最新历年考研数学一真题及答案解析1987-2012

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上（1）曲线221XXYX渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】221LIM1XXXX，所以1X为垂直的22LIM11XXXX，所以1Y为水平的，没有斜渐近线故两条选C（2）设函数212XXNXFXEEENL，其中N为正整数，则0F（A）111NN（B）11NN（C）11NN（D）1NN【答案】C【解析】222212212XXNXXXNXXXNXFXEENEEENEENENLLLL所以0F11NN（3）如果,FXY在0,0处连续，那么下列命题正确的是（）（A）若极限00,LIMXYFXYXY存在，则,FXY在0,0处可微（B）若极限2200,LIMXYFXYXY存在，则,FXY在0,0处可微（C）若,FXY在0,0处可微，则极限00,LIMXYFXYXY存在（D）若,FXY在0,0处可微，则极限2200,LIMXYFXYXY存在【答案】【解析】由于,FXY在0,0处连续，可知如果2200,LIMXYFXYXY存在，则必有000,0LIM,0XYFFXY这样，2200,LIMXYFXYXY就可以写成220,0,0LIMXYFXYFXYDDDDDD，也即极限220,0,0LIMXYFXYFXYDDDDDD存在，可知220,0,0LIM0XYFXYFXYDDDDDD，也即22,0,000FXYFXYOXYDDDDDD。由可微的定义可知,FXY在0,0处可微。（4）设2KXKEIESINXDXK1,2,3,则有D（A）I10，其它则450001,5YXYYXYPXYFXYDXDYDXEDXEDY，所以221SIN01XXXXG，故0FX，而00F，即得21LNCOS1012XXXXX所以21LNCOS112XXXXX。当10X，所以221SIN01XXXXG，故0FX，即得21LNCOS1012XXXXX可知，21LNCOS1,1112XXXXXX200PTTF。若曲线L的切线与X轴的交点到切点的距离恒为1，求函数TF的表达式，并求此曲线L与X轴与Y轴无边界的区域的面积。【解析】（1）曲线L在任一处,YX的切线斜率为SINTFTDXDY，过该点,YX处的切线为SINCOSTFXTFTTY，令0Y得COSTFTTFX由于曲线L与X轴和Y轴的交点到切点的距离恒为1故有1COSCOT22TTFTFTTF，又因为200PTTF所以TTTFCOTSIN，两边同时取不定积分可得CTTTTFSINTANSECLN，又由于00F，所以0C故函数TTTTFSINTANSECLN（2）此曲线L与X轴和Y轴的所围成的无边界的区域的面积为20COS4STFTDTPP（19）（本题满分10分）已知L是第一象限中从点0,0沿圆周222XYX到点2,0，再沿圆周224XY到点0,2的曲线段，计算曲线积分2232LJXYDXXXYDY。【解析】设圆222XYX为圆1C,圆224XY为圆2C，下补线利用格林公式即可，设所补直线1L为02XY,下用格林格林公式得原式1123233232LLLXYDXXXYDYXYDXXXYDY02223132DXXDXDYYDY211144422CCSSP（20）（本题满分10分）设100010001001AAAAA，1100B（）求A（）已知线性方程组AXB有无穷多解，求A，并求AXB的通解。【解析】（）414100100001010111010010001001AAAAAAAAA（）232421001100110010101010101010010001000100010000011001010100100001AAAAAAAAAAAAAAAAA可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有410A及20AA，可知1A。此时，原线性方程组增广矩阵为11001011010011000000，进一步化为行最简形得100100101100110000004可知导出组的基础解系为1111，非齐次方程的特解为0100，故其通解为10111010K线性方程组AXB存在2个不同的解，有|0A即21101011011ALLLL，得1L或1当1L时,12311100001111XXXX，显然不符，故1L（21）（本题满分10分）三阶矩阵10101110AA，TA为矩阵A的转置，已知2TRAA，且二次型TTFXAAX。1）求A2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。【解析】1）由2TRAARA可得，10101110110AAA2）1123232221231223202,02222422444TTXFXAAXXXXXXXXXXXX则矩阵202022224B202022260224EBLLLLLLL解得B矩阵的特征值为123026LLL对于110,0EBXLL解得对应的特征向量为1111H对于222,0EBXLL解得对应的特征向量为2110H对于336,0EBXLL解得对应的特征向量为3112H将123,HHH单位化可得111131A，211120A，311162A123,QAAA（22）（本题满分10分）已知随机变量,XY以及XY的分布律如下表所示，X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求（1）2PXY；（2）COV,XYY与XYR【解析】X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12（1）1120,02,1044PXYPXYPXY（2）COV,COV,COV,XYXYYYCOV,XYEXYEXEY，其中2222545,1,1,13399EXEXEYEYDXEXEX2252133DYEYEY,23EXY所以，COV,0XY，2COV,3YYDY，2COV,3XYY,0XYR（23）（本题满分11分）设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布2,NMS与2,2NMS，其中S是未知参数且0S,设ZXY,1求Z的概率密度2,FZS；2设12,NZZZL为来自总体Z的简单随机样本，求2S的最大似然估计量2S；3证明2S为2S的无偏估计量。