非线性行为研究的新天地，起着非常重要的作用。在实验中，他们取了64个点，初始时刻能量集中在某几个上，其余的能量为零。根据经典理论，他们预料随时间的增加，能量将会均匀分布。但实际计算的结果与他们预料的相反经过很长时间后，能量的分布几乎又回到了初始分布的状态；再计算下去，过程近似于重复。这使他们及听到这个试验结果的人们大吃一惊。这个实验结果实际上是对当时物理学家基本思想的一种挑战，这就是所谓的FPU问题。为了能从理论上正确解释FPU问题，NJZABUSKY和MDKRUSKALI791，从连续体的观点研究了FPU问题，得到了KDV方程，它有孤立波解。从而表明了在流体力学以外的物理领域也出现了孤立波，同时也将圆满地解释FPU问题。1962年，PERRING和SKYRMELL01把SINEGORDON方程的孤立波解作为物质基本北京邮电大学硕士研究生论文粒子的一个模型，用计算机实验来研究这种模型的基本粒子在碰撞COLLISION时如何散射。计算结果表明，孤立波并不散射，在碰撞后与碰撞前有同样的波形与速度。1965年，NJZABUSKY和MDKRUSKAL21把KDV方程用于等离子体波的研究，借助电子计算机详细考察了等离子体中孤立波的互相碰撞过程，计算机再次表明两个孤立波碰撞后仍以它们碰撞前的同一形状和速度离开。孤立波的这种经碰撞不改变波形和速度的非常稳定的奇特性质，正像物理上的粒子一样。所以NJZABUSKY和MDKRUSKAL就用孤立子SOLITON这个词来生动地表示孤立波的粒子行为。从此，孤立子作为应用科学中的新概念而诞生了，并第一次出现在文献上。从此以后，曾长期被埋没的孤立波才放出它奇妙而夺目的光彩。孤立子一词常在广泛的范围内被引用，但无一般形式的定义因为它还在发展中，给它下严格的定义比较困难，且为时尚早。并非所有的孤立波都是孤立子，虽然孤立子源于KDV方程的孤立波，随着研究的深入发展，人们很快发现，除KDV方程外，许多具有物理意义的重要的非线性方程都具有孤立子解。如SINEGORDON方程UX,SINU112有扭状KINK孤立子解，非线性SCHR6DINGER方程有包络ENVELOP孤立子解。其他如BOUSSINESQ方程，HIROTA方程，BENJAMINONO方程都有形式不同的孤立子解。孤立子是各种各样的，除上边说过的脉冲状或钟状如KDV方程的孤立子解的孤立子，扭状孤立子，包络孤立子外，还有正孤立子，反孤立子ANTISOLITON，呼吸子BREATHER，BOOMERONS，TRANPPONS以及它们的叠加形成的形形色色的孤立子。孤立子的重要特性的表现在于粒子性质，不在于其形状。目前，较为完整的数学和物理的孤立子理论正逐步形成，国内外在这方面出版了很多专著M。孤立子理论既包括了粒子理论，也包括了物理理论、数学的严密性和物理的启发性和实用性二者相结合，相互依赖，相互渗透，相互促进，使孤立子理论显示出强大的生命力。12近期发展的特点自1975年至今的二十多年间，孤子理论研究蓬勃发展，从PERMUTERMSUBJECTINDEX”提供的统计数字看，含有“孤子”或“孤波”一词的论文数目几乎是直线增加。这不仅是由于孤子理论的发展已经具备了必备的数学工具和在众多的学科里确认孤子的存在，而更重要的是发现孤子有许多实际应用，因而吸引了各国北京邮电大学硕士研究生论文学术界的重视，投入越来越多的人力和资金，国际性的学术会议相继召开。1978年7月在英国牛津召开了“凝聚态物理中的非线性孤子结构和动力学会议”以及在OOTEBORG召开了“物理学中的孤子”会议。此外，在国际非线性科学会议中孤子也是会议内容之一。由于非线性科学的日趋重要，国际性非线性科学的杂志也相继问世。