概率论与数理统计课后习题答案第一章

第1页共20页概率论与数理统计课后答案习题11解答1将一枚均匀的硬币抛两次，事件CBA,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件CBA,中的样本点。解正，正，（正，反），（反，正），（反，反）A正，正，（正，反）；B（正，正），（反，反）C正，正，（正，反），（反，正）2在掷两颗骰子的试验中，事件DCBA,分别表示“点数之和为偶数偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件DCBABCCABAAB,中的样本点。解6,6,2,6,1,6,6,2,2,2,1,2,6,1,2,1,1,1；1,3,2,2,3,1,1,1AB；1,2,2,1,6,6,4,6,2,6,5,1,3,1,1,1BA；CA；2,2,1,1BC；4,6,2,6,1,5,6,4,2,4,6,2,4,2,5,1DCBA3以CBA,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用CBA,表示以下事件（1）只订阅日报；（2）只订日报和晚报；（3）只订一种报；（4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报；（6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报；（8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。解（1）CBA；（2）CAB；（3）CBACBACBA；（4）BCACBACAB（5）CBA；（6）CBA；（7）CBACBACBACBA或CBCAB（8）ABC；（9）CBA4甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,AAA分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果2A,32AA,21AA,21AA,321AAA,313221AAAAAA解甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。5设事件CBA,满足ABC，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和CBA，CAB，ACB第2页共20页解如图BCACBCABABBCACBACABACBCCABCABCBACBABCAABCCABCBACBACBA6若事件CBA,满足CBCA，试问BA是否成立举例说明。解不一定成立。例如5,4,3A，3B，5,4C，那么，CBCA，但BA。7对于事件CBA,，试问CBACBA是否成立举例说明。解不一定成立。例如5,4,3A，6,5,4B，7,6C，那么3CBA，但是7,6,3CBA。8设31AP，21BP，试就以下三种情况分别求ABP（1）AB，（2）BA，（3）81ABP解（1）21ABPBPABBPABP；（2）61APBPABPABP；（3）838121ABPBPABBPABP。CBACBACBAABCBCACABCBAABCCBA第3页共20页9已知41CPBPAP，161BCPACP，0ABP求事件CBA,全不发生的概率。解1CBAPCBAPCBAP1ABCPBCPACPABPCPBPAP8301611610414141110每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率A“三个都是红灯”“全红”；B“全绿”；C“全黄”；D“无红”；E“无绿”；F“三次颜色相同”；G“颜色全不相同”；H“颜色不全相同”。解271333111CPBPAP；278333222EPDP；91271271271FP；923333GP；989111FPHP11设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率；（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。解一次拿3件（1）05880310012298CCCP；（2）0594031001982229812CCCCCP；每次拿一件，取后放回，拿3次（1）05760310098232P；（2）0588010098133P；每次拿一件，取后不放回，拿3次（1）058803989910097982P；（2）0594098991009697981P12从9,2,1,0中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率501与三个数字中不含A，502或三个数字中不含A。第4页共20页解157310381CCAP；1514231038392CCCAPCAP13从9,2,1,0中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。解9041454102839PPPP14一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率（1）6人中至少有1人生日在10月份；（2）6人中恰有4人生日在10月份；（3）6人中恰有4人生日在同一月份；解（1）4101211166P；（2）00061012116246CP；（3）0073012116246112CCP15从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解60203521392131431314CCCCCCP或6020135211311311334CCCCCP第5页共20页习题12解答1假设一批产品中一、二、三等品各占60，30、10，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解令IA“取到的是I等品”，3,2,1I3290603133131APAPAPAAPAAP。2设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解令A“两件中至少有一件不合格”，B“两件都不合格”5111|2102621024CCCCAPBPAPABPABP3为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别092和093，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为085，求（1）两种报警系统I和II都有效的概率；（2）系统II失灵而系统I有效的概率；（3）在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。解令A“系统（）有效”，B“系统（）有效”则850|,930,920ABPBPAP（1）BAPBPBABPABP86208509201930|ABPAPBP（2）05808620920ABPAPABAPABP（3）8286093010580|BPBAPBAP4设10AP，证明事件A与B独立的充要条件是|ABPABP证A与B独立，A与B也独立。