【解析】（1）因为22,2XNYNMSMS，且X与Y相互独立，故20,5ZXYNS，所以，Z的概率密度为222101,10ZFZEZSSPS0内的有向分段光滑曲线,起点为,终点为0LIM0XFX0LIM0XFXLIM0XFX0LIM0XFXIIIIDZCYBXA3,2,1IXYXFXYFYXFXYFYXFXYFYXFXYFYXFXYFYXFXYFYXF0X000FF0H02HOFHBFHAFBA,XFY2ARCTAN0EXTYDT0,02LIMNNFN22MAX,EXYDDXDY10,10|,YXYXDXFRLYBA,DC,记,1证明曲线积分与路径无关2当时,求的值七、本题满分7分1验证函数满足微分方程2求幂级数的和函数八、本题满分7分设有一小山,取它的底面所在的平面为面,其底部所占的区域为,小山的高度函数为1设为区域上一点,问在该点沿平面上何方向的方向导数最大若此方向的方向导数为,写出的表达式2现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点也就是说要在的边界线上找出使1中达到最大值的点试确定攀登起点的位置九、本题满分6分已知四阶方阵,均为四维列向量,其中线性无关,若,求线性方程组的通解十、本题满分8分设为同阶方阵,1若相似,证明的特征多项式相等2举一个二阶方阵的例子说明1的逆命题不成立3当为实对称矩阵时,证明1的逆命题成立十一、本题满分7分设维随机变量的概率密度为DYXYFYYXDXXYFYYI111222ILCDABI033NNNXXYXEXYYY033NNNXXYXOY75|,22XYYXYXD,YXHXYYX2275,00YXMD,YXH,00YXG,00YXGD,YXG1234,A1234,234,12321234XA,AB,AB,AB,ABX对独立地重复观察4次,用表示观察值大于的次数,求的数学期望十二、本题满分7分设总体的概率分布为0123其中是未知参数,利用总体的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3求的矩估计和最大似然估计值FX1COS0220XXX其它XY32YXXP212221102X2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共6小题,每小题4分,满分24分把答案填在题中横线上12曲面与平面平行的切平面的方程是3设,则4从的基到基的过渡矩阵为5设二维随机变量的概率密度为,则6已知一批零件的长度单位CM服从正态分布,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40CM,则的置信度为095的置信区间是注标准正态分布函数值二、选择题本题共6小题,每小题4分,满分24分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1设函数在内连续,其导函数的图形如图所示,则有A一个极小值点和两个极大值点B两个极小值点和一个极大值点C两个极小值点和两个极大值点D三个极小值点和一个极大值点2设均为非负数列,且,则必有A对任意成立B对任意成立C极限不存在D极限1LN102COSLIMXXX22YXZ042ZYXCOS02XNXAXNN2A2R1211,011211,12,XY,FXY60X01XY其它1YXPX1,N9506451,9750961FX,FX,NNNCBA0LIMNNA1LIMNNBNNCLIMNNBANNNCBNNNNCALIM不存在3已知函数在点的某个邻域内连续,且,则A点不是的极值点B点是的极大值点C点是的极小值点D根据所给条件无法判断点是否为的极值点4设向量组I可由向量组II线性表示,则A当时,向量组II必线性相关B当时,向量组II必线性相关C当时,向量组I必线性相关D当时,向量组I必线性相关5设有齐次线性方程组和,其中均为矩阵,现有4个命题若的解均是的解,则秩秩若秩秩,则的解均是的解若与同解,则秩秩若秩秩,则与同解以上命题中正确的是ABCD6设随机变量,则ABCD三、本题满分10分过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形1求的面积NNNCBLIM,FXY0,01,LIM2220,0YXXYYXFYX0,0,FXY0,0,FXY0,0,FXY0,0,FXY12,RL12,SLSRSRSRSR0XA0XB,ABNM0XA0XBABAB0XA0XB0XA0XBABAB0XA0XB21,1XYNNTX2YN21YN,1YFN1,YFNLNYXLNYXXDDA2求绕直线旋转一周所得旋转体的体积四、本题满分12分将函数展开成的幂级数,并求级数的和五、本题满分10分已知平面区域,为的正向边界试