专门干0登非线性科学论文的期刊PHYSICAD于1980年出版，此后新期刊不断发行，仅在1991年就有五种期刊创刊它们是CHAOS，SOLHONSANDFRACTALS，OOUMALOFNONLINEARSCIENCEJ，NONLINEARSCIENCETODAY，CHAOSANINTERDISCIPLINARYJOURNALOFNONLINEARSCIENCE，INTERNATIONALJOURNALOFBIFURCATIONANDCHAOSINAPPLIEDSCIENCEANDENGINEERING。孤子在高科技方面的应用最具代表性的当属光纤中的光孤子。它具有长距离传输损耗小，无需中继站比特率单位时问传输的信息量高等优点，获得广泛的重视。由联合国教科委组织，国际原子能机构和国际理论物理中心于1995年二月在意大利联合召开“光纤中超快速传输系统”会议，其内容大部分是讨论光孤子问题。在我国，孤子理论的研究开始于20世纪70年代。当时，杨振宁，李政道，陈省身教授等回国讲学时，向国内同行介绍孤子理论的研究进展，并指出它的重要性。随后在中国科学院和国内部分高等学校相继开展了这方面的研究工作。曾于1980年在厦门，1986年在上海分别召开了小型讨论会，推动了孤子理论的研究活动。我国从事孤子理论和实验研究的人力、物力增加的很快。用检索词“孤子”从1989年到2002年在重庆维普中文科技期刊全文数据库中可以检查到1700多篇相关的文章，而其中半数以上与光纤孤子通信有关。从上面简单的介绍可以看到孤子理论和孤子物理学发展的概况。那么近期的反展和以前的发展有何不同它具有什么特点呢粗略的概括，有四个特点，即由一维到多维，由单一的孤子演化方程到耦合演化方程组；由经典到量子；由单学科到多学科交叉由理论研究到实际应用【201。13非线性偏微分方程我们重点研究的是偏微分方程的应用，数学和应用数学中的众多问题中遇到的偏微分方程也很多，经常提到和用到的有21】1LIOUVIUE方程最简单的二维LIOUVIAE方程的一般形式为O北京邮电大学硕士研究生论文岛一O，阻。，它在微分几何，量子场论等问题中经常出现。2BURGERS方程BURGERS方程是非线性的耗散热传导，扩散和黏性方程，其一般形式为扣軎一O，M。，其中1为耗散系数。3KDVKORTEWEGDEVRIES方程KDV方程是非线性的频散方程，其一般形式为知知雾一O，M。，其中为频散系数。4KDVBURGERS方程KDVBURGERS方程是既包含耗散作用又包含频散作用的非线性演化方程，其一般形式为娶。拿一，害粤O，百“面一Y爵万20134。5KDVBURGERSKURAMOTO方程KDVBURGERSKURAMOTO方程，又称为BENNEY方程，其一般形式为詈“罢口害雾，器”M。，百“石口丽丽，丽N3舢其中为频散系数，口和，分别表耗散和不稳定作用。6MKDV方程MKDV方程，也称为变形的KDV方程，其一般形式为害耐矿A2U窘”136它是用摄动法或级数展开法求解较复杂的非线性演化方程时，高阶近似所满足的方程。北京邮电大学硕士研究生论文7非线性KLEINGORDON方程非线性KLEINGORDON方程的普遍形式为萨A2U一22丽02U川仉137其中为常数，VU为系统的势能，V似是矿对“的导数，它是“的非线性函数。在方程13，7中若取VU五21COSU，其中F0为常数，则它化为萨02UF02“2孬02U胸N甜N138它称为正弦GORDON方程，在非线性光学中有较广泛的应用。8FISHER方程FISHER方程是非线性的反应扩散方程，其最简单的一种形式为OAUV萨02U砘1一0139其中P和T分别称为扩散系数和反应系数。