|,|BPABPBPABP|ABPABP1010APAP又|,|APBAPABPAPABPABP而由题设|APBAPAPABPABPABP第6页共20页即1ABPBPAPABPAPBPAPABP，故A与B独立。5设事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都是41，求AP和BP解41BAPBAP，又A与B独立411BPAPBPAPBAP411BPAPBPAPBAP41,2APAPBPAP即21BPAP。6证明若AP0，BP0，则有（1）当A与B独立时，A与B相容；（2）当A与B不相容时，A与B不独立。证明0,0BPAP（1）因为A与B独立，所以0BPAPABP，A与B相容。（2）因为0ABP，而0BPAP，BPAPABP，A与不独立。7已知事件CBA,相互独立，求证BA与C也独立。证明因为A、B、C相互独立，BCACPCBAPCPBAPCPABPBPAPCPBPAPCPBPCPAPABCPBCPACPBA与C独立。8甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为07，08和09，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解令321,AAA分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么90,80,70321APAPAP令B表示最多有一台机床需要工人照顾，第7页共20页那么321321321321AAAAAAAAAAAAPBP9020108070802070908030908070321321321321AAAPAAAPAAAPAAAP9如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为10PP，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。解令A“系统（）正常工作”B“系统（）正常工作”IA“第I个元件正常工作”，NI2,2,1NIAAAPAP221,相互独立。那么22121NNNNAAAAAAPAP2222121122122121NNNNNIINNIINIINNNNNPPPPAPAPAPAAAPAAAPAAAP22211NNNNAAAAAAPBPNNNINIINIININIINIPPPPAPAPAPAPAAP2212111010张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求（1）前三人中恰有一人中奖的概率；（2）第二人中奖的概率。解令IA“第I个人中奖”，3,2,1I1321321321AAAAAAAAAP注利用第7题的方法可以证明INIAA与JNJAAJI时独立。系统I12NN1N22N系统II1N12N2N2N第8页共20页321321321AAAPAAAPAAAP|213121213121213121AAAPAAPAPAAAPAAPAPAAAPAAPAP21859410684951068596104或213102614CCCP（2）|1211212AAPAPAAPAPAP52941069310411在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95的真实患者，但也有可能将10的人误诊。根据以往的记录，每10000人中有4人患有肝癌，试求（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。解令B“被检验者患有肝癌”，A“用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么，00040,100|,950|BPBAPBAP（1）|BAPBPBAPBPAP100340109996095000040（2）|BAPBPBAPBPBAPBPABP003801099960950000409500004012一大批产品的优质品率为30，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2）在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。解令IB“5件中有I件优质品”，5,4,3,2,1,0I（1）30870703032252CBP（2）|00202512BPBBPBBPBBPII3710701308701502BPBP第9页共20页13每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2，1件次品被误判是正品的概率是5，试计算（1）抽取的1件产品为正品的概率；（2）该箱产品通过验收的概率。解令A“抽取一件产品为正品”IA“箱中有I件次品”，2,1,0IB“该箱产品通过验收”（1）90101031|2020IIIIIAAPAPAP（2）|ABPAPABPAPBP8870050109809014假设一厂家生产的仪器，以概率070可以直接出厂，以概率030需进一步调试，经调试后以概率080可以出厂，并以概率020定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了2NN台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求（1）全部能出厂的概率；（2）其中恰有2件不能出厂的概率；（3）其中至少有2件不能出厂的概率。解令A“仪器需进一步调试”；B“仪器能出厂”A“仪器能直接出厂”；AB“仪器经调试后能出厂”显然ABAB，那么80|,30ABPAP2408030|ABPPAABP所以94024070ABPAPBP令IB“N件中恰有I件仪器能出厂”，NI,1,0（1）NNBP940（2）2222222060940060940NNNNNNCCBP（3）NNNNNNKKCBPBPBP940940060111112015进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为P，试求以下事件的概率（1）直到第R次才成功；（2）第R次成功之前恰失败K次；（3）在N次中取得1NRR次成功；第10页共20页（4）直到第N次才取得1NRR次成功。解（1）11RPPP（2）KRRKRPPCP111（3）RNRRNPPCP1（4）RNRRNPPCP11116对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为04，第二次为05，第三次为07击中飞机一次而飞机被击落的概率为02，击中飞机二次而飞机被击落的概率为06，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。