证12六、本题满分10分某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比比例系数为汽锤第一次击打将桩打进地下M根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数问1汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深2若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深注M表示长度单位米七、本题满分12分设函数在内具有二阶导数,且是的反函数1试将所满足的微分方程变换为满足的微分方程2求变换后的微分方程满足初始条件的解八、本题满分12分设函数连续且恒大于零,其中,DEXVXXXF2121ARCTANX0121NNN0,0,YXYXDLDSINSINSINSINEEEEYXYXLLXDYYDXXDYYDX蜒SINSIN2EE2YXLXDYYDX0KKA01RRYYX,0YXXYYYXXXY0SIN322DYDXXYDYXDYYX230,00YYFX22222TDTDYXFDVZYXFTFTTDDXXFDYXFTG1222,2222TZYXZYXT1讨论在区间内的单调性2证明当时,九、本题满分10分设矩阵,求的特征值与特征向量,其中为的伴随矩阵,为3阶单位矩阵十、本题满分8分已知平面上三条不同直线的方程分别为,试证这三条直线交于一点的充分必要条件为十一、本题满分10分已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求1乙箱中次品件数的数学期望2从乙箱中任取一件产品是次品的概率十二、本题满分8分设总体的概率密度为其中是未知参数从总体中抽取简单随机样本,记1求总体的分布函数2求统计量的分布函数3如果用作为的估计量,讨论它是否具有无偏性,222TYXYXTDFT,00T2TGTF322232223A010101001P1BPAP2BEAAE1L032CBYAX2L032ACYBX3L032BAYCX0CBAXFX22E0X0XX0XNXXX,21,MIN21NXXXXFXXF2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共6小题,每小题4分,满分24分把答案填在题中横线上1曲线上与直线垂直的切线方程为_2已知,且,则_3设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为_4欧拉方程的通解为_5设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则_6设随机变量服从参数为的指数分布,则_二、选择题本题共8小题,每小题4分,满分32分每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内7把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是ABCD8设函数连续,且则存在,使得A在0,内单调增加B在内单调减少C对任意的有D对任意的有LNYX1YXEEXXFX10FFXL222YXLYDXXDY20024222XYDXDYXDXYDX210120001AB2ABABAEAAEBXDXXP0XDTTDTTDTTXXX03002SIN,TAN,COS2,FX,00F0FXFX0,0X0FXF0,X0FXF9设为正项级数,下列结论中正确的是A若0,则级数收敛B若存在非零常数,使得,则级数发散C若级数收敛,则D若级数发散,则存在非零常数,使得10设为连续函数,则等于ABCD011设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为ABCD12设为满足的任意两个非零矩阵,则必有A的列向量组线性相关的行向量组线性相关B的列向量组线性相关的列向量组线性相关C的行向量组线性相关的行向量组线性相关D的行向量组线性相关的列向量组线性相关1NNANNNALIM1NNANNNALIM1NNA1NNA0LIM2NNAN1NNANNNALIMFXTTYDXXFDYTF12F22F2F2FAABBCAQCQ101001010100101010110001010100001110,ABABOA,BA,BA,BA,B13设随机变量服从正态分布对给定的,数满足,若,则等于ABCD14设随机变量独立同分布,且其方差为令,则ABCD三、解答题本题共9小题,满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15本题满分12分设,证明16本题满分11分某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下现有一质量为9000KG的飞机,着陆时的水平速度为700KM/H经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比比例系数为问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少注KG表示千克,KM/H表示千米/小时17本题满分12分计算曲面积分其中是曲面的上侧18本题满分11分设有方程,其中为正整数证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛19本题满分12分设是由确定的函数,求的极值点和极值X0,1,N10