9BOUSSINESQ方程BOUSSINESQ方程的一般形式为可02U一Z万02U一口可04U一等O131。万一万一口可一可划川其中口，口和C02均为正的常数。10非线性SEHRODINGER方程非线性SCHRODINGER方程，简称为NLS方程，又称为立方SEHRODINGER方程，它是描写非线性波的调制即非线性波包方程，其一般形式为石OU口丽C02U硝“01311其中瑾和分别称为频散系数和LANDAU系数。11GINZBURGLANDAU方程北京邮电大学硕士研究生论文非线性耦合系统振幅的演变通常可以化为下列GINZBURGLANDAU方程百IGU口万A2U硝”一妇一缸“”1312其中口和分别称为频散系数和LANDAU系数，它们通常为复数，B为固有频率，121IPKADOMTSEVPETVIASHVILI方程KP方程就是二维的KDV方程，其一般形式为挚谤CO02UM。脚其中和“为常数。14本文的研究内容及安排本论文主要阐述了五个方面的内容1、利用一个直接的假设获得了一维变系数GL方程更多新的精确解类孤子解，相似解等。2、利用特殊变换的方法，得到了广义复变系数GL方程的四个变换，它们建立起了广义复变系数GL方程和一些已知经典方程之间的联系，并因此能够获得广义复变系数GL方程丰富的新解。3、利用截断PAINLEV6展开法，得到广义变系数KP方程的自BTEKLUND变换和新的孤子型解，据我们所知，该孤子型解尚未在其他的文献中发现。4、推广了齐次平衡法，利用这个推广后的齐次平衡法我们获得了21维广义变系数KDV方程的自BIICKLUND变换和新的类孤子解。5、利用经典LIE群方法和推广的TANH函数法获得了21维球KP方程的新的相似约化，类孤子解及三角周期解。具体章节安排如下第一章为绪论部分。分为孤立子的发现和研究概况，近期发展的特点，非线性偏微分方程以及论文的研究内容及安排；第二章介绍了变系数GL方程及其应用，并获得它的精确解以及对解的分析和讨论；第三章介绍了广义复变系数GL方程，广义复变系数GL方程的四个变换以及分析和讨论；第四章介绍了广义变系数KP方程，详细讨论了广义变系数KP方程的求解过程，并对解进行分析和讨论第五章介绍了齐次平衡法的般理论，并利用推广的齐北京邮电人学硕士研究生论文次平衡法获得了21维广义变系数KDV方程的自BIIEKLUND变换以及一些有理解和新的类孤子解，最后对解进行分析和讨论；第六章介绍了球KP方程，并分别利用经典LIE群方法和推广的TANH函数法获得了21维球KP方程的新的相似约化，类孤子解及三角周期解。北京邮电大学研究生论文第二章变系数GINZBURGLANDAUGL方程的精确解21变系数GL方程及其应用随着非线性发展方程的物理结构在许多重要科学问题中的应用，它们已经越来越引起人们的兴趣。而一维变系数GL方程是一类非常重要的非线性发展方程，它在通信和工程中有着广泛的应用。在这里，我们要考虑的是下列变系数GL方程吐2ZK2UB“一A“O211其中UUZ，F是复函数，参数口，B以及口都是实常数，卢2Z是实函数。通过利用变换14Z付F，F付孝一NFDR，“乙F争妒F，善，方程2I1能够变成如下形式的方程识N依口2川2伊一却一曲妒2O，212其中AR也是一个实函数。方程211或212在单模光纤、等离子、相变理论中有着很多的应用，我们可以举一些具体的例子。在单模光纤中，以微秒速度传播的光脉冲可以描述成标准非线性SCHRODINGER方程以竽叫M，213它有GROUPVELOCITYDISPERSIONGVD和SELFPHASEMODULATIONSPM两个物理影响，其中U是电磁场中缓慢变动的包迹，屈是GVD的一个参数，是非线性参数，下标Z和，分别代表了空间和时间。