解令IA“恰有I次击中飞机”，3,2,1,0IB“飞机被击落”显然0907015014010AP3607050140170150401701501401AP4107050401705014070150402AP1407050403AP而0|0ABP，20|1ABP，60|2ABP，1|3ABP所以4580|30IIIABPAPBP；5420458011BPBP第11页共20页习题13解答1设X为随机变量，且KKXP21,2,1K,则（1）判断上面的式子是否为X的概率分布；（2）若是，试求）为偶数XP和5XP解令,2,1,21KPKXPKK（1）显然10KP，且1121212111KKKKP所以,2,1,21KKXPK为一概率分布。（2）XP为偶数3112141411212KKKKP16112152121555KKKKPXP2设随机变量X的概率分布为EKCKXPK,2,1,且0，求常数C解11EKCKK，而10EKKK1010EC，即11EC3设一次试验成功的概率为10PP，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量X表示试验的次数，求X的概率分布。解,2,1,11KPPKXPK4设自动生产线在调整以后出现废品的概率为P01，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求（1）X的概率分布；（2）5XP。解（1）,2,1,0,10901KPPKXPKK（2）5559010905KKKKXPXP5一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少第12页共20页解因为学生靠猜测答对每道题的概率为41P，所以这是一个5N,41P的独立重复试验。6414341434140555445CCXP6为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为001，各台设备工作情况相互独立。（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过001解（1）017509900102099011920（按POISSON泊松分布近似）（2）1010100,100NPN（按POISSON泊松分布近似）01019900101100111001100100NKKNKKKKKECNXP查表得4N7设随机变量X服从参数为的POISSON泊松分布，且210XP，求（1）；（2）1XP解2LN,21000EXP101111XPXPXPXP2LN1212LN212118设书籍上每页的印刷错误的个数X服从POISSON泊松分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。解21XPXP，即2,2121EE20EXP）（842EEP9在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的POISSON分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；9在长度为T的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为2T的POISSON泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）求（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；第13页共20页解（1）23023,3EXPT（2）25101125,5EXPXPT10已知X的概率分布为X210123P2A1013AAA2A试求（1）A；（2）12XY的概率分布。解（1）1231012AAAAA101A。（2）Y1038P103511035111设连续型随机变量X的概率密度曲线如图138所示试求（1）T的值；（2）X的概率密度；（3）22XP解（1）1350215021T1TFX图138XTO12305第14页共20页（2）其它，03,0,21610,1,2121XXXXXF（3）121121612121220120DXXDXXXP（12设连续型随机变量X的概率密度为其他,00,SINAXXXF试确定常数A并求6XP解令1DXXF，即1SIN0DXXA1COS0AX，即2,0COSAA23|COSSIN62626XXDXXP13乘以什么常数将使XXE2变成概率密度函数解令12DXCEXX即141212DXEECX即141CE411EC14随机变量,2NX，其概率密度函数为644261XXEXFX试求2,；若已知CCDXXFDXXF，求C解22232264432161XXXEEXF2,32第15页共20页若CCDXXFDXXF，由正态分布的对称性可知2C15设连续型随机变量X的概率密度为其他,010,2XXXF以Y表示对X的三次独立重复试验中“21X”出现的次数，试求概率2YP解41221210XDXXP64943412223CYP。16设随机变量X服从1,5上的均匀分布，试求21XXXP如果（1）5121XX；（2）2151XX解X的概率密度为其他,051,41XXF（1）2122114141XXDXXXXP（2）5121154141XXDXXXXP17设顾客排队等待服务的时间X（以分计）服从51的指数分布。某顾客等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布和1YP解210511110110EEXPXP5,4,3,2,1,0,15225KEECKYPKKK5167011152EYP第16页共20页习题14解答1已知随机变量X的概率分布为201XP，302XP，503XP，试求X的分布函数；250XP；画出XF的曲线。解3,132,5021,201,0XXXXXF；50250XPXF曲线2设连续型随机变量X的分布函数为331111,1,80,40,0XXXXXF试求（1）X的概率分布；（2）1|2XXP解（1）X113P404020（2）32111|2XPXPXXP3从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是04，设X为途中遇到红灯的次数，试求（1）X的概率分布；（2）X的分布函数。解（1）3,2,1,0,535233KCKXPKKK列成表格XXF012320501第17页共20页X0123P1252712554125361258（2）3,132,12511721,1258110,125270,0XXXXXXF4试求习题13中第11题X的分布函数，并画出XF的曲线。解31304121121014121411022XXXXXXXXXF5设连续型随机变量X的分布函数为00,0,2XXBEAXFX试求（1）BA,的值；（2）11XP；（3）概率密度函数XF解（1）11LIM2ABEAFXX又100LIM20ABFBEAXX1XXF02325011第18页共20页（2）211111EFFXP（3）0,00,22XXEXFXFX6设X为连续型随机变量，其分布函数为,1,LN1,EXDEXDCXXBXXAXF试确