UUXPXXPX2U21U21U1U1,21NXXXN02NIIXNY1121COV,XYN21COV,XY212NNYXD211NNYXD2EEAB2224LNLNEBABA10066K,1322233DXDYZDZDXYDYDZXI0122ZYXZ10NXNXNNX11NNX,ZZXY2226102180XXYYYZZ,ZZXY20本题满分9分设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解21本题满分9分设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化22本题满分9分设为随机事件,且,令求1二维随机变量的概率分布2和的相关系数23本题满分9分设总体的分布函数为其中未知参数为来自总体的简单随机样本,求1的矩估计量2的最大似然估计量12121210,2220,2,0,NNNAXXXXAXXNNXNXNAXLLLLLLLLLA12314315AAAA,AB111,|,|432PAPBAPAB,0,1不发生发生AAX,0,1不发生发生BBY,XYXYXYX,1,1,0,11,XXXXFNXXX,121X2005年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共6小题,每小题4分,满分24分把答案填在题中横线上1曲线的斜渐近线方程为_2微分方程满足的解为_3设函数,单位向量,则_4设是由锥面与半球面围成的空间区域,是的整个边界的外侧,则_5设均为3维列向量,记矩阵,如果,那么6从数1,2,3,4中任取一个数,记为,再从中任取一个数,记为,则_二、选择题本题共8小题,每小题4分,满分32分每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内7设函数,则在内A处处可导B恰有一个不可导点C恰有两个不可导点D至少有三个不可导点8设是连续函数的一个原函数,表示的充分必要条件是则必有122XXYXXYYXLN2911Y181261,222ZYXZYXU1,1,131N3,2,1NU22YXZ222YXRZZDXDYYDZDXXDYDZ123,123,A123123123,24,39B1ABXX,2,1Y2YPNNNXXF31LIMFX,FXFX“NM“M“,NA是偶函数是奇函数B是奇函数是偶函数C是周期函数是周期函数D是单调函数是单调函数9设函数,其中函数具有二阶导数,具有一阶导数,则必有ABCD10设有三元方程,根据隐函数存在定理,存在点的一个邻域,在此邻域内该方程A只能确定一个具有连续偏导数的隐函数B可确定两个具有连续偏导数的隐函数和C可确定两个具有连续偏导数的隐函数和D可确定两个具有连续偏导数的隐函数和11设是矩阵的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为,则,线性无关的充分必要条件是ABCD12设为阶可逆矩阵,交换的第1行与第2行得矩阵分别为的伴随矩阵,则FXFXFXFXFXFXFXFXYXYXDTTYXYXYXU,2222YUXU2222YUXU222YUYXU222XUYXULNE1XZXYZY0,1,1,ZZXY,XXYZ,ZZXY,YYXZ,ZZXY,XXYZ,YYXZ21,A12,112A01020102A2NNA,BAB,ABA交换的第1列与第2列得B交换的第1行与第2行得C交换的第1列与第2列得D交换的第1行与第2行得13设二维随机变量的概率分布为XY01004101已知随机事件与相互独立,则ABCD14设为来自总体的简单随机样本,为样本均值,为样本方差,则ABCD三、解答题本题共9小题,满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15本题满分11分设,表示不超过的最大整数计算二重积分16本题满分12分求幂级数的收敛区间与和函数ABABABAB,XYAB0X1YX02,03AB04,01AB03,02AB01,04AB2,21NXXXN0,1NX2S1,0NXN22NSN11NTSXN212211,1NIINXFNX0,0,2,22YXYXYXD122YX221YXDDXDYYXXY12212112111NNNXNNFX17本题满分11分如图,曲线的方程为,点是它的一个拐点,直线与分别是曲线在点与处的切线,其交点为设函数具有三阶连续导数,计算定积分18本题满分12分已知函数在上连续,在内可导,且证明1存在使得2存在两个不同的点,使得19本题满分12分设函数具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上,曲线积分的值恒为同一常数1证明对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线有2求函数的表达式20本题满分9分已知二次型的秩为21求的值；2求正交变换,把化成标准形3求方程0的解21本题满分9分已知3阶矩阵的第一行是不全为零,矩阵为常数,且,求线性方程组的通解22本题满分9分设二维随机变量的概率密度为CYFX3,21L2LC0,03,22,4FX302DXXFXXFX0,10,100,11FF,1,01F1,0,1FFYL2422LYDXXYDYXY0X,C24202CYDXXYDYXYY2123222132112211,XXAXXAXAXXXFAXYQ,321XXXF,321XXXFACBACBA,12324636KBKABO0XA,XY求1的边缘概率密度2的概率密度23