方程213已经被证明是完全可积的，并且通过利用GVD和SPM221之间的关系获得了它的明孤子和暗孤子解。而当口H车，ZRY,UORU，口付O，6付O，方程213是方程2L1的一个特例。北京邮电大学研究生论文在等离子或光纤的应用当中。271，且1口，ZH口Z，ZHZ，口HO，BH0,THT时，方程211变为非线性广上义SEHRODINGER方程屹孥IA2Z盯虬2I4这个方程过去常常用来解释在一个绝缘光纤中的RAYLEIGHTAYLOR的不稳定性口8。们，电子束等离子波口艘30,31J和光孤子。方程214的一些其他的等价的形式可以在文献14，5J中看到。它的PAINLEVE展开工作已经被研究过了【321。我们还可以找到方程2。14关于电子束等离子模型的常系数方程T233】。在计算机符号计算的帮助下，田播教授和高以天教授获得了方程214很多的明类孤子解和暗类孤子解1291。在相变理论中【22，排36L，一个分歧附近的非线性系统的行为可以描述成复GINZBURGLANDAU方程CGLE371以巩Q1412A一纱爿0，215其中，是实常数，AAX，是复波振幅。我们已经获得了CGLE的各种各样的解，其中包括一些具有连续结构的解如脉冲孤立波，FRONTS解，SINKS解，无界的周期解【38删，VACUUM解，周期和准周期解H4】，非线性序Y,J波T45,。同时利用波包理论，刘式适教授获得了它的多阶精确解H61。更近的有，关于方程215椭圆行波解的存在性已经被研究H”。而当B0，P和G全部是实常数，方程215也是方程2L1的特例。还有流体力学中的复系数GINZBURGLANDAU方程GLET4SL4乌420A岛如置HA，216其中龟，局，仃和墨全是实的常数。这个模型已经受到了人们很大的关注。并且得到了它的许多解EGNEWELL，1974NOZAKIANDBEKKI，1983，1984LANDMAN，1987；CROSSANDHOHENBERG，1993；TOBIASETA11998；HUERRE，2000；A_RAPSOILANDKRAMER，2002。当ZHF，T付Y，BHO，口H盯，墨H驴Z，K2HIA，“付A时，方程216也是方程211的特例。22变系数GL方程的精确解6北京邮电大学研究生论文为了获得非线性发展方程的精确解，很多有效的方法已经被提出，例如散射反演法理论6RL，HIROTA的双线性方法F6羽，截断PAINLEVE展开法，齐次平衡法170】，双曲正切函数级数法【711，扩展TANH法【721等等。最近，由于非线性发展方程在很多重要科学问题中的应用以及符号计算的使用，一种直接寻找非线性发展方程精确解的方法越来越引起人们的关注【59舶】。在直接构造非线性发展方程的精确解的众多方法中，利用一个假设2829,S0UZ，PTAZANEZ，F】妒Z，221来求方程的精确解是非常有效的方法之一，其中丑Z，F，善Z，F，烈Z和QFZ，F】0全部是非零实函数。而由于一“一项的存在，妒Z将越来越趋近于零。将221直接带入方程211有岛Q。K2ION岛F屯Q屯Q30，222其中导数符号表示善的微分。毛叩缶2，223也口纸，224毛_6妒一AOOA,2QL，225七4伊322，226屯2印茧丑必，227屯一口妒A口巩伊，228我们先假设岛0J当0229分别让方程222的实部和虚部为零有QP2F2P3Q风臼0屯Q7吒Q022102211其中仍2鲁，岛2詈以及风鲁接下来我们分几种情况来讨论方程211的解。CASEI我们先假设Q孝81SECHF，也0，0，221222132214其中40是待定常数，把2212式带入方程2210，令TALLLL善和删蟛的各级幂次数的系数为零，可以得到下列偏微分方程组屯O2口观当够0，2215丸O一口妒口纸O，2216SECHFTANH2F2Z妒2422口毒2O，2217SECH孝TANH口唬O2218船砌F口妒当2BOP一口观2一吐O，2219对这些方程分别进行符号计算，经化简整理后可得方程2217妒酱，2220方程2218磊20JF他H喇，2221方程2215五一2RZFZFL2TGZ4ATFZ2222方程2216北京邮电大学研究生论文FZA夕2ZP“，方程221922234口2F4Z4BCTF2ZZ，Z一2FZYZ一GZ22TFZG。ZFZ97ZFZGZ】2224一R2IFZ厂Z，Z厂。Z一厂Z2】0，其中Q1，盯0是一个实的积分常数，2Z和，Z都是实的可微函数。在方程2224中我们让T的各级幂次数的系数为零，可得22252226F。，ZBC2YTO“CIC3Z。J函ICI2I8I丽Y22，2227其中乞1，托，Q，C2和C3全是实的积分常数。剑目丽为止，我们得剑万栏211的一蔟精确解析解，这是明类孤子解KF2警酬一水耐以川“啪2CL2Z4C28口2一儿24C7岛2O鸭2T2一Y2T8口O“2岛4Q2Z】叫拳忻赢，2228这个解存在的限制条件是胁并和Q2ZO前面结果中的所有参数我们均已做了说明。由于S。1和岛1，所以这簇解里面含有两类解。“1Z，T1是方程2I1的一个新解。箍嗉力力黝酗假设Q孝嘎TANH孝，也0，0，222922AO2231其中最0是待定的实常数，将2229式带入方程2210中，让TA|LLL善的各阶幂次数的系数为零，我们得到如下偏微分方程组TANH3善2嗜3妒2声2Z疋2O，2232TANH2善DTANHOF婊O，2233鼬F一6妒一口够丑3毋T一2盯回茧2O，2234恕O2口纸考睦0，2235七6O口P盯弘屯妒02236由2232式很容易得到PZIHZ，这是个关于方程中变系数的限制条件，是为了确保龟是实的，其中厅Z是非零的实函数。为了同时满足2232和2233式，必须有F，Z警，2237吖2口223，L其中毛ZL，Z是实的可微函数。对2236式关于，积分两次，可得口一生F2五犯螂卅，其中叩Z和Z都是实的可微函数。到现在为止，我们只剩下两个偏微分方程需要处理，方程223420北京邮电大学研究生论文2A2妒22妒“一8翻尹妒一擘I妒。矿722A82H2妒4R24O2265Q。KOF22923O,2266这是一个很有名的常微分方程，它的解可以由椭圆函数给出【5L】。前面结果中的所有参数数均已作说明。由于毛L和岛1，这簇解里面也有四类解。CASEIIII再对方程2210和2211进行假设，我们得岛0，2267北京邮电大学研究生论文这样方程2210约化为丸O，岛_K2O，局P3_K3，最P4K4一2，畅Q。一孝Q一2F230，22682269227022712272利用行芎计算，万栏2267一227I几乎转燹成和CASEIII中的一样，除了方程2255变成一BFO一口以2一吐缸西20，2273我们可以同样得到2257一2264大部分一样的表达式YCZ，I丽E25E44“型；墓筹，2274叩Z岛一宝巳2ZI；丽E46E22锵错，2275其中毛L，而Z0，玎Z，Z和Z全部是实的可微函数，E6是实常数。这是方程211的第四簇精确的解析解，也是另夕I个相似解为KF丽E2E4E2E枇吨S一加瓦E46面E22盘京篝笔笋遭三竺曼J铲丙】QL丽E25E44ELE4E22AE32T29ET2Z16Q2Z42AE,，4C12Z22Z2276这簇解得存在得限制条件是ZL7E2EE荸2和Q2ZOVEL十ZZQ必须满足北京邮电大学研究生论文Q。一固一2Q3O，这个属于第二类PAINLEV6方程，J【G,QG类PAINLEV删H列52541。