本题满分9分设为来自总体的简单随机样本,为样本均值,记求1的方差2与的协方差,FXY1001,02XYX其它,XY,YFXFYXYXZ2ZFZ2,21NXXXN0,1NX,2,1,NIXXYIIIYNIDYI,2,1,1YNY1COV,NYY2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、填空题本题共6小题,每小题4分,满分24分把答案填在题中横线上12微分方程的通解是3设是锥面的下侧,则4点到平面的距离5设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则6设随机变量与相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则二、选择题本题共8小题,每小题4分,满分32分每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内7设函数具有二阶导数,且,为自变量在处的增量,与分别为在点处对应的增量与微分,若,则ABCD8设为连续函数,则等于AB0LN1LIM1COSXXXX1YXYX22ZXY01Z231XDYDZYDZDXZDXDY2,1,03450XYZZ2112AEB2BABEBXY0,3MAX,1PXYYFX0,0FXFXXX0XYDYFX0X0X0DXY0YDY0YDY0DYY,FXY1400COS,SINDFRRRDR22120,XXDXFXYDY221200,XDXFXYDYCC9若级数收敛,则级数A收敛B收敛C收敛D收敛10设与均为可微函数,且已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是A若,则B若,则C若,则D若,则11设均为维列向量,是矩阵,下列选项正确的是A若线性相关,则线性相关B若线性相关,则线性无关C若线性无关,则线性相关D若线性无关,则线性无关12设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的1倍加到第2列得,记,则AB22120,YYDYFXYDX221200,YDYFXYDX1NNA1NNA11NNNA11NNNAA112NNNAA,FXY,XY1,0YXY00,XY,FXY,0XY00,0XFXY00,0YFXY00,0XFXY00,0YFXY00,0XFXY00,0YFXY00,0XFXY00,0YFXY12,SLNAMN12,SL12,SAAAL12,SL12,SAAAL12,SL12,SAAAL12,SL12,SAAALAABBC110010001P1CPAPCD13设为随机事件,且,则必有ABCD14设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且则ABCD三、解答题本题共9小题,满分94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15本题满分10分设区域D,计算二重积分16本题满分12分设数列满足求1证明存在,并求之2计算17本题满分12分将函数展开成的幂级数18本题满分12分设函数满足等式1CPAPTCPAPTCPAP,AB0,|1PBPABPABPAUPABPBUPABPAUPABPBUX211,NY222,N12|1|1,PXPY1212121222,1,0XYXYX2211DXYIDXDYXYNX110,SIN1,2,NXXXNLIMNXX211LIMNXNXNXX22XFXXXX0,FU在内具有二阶导数且22ZFXY22220ZZXY1验证2若求函数的表达式19本题满分12分设在上半平面内,数是有连续偏导数,且对任意的都有证明对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线,都有20本题满分9分已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解,1证明方程组系数矩阵的秩2求的值及方程组的通解21本题满分9分设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解1求的特征值与特征向量2求正交矩阵和对角矩阵,使得22本题满分9分随机变量的概率密度为为二维随机变量的分布函数1求的概率密度223本题满分9分设总体的概率密度为,其中0FUFUU10,11,FFFU,0DXYY,FXY0T2,FTXTYTFXYLL,0LYFXYDXXFXYDY1234123412341435131XXXXXXXXAXXXBXA2RA,ABA121,2,1,0,1,1TT0XAAQATQAQAX21,1021,02,40,令其它XXFXXYXFXY,XYYYFY1,42FX,0FX100112XX其它是未知参数,为来自总体的简单随机样本,记为样本值中小于1的个数,求的最大似然估计0112N,XXXXN12,NXXX2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、选择题本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内1当时,与等价的无穷小量是ABCD2曲线,渐近线的条数为A0B1C2D33如图,连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设则下列结论正确的是ABCD4设函数在处连续,下列命题错误的是A若存在,则B若存在,则0XX1EX1LN1XX11X1COSX1LN1EXYXYFX3,2,2,32,0,0,20XFXFTDT3324FF5324FF3324FF5324FFFX0X0LIMXFXX00F0LIMXFXFXX00FC若存在,则D若存在,则5设函数在0,上具有二阶导数,且,令则下列结论正确的是A若,则必收敛B若,则必发散C若,则必收敛D若,则必发散6设曲线具有一阶连续偏导数,过第2象限内的点和第象限内的点为上从点到的一段弧,则下列小于零的是ABCD7设向量组线性无关,则下列向量组线形相关的是ABCD8设矩阵,则与A合同,且相似B合同,但不相似C不合同,但相似D既不合同,也不相似9某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为AB0LIMXFXX00F0LIMXFXFXX00FFX“0FX1,2,NUFNNL12UUNU12UUNU12UUNU12UUNU,1LFXY,FXYM,NLMN,XYDX,FXYDY,FXYDS,XYFXYDXFXYDY123,122331,1223311223312,2,21223312,2,2211121112A100010000BAB01PP231PPCD10设随即变量服从二维正态分布,且与不相关,分别表示的概率密度,则在的条件下,的条件概率密度为ABCD二、填空题1116小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上11_12设为二元可微函数,则_13二阶常系数非齐次线性方程的通解为_14设曲面,则_15设矩阵,则的秩为_16在区间中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于的概率为_三、解答题1724小题,共86分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17本题满分11分求函数在区域上的最大值和最小值18本题满分10分计算曲面积分其中为261PP2231PP2261PP,XYXYXFXYFY,XYYYX|XYFXYXFXYFYXFXYFYXYFXFY31211EXDXX,FUV,YXZFXYZX2432EXYYYY|1XYZ|XYDS0100001000010000A3A0,1122222,2FXYXYXY22,|4,0DXYXYY23,IXZDYDZZYDZDXXYDXDY曲面的上侧19本题满分11分设函数在上连续,在内具有二阶导数且存在相等的最大值,证明存在,使得20本题满分10分设幂级数在内收敛,其和函数满足1证明2求的表达式21本题满分11分设线性方程组与方程有公共解,求的值及所有公共解22本题满分11分设3阶实对称矩阵的特征向量值是的属于特征值的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵1验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值与特征向量2求矩阵23本题满分11分设二维随机变量的概率密度为1求221014YZXZ,FXGX,AB,AB,FAGAFBGB,ABFG0NNNAX,YX240,00,01YXYYYY22,1,2,1NNAANNLYX1231232123020,40XXXXXAXXXAX12321,XXXAAA12311,2,21,1,1TA1534,BAAEE1BBB,XY2,01,01,0,XYXYFXY其他2PXY2求的概率密度24本题满分11分设总体的概率密度为是来自总体的简单随机样本,是样本均值1求参数的矩估计量2判断是否为的无偏估计量,并说明理由ZXYX1,021,1210,XFXX其他12,NXXXLXX24X22008年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、选择题18小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1设函数则的零点个数A0B1C2D32函数在点处的梯度等于ABCD3在下列微分方程中,以为任意常数为通解的是ABCD4设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是A若收敛,则收敛B若单调,则收敛C若收敛,则收敛D若单调,则收敛5设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵若,则A不可逆,不可逆B不可逆,可逆C可逆,可逆D可逆,不可逆20LN2XFXTDTFX,ARCTANXFXYY0,1IIJJ123COS2SIN2XYCECXCX123,CCC440YYYY440YYYY440YYYY440YYYYFX,NXNXNFXNXNFXNFXNXNFXNXANEN30AEAEAEAEAEAEAEAEA6设为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图,则的正特征值个数为A0B1C2D37设随机变量独立同分布且分布函数为,则分布函数为ABCD8设随机变量,且相关系数,则ABCD二、填空题914小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上9微分方程满足条件的解是10曲线在点处的切线方程为11已知幂级数在处收敛,在处发散,则幂级数的收敛域为A,1XXYZYZAA,XYXFXMAX,ZXY2FXFXFY211FX11FXFY0,1XN1