前面结果中的所有参数均已作说明。23分析和讨论在上一节中，我们首先得到了方程211的明类孤子解，暗类孤子解以及相似解。其中相似解能够表示成椭圆函数和第二类PAINLEV6超越函数的形式。最近几年，由于明类孤子解和暗类孤予解在大量物理环境中的应用，使得它们得到了很大的发展。为了更好的了解它们的性质和特点，我们需要找那些任意参数的一些真实值来参考，这些参数在方程211代表着外力等一些性质1当口0和口三时，田播教授和高以天教授已经对它们进行了详细的研究21291，接下来，我们将讨论口0的情况，为了方便未来的讨论，我们可以选择口05和口05。图21至图24为明类孤子解即2245式的模表面的观察提供了非常好的视野，相应的参数的取值在图形中有解释。毛，占和岛是分别独立的。同理，图25至图28为暗类孤子解即2245式的模表面的观察提供了非常好的视野，岛和反是各自独立的。在图2I和图23中，参数盯的取值刚好相反，使得类孤子波包传播的方向也相反同理，在图25和图27中，由于晶两个取值的符号相反，导致类孤子波包的传播方向也相反。当变系数2Z的值发生改变后，图2I将转变成为图22。同样的，图23将转变成为图24图25将转变成为图26；图27将转变成为图28。随后，在图23中，我们考虑当变量F在相同间隔时间点的图形F1，25，4，得到图29，它使我们能够更清楚的看到明类孤子解的模表面同理，在图26中，我们也考虑变量T在相同间隔时间点的图形TLO，20，30，得到图2一LL，它使我们能够更清楚的看到暗类孤子解的模表面。对图29图211仔细观察后，我们可以发现，对一个给定的Z值，随着变量，值的增大，更低的模系数的波传播的会更宽。同样的，对于明类孤子和一个给定的F值，值越小，波传播得轨迹越陡，Z值越大，波传播得轨迹就越缓。对于明类孤子和一个给定的T值，图形中得曲线将随着Z值得减小而变高。另外，图2一10和图212分别展示了变量Z在相同间隔时间点1，2，3和Z0，2，4时明类孤子解和暗类孤子解模表面各自的不同情况，从中我们还北京邮电大学研究生论文可以发现随着Z值的增大，模的形状会变得更高和更宽。最后，我们必须注意到明类孤子解和暗类孤子解仅仅存在于H非常小的时候。北京邮电大学研究生论文图21明孤子解2228，其中参数的值CL。1，C2而1，力3，托。2，仃10口05图22明孤子解2228，其中参数的和盼相同，除了Q叭S，吒去图23明孤子解2228，其中参数的值Q2。1，巳而1，3，托。02，盯10口05图24明孤子解2228，其中参数的值值和阶。枫除了C1OTL5，乞去。北京邮电大学研究生论文图25暗类孤子解2245，其中参数的值为Q一L，F2LO,A05，以12，哦O4，吐杀确“、，J图27暗类孤子解2245，其中参数的值为1，R210，口05，正12，4O4，如杀硝“图26暗类孤子解2245。其中参数图28暗类孤子解2245。其中参数的值为Q一1，F2一10，口O5，面24，的值为毛一L,R210，TZ05，也24，一一苎室墅皇奎兰塞竺丝奎02505075IL2515ZU】图29在FIG3中分别取F1，25，4图211在FIG3中分别取F1020,302LO图210在FIG3中分别取FL，2，3图212在FIG6中分别取，0，2，4TZ北京邮电大学研究生论文第三章广义复变系数GINZBURGLANDAUGL方程的求解31广义复变系数GL方程本节我们将考虑一个更一般的广义复变系数GINZBURGLANDAUGL方程IUT【QOFCZ2R】甜“届RF厦】L“12UBTUIATU0，311其中UX，F是复函数，参数Q，口2，届F，F12T，B和口全部是关于F的实函数。这个方程非常具有普遍性，它既包含了色散和非线性影响，同时又有保守和耗散形式。应用变换F付F，XF12RDR,UX，FH伊F，F，方程311能够化成F纹F旯O伊手【Q0妇O】【崩RF岛】I纠2伊一6F妒一幻0妒O，3I2其中五F也是个实函数。本章主要基于文献陋1中的工作而成，该文献是与他人合作研究的成果，作者主要侧重于广义复变系数GL方程的四个变换的求解工作。32广义复变系数GL方程及四个变换本节我们将利用特殊变换的方法来研究广义复变系数GL方程。特殊变换的方法主要讲述的是先构造一个特殊的变换【551UX，TATQWX，R，RRP州“，321其中爿R，TT，WX，T和BX，全部是实的非零函数，并且满足爿R0，TO0，职X，T0，而QWX，F，RR】是个待定的复函数。通过这个特殊的变换321使得要求解的方程和一些已知的经典的方程建立起联系。而这些经典的方程已经做了很多的研究工作，人们获得了它们的各种各样的解的情况，直接将这些解带入已经构造的特殊的变换中，我们就能够得到所要求解方程的相应的各种解。北京邮电大学研究生论文作为例子，我们将利用特殊变换的方法来求解广义复变系数GL方程。把变换321带入方程311中，我们得到ACQW,2咖PA3G|2QIDTQRAQ口I阡名一2E吸一一舶，QE2民谚爿3IQN322IAA2畋2IAQWW，20T,B,W,锡阡0一IQAAAAA2E24啦哆。O导数符号表示T的微分。为了求解这个方程，我们需要分情况进行讨论。先看第一种情况，我们把方程322分割成下列方程组的形式啦O，岛0，玎00寸WX，T埘R弦HF，彬2QE睨O，AAAQ彳哆。O，置ATB,26O，RQ吸2，丁岛一2届，其中RET0和埠F都是实函数，结合方程325和326，得到E一埘“，Z，假设M7，0，再将方程3211带入328当中得M，一1C2C,IALTDT，甩FQC3C,CCLKF加】，曰，_I磊M乏R丽X2一互磊INF丽ZGIBTDT62【4CLKQP。F硪】，32332432532632732832932103211321232133214北京邮电大学研究生论文其中Q，C2，白，C4，C5和QO全是实的积分常数。由方程317和319，我们得到4F岛沥砚M叫，3215RF吒一1QC2CKO西】，3216其中，C，和C，0全部是实的积分常数。这时，我们可以得到第一个变换变换A由方程311到方程3120，有协岛厮M咖L卜煮3。17XQWX，F，丁R】，其中WX，R一QXCOQC2QCIBR西】Q，RF吒一1QC2QFA,TDT，3218QIWX，T，TT】必须满足吼Q“LQL2920，3219删OCL口LFE21OATIG2HQ丘R出|】，3220其中S，L。方程3219是著名的标准非线性SCHRODINGER方程，它的性质和解已经在文献【5657】中进行了详细的研究。同上，利用符号计算，我们可以Z10另外的三个变换变换B由方程3I1到方程3223，得妒X，RCL。4怕PJBTC12ZALTDT】其中。G【X，F，R，】，3221北京邮电大学研究生论文工，TC9CS工一2QQ2KTDT，丁FQ。龟2J蠢TDT，QWX，T，TT】必须满足方程3219，且届FC2CS2ALTE。24Q12，其中L，Q。O和气一C1。全是实的积分常数。变换C32223223由万栏【31”到方程3227，得恸吲咐M刀C2篝器TDTQJQ州卟碟矧，。其中矽X，一CL工C3懈【乞QBF础，MIC,C2QJ删吼3225QWX，T，TT】必须满足IG，地12QI寺一3226届RC3Q93LAFP2，3227、其中岛L，CT2和Q30全是实常数。