,4YN1XY211PYX211PYX211PYX211PYX0XYY11YYSINLNXYYXX0,102NNNAX0X4X03NNNAX12设曲面是的上侧,则13设为2阶矩阵,为线性无关的2维列向量,则的非零特征值为14设随机变量服从参数为1的泊松分布,则三、解答题1523小题,共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15本题满分10分求极限16本题满分10分计算曲线积分,其中是曲线上从点到点的一段17本题满分10分已知曲线,求曲线距离面最远的点和最近的点18本题满分10分设是连续函数,1利用定义证明函数可导,且2当是以2为周期的周期函数时,证明函数也是以2为周期的周期函数19本题满分10分,用余弦级数展开,并求的和20本题满分11分,为的转置,为的转置证明12若线性相关,则21本题满分11分224ZXY2XYDYDZXDZDXXDXDYA12,12120,2AAAX2PXEX40SINSINSINSINLIMXXXXX2SIN221LXDXXYDYLSINYX0,0,02222035XYZCXYZCXOYFX0XFXFTDTFXFXFX2002XGXFTDTXFTDT210FXXX1211NNNTTATT2RA,2RA设矩阵,现矩阵满足方程,其中,1求证2为何值,方程组有唯一解,求3为何值,方程组有无穷多解,求通解22本题满分11分设随机变量与相互独立,的概率分布为,的概率密度为,记,1求2求的概率密度23本题满分11分设是总体为的简单随机样本记,1证明是的无偏估计量2当时,求2221212NNAAAAAAOOOAAXB1,TNXXXL1,0,0BL1NNAAA1XAXYX11,0,13PXIIY1010YYFY其它ZXY102PZXZ12,NXXXL2,N11NIIXXN22111NIISXXN221TXSNT20,1DT2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷一、选择题18小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内1当时,与等价无穷小,则ABCD2如图,正方形被其对角线划分为四个区域,则ABCD3设函数在区间上的图形为0XSINFXXAX2LN1GXXBX11,6AB11,6AB11,6AB11,6AB,1,1XYXY1,2,3,4KDKCOSKKDIYXDXDY14MAXKKI1I2I3I4IYFX1,3则函数的图形为ABC0XFXFTDTFX023X111FX023X1211FX023X12111FX2023X1OD4设有两个数列,若,则A当收敛时,收敛B当发散时,发散C当收敛时,收敛D当发散时,发散5设是3维向量空间的一组基,则由基到基的过渡矩阵为ABCD6设均为2阶矩阵,分别为的伴随矩阵,若,NNABLIM0NNA1NNB1NNNAB1NNB1NNNAB1NNB221NNNAB1NNB221NNNAB123,3R12311,23122331,101220033120023103111246111246111246111222111444111666,AB,AB,ABFX023X1211,则分块矩阵的伴随矩阵为ABCD7设随机变量的分布函数为,其中为标准正态分布函数,则A0B03C07D18设随机变量与相互独立,且服从标准正态分布,的概率分布为,记为随机变量的分布函数,则函数的间断点个数为A0B1C2D3二、填空题914小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上9设函数具有二阶连续偏导数,则10若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为,则非齐次方程满足条件的解为11已知曲线,则12设,则2,3ABOABO32OBAO23OBAO32OABO23OABOX103072XFXXXEXXYX0,1NY1012PYPYZFZZXYZFZ,FUV,ZFXXY2ZXY0YAYBY12EXYCCXYAYBYX02,00YYY202LYXXLXDS222,1XYZXYZ13若3维列向量满足,其中为的转置,则矩阵的非零特征值为14设为来自二项分布总体的简单随机样本,和分别为样本均值和样本方差若为的无偏估计量,则三、解答题1523小题,共94分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15本题满分9分求二元函数的极值16本题满分9分设为曲线与所围成区域的面积,记,求与的值17本题满分11分椭球面是椭圆绕轴旋转而成,圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成1求及的方程2求与之间的立体体积18本题满分11分1证明拉格朗日中值定理若函数在上连续,在可导,则存在,使得2证明若函数在处连续,在内可导,且,则存在,且19本题满分10分计算曲面积分,其中是曲面的外侧20本题满分11分2ZDXDYDZ,2TTT12,MXXXL,BNPX2S2XKS2NPK22,2LNFXYXYYYNANYX11,2,NYXN122111,NNNNSASA1S2S1S22143XYX2S4,022143XYX1S2S1S2SFX,AB,AB,ABFBFAFBAFX0X0,00LIMXFXA0F0FA32222XDYDZYDZDXZDXDYIXYZ222224XYZ设,1求满足的的所有向量,2对1中的任意向量,证明无关21本题满分11分设二次