方程3226是著名的柱SCHRLINGER方程，它的性质和解已经在文献【58L中进行了详细的研究。变换D由方程311到方程3230，可得北京邮电大学研究生论文“。X，日玎7X，RR】JI_I；J7X石JLC14PD“曲IQ，QZJ一16“Q22QF甜1，3228其中WX，RC94CX一2CSC2KF出，RFCLOCS2KLTDT，QWX，T，TT】必须满足方程3230且有触卜毛褊，其中Q1和C14是实的非零常数。33分析和讨论32293230在这一章中，利用符号计算和变换321，我们将方程311约化成标准的非线性SCHR6DINGER方程，还有著名的柱SCHR6DINGER方程，人们已经找到它们的很多解。将这些解带入A，B。C和D四个变换当中，就得到了方程311的相应的解析解。特别的，方程311继承了方程32。19和3226所有的孤立子结构，很可能会获得方程323的一些新的解析解，在其他现存的文献中是尚未得到。我们可以发现一个很有趣的事实，变换A和变换B在条件3220式和3223式的限制下，都能将方程3219约化成方程311，而这是两个不同的变换。同时，变换C和变换D在条件3227式和3230式的限制下，也都能将方程3226约化成方程311。而限制条件3220式和3230式看起来是差不多的。因此，当方程311中的变系数满足这两个限制条件时，方程311能够被约化成方程3219或方程3226。同样的道理，限制条件3223式和3227式看起来也是差不多的。当方程311中的变系数满足这两个限制条件时，方程311能够被约化成方程3219或方程3226。北京邮电大学研究生论文第四章广义变系数KP方程的自BACKLUND变换及孤子型解41广义变系数KP方程及应用KADOMTSEVPETVIASHVILIFKP方程KADOMTSEV和PETVIASHVILI，1970在浅水波和等离子物理中有很多应用17”51，已经引起了相当大的兴趣。KP方程所描述的是小振幅表面波的演变，即在一个方向X轴的弱非线性，弱发散性和传播性以及在Y轴方向波的弱穿透性731。实际上KP方程是一个完全可积的孤立子方程，它般拥有以下重要的性质多孤子解的存在性、无穷多的守恒律和对称性、半哈密顿表示、行波结构、LAX对、BICKLUND变换、HIROTA双线性表示和PAINLEV6性质等【74】。一个广义的变系数K_PGK_P方程已经在文献175】中被提出，在规范的和圆柱的情况下，它比KP方程提供了一个更现实的模型。GKP方程描述的是有着不同宽度和深度且带着不消失的漩涡状态的水波，它是在河里面而非在没有边界的水面上传播。GKP方程在特殊情况下也是可积的，如特殊的地球物理学情况【751。此时，GKP方程可以求得带有波峰的孤子解，它是能够被观察到的【731。在这里，我们所考虑的是如下形式的广义变系数GKP方程【74】虬UUXL埘。AO,TUX6Y，TU，CJ，TU拶D，F。0P弘FZOO，411其中AY，R，60，T，CY，T，DO,，EY，F都是解析的，且关于Y和F可微的函数。方程411包含有以下重要形式1如果6Y，RCY，DY，R口弘RO和4只F万1，这时方程411变成了柱KORTEWEGDEVDESKDV方程176781IITUUX“M三“0，万“”412这个方程可以从等离子物理MAXONANDVIECELLI，1974和水波MILES，1978QB得到。北京邮电大学研究生论文2如果6P，FDY，FPY，FO，日Y，去和C儿F等，这时方程411变成了柱KP方程【7螂11UTUUXUX。N铲1等驴O413其中21，它也是用来描述水波的传播现象JOHNSON，1980。3如果BY,TO，口Y，F去，C，嘉，J弘RRF和EY，FSRYRF，这