张瑶谈正态分布在生活实践中的应用

重庆三峡学院毕业设计（论文）题目谈正态分布在生活实践中的应用专业数学与应用数学（师范类）年级2010级学号201006034216作者张瑶指导老师丁楠（教授）完成时间2014年5月目录摘要IABSTRACTII1引言12正态分布121正态分布122标准正态分布323一般正态分布的标准化424数字特征425相关性质53正态分布的应用631正态分布在教育评价中的应用6311比较评价对象的相对位置6312确定优生录取分数线7313确定等级评定人数8314品质评定数量化9315在考试质量控制中的应用1132在产品检验和质量控制中的应用124总结17致谢17参考文献17I谈正态分布在生活实践中的应用张瑶（重庆三峡学院数学与统计学院数学与应用数学（师范类）专业2010级重庆万州404000）摘要正态分布是许多统计方法的理论基础，他是不以人们意志而转移的统计规律，且具有统一的函数表达式正态分布在概率论与数理统计的理论研究和实际应用中都占有十分重要的地位在自然界和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似服从正态分布，如测量误差、产品的各类质量指标、生物学中同一群体的形态指标、经济学中的股票价格、农作物的收获量等等都涉及到正态分布可以说，服从正态分布的随机变量应用之广是任何一种随机变量不能与之相比的因此对于正态分布进行更深入更广泛的研究是值得的本文从其性质及其在教育评价和产品检验与质量控制上的应用进行了分析关键词正态分布；应用；教育评价；产品检验；质量控制IIDISCUSSIONABOUTTHEAPPLICATIONOFTHENORMALDISTRIBUTIONINTHELIFEZHANGYAOGRADE2006,INFORMATIONANDCOMPUTINGSCIENCE,COLLEGEOFMATHEMATICSANDSTATISTICS,CHONGQINGTHREEGORGESUNIVERSITY,WANZHOU,CHONGQING404000ABSTRACTTHENORMALDISTRIBUTIONISTHETHEORETICALBASISFORMANYSTATISTICALMETHODSANDITHASAUNIFORMFUNCTIONEXPRESSIONTHENORMALDISTRIBUTIONPLAYSAVERYIMPORTANTROLEINTHETHEORETICALSTUDYANDPRACTICALAPPLICATIONOFPROBABILITYTHEORYANDMATHEMATICALSTATISTICSANDALARGENUMBEROFRANDOMVARIABLESOBEYORAPPROXIMATENORMALDISTRIBUTIONINSOCIALORINTHENATUREPHENOMENA,SUCHASVARIOUSTYPESOFQUALITYINDICATORSMEASURINGERROR,THEPRODUCTOFTHEHARVESTINTHESAMEMORPHOLOGICALINDEXPOPULATIONBIOLOGY,ECONOMICS,STOCKPRICES,CROPSETCWHICHARERELATEDTOTHENORMALAMOUNTITCANBESAID,THEIMPORTANTOFITISNOTBECOMPAREDWHENTHENORMALLYDISTRIBUTEDRANDOMVARIABLESWIDELYAPPLIEDTOANYKINDOFRANDOMVARIABLESSOFORNORMALDEEPERANDMOREEXTENSIVERESEARCHISMEANINGFULINTHISPAPERWEANALYZETHENATUREANDAPPLICATIONOFEDUCATIONALEVALUATIONANDQUALITYCONTROLONKEYWORDSTHENORMALDISTRIBUTIONAPPLICATIONEDUCATIONALEVALUATIONTHEQUALITYCONTROLPRODUCTSINSPECTION2014届数学与应用数学师范类专业毕业设计（论文）第1页共18页1引言正态分布是一个具有神秘色彩的分布我们知道，对于某一件事或者某个要达到的目标，很多很多的个体发挥出来的水平大致上服从正态分布也就是说，对于大量个体的发挥统计，常常能看到正态分布“冥冥之中”束缚着整体的状态对于某个单独的单位，一般来说，对于“发挥出来的水平”这件事，也往往有波动的效果，不管是机器、工具还是我们人本身有的时候，超水平发挥了；有的时候正常发挥；有的时候又会发挥失常这种东西应该也可以抽象为围绕期望水平的正态分布还有一个角度，如果有若干数据，包括发挥水平、排位情况，但是没有整体数据的时候，如果能推测是正态分布的情形，就可以近似计算出分布函数来，然后去估计其他的分布情况这是反向推导的过程2正态分布正态分布是最重要的一种概率分布正态分布概念是由德国的数学家和天文学家MOIVRE于1733年受次提出的，但由于德国数学家GAUSS率先将其应用于天文学家研究，故正态分布又叫高斯分布正态分布起源于误差分析，早期的天文学家通过长期对一些天体的观测收集到了大量数据，并利用这些数据天体运动的物理模型，其中第谷与开普勒在建模中提出了一条原则“模型选择的最终标准是其与观测数据的符合程度”，这个“符合程度”实质上蕴涵了误差概率理论的问题，伽例略是第一个在其著作中提出随机误差这一概念的人21正态分布定义1设连续性随机变量X的概率密度函数为XEXFX,21222，其中，0为常数，则称X服从参数为，的正态分布或高斯分布（GAUSS）分布，记为2,NX显然0XF，下面来证明1DXXF，令TX/，得到DTEDXETX2/22222121记DTEIT2/2，则有DTDUEIUT2/222，利用极坐标将它化成累次积分，得到2002/222DRDREIR而0I，故有2I，即有22/2DTET，于是张瑶谈正态分布在生活实践中的应用第2页共18页121212/2222DTEDXETXXF的图像如图211所示，它具有以下性质图2111曲线关于X对称这表明对于任意0H有（图211）HXPXHP2当X时取得最大值21FX离越远，XF的值越小这表明对于同样长度的区间，当区间离越远，X落在这个区间上的概率越小在X处曲线有拐点，曲线以OX轴为渐近线另外，如果固定，改变的值，则图形沿着OX轴平移，而不改变其形状（如图212），可见正态分布的概率密度曲线XFY的位置完全由参数所确定，称为位置参数如果固定，改变，由于最大值21XF，可知当越小时图形变得越尖（如图212）,因而X落在附近的概率越大图2122014届数学与应用数学师范类专业毕业设计（论文）第3页共18页由XEXFX,21222式得X的分布函数为（如图213）DTEXFXT22221图21322标准正态分布定义2特别，当0，1时称X服从标准正态分布，其概率密度和分布函数分别用X，X表示，即有2/221TEX，DTEXXT2/221易知XX1（参见图221）图221张瑶谈正态分布在生活实践中的应用第4页共18页23一般正态分布的标准化一般，若2,NX，我们只要通过一个线性变换就能将它化成标准正态分布引理若2,NX，则1,0NXZ证明XZ的分布函数为DTEXXPXXPXZPXT22221，令UT，得XDUEXZPXU2/221，由此知1,0NXZ于是，若2,NX，则它的分布函数XF可写成XXXPXXPXF对于任意区间2,1XX，有122121XXXXXPXXXP24数字特征定义3设离散型随机变量X的分布律为,2,1,KPXXPKK若级数1KKKPX绝对收敛，则称级数1KKKPX的和为随机变量X的数学期望，记为XE即1KKKPXXE设连续型随机变量X的概率密度为XF，若积分DXXXF2014届数学与应用数学师范类专业毕业设计（论文）第5页共18页绝对收敛，则称DXXXF的值为随机变量X的数学期望，记为XE即DXXXFXE数学期望简称期望，又称均值定义4设X是一个随机变量，若2XEXE存在，则称2XEXE为X的方差，记为XD或XVAR，即2XEXEXVARXD在应用上还引入与随机变量X具有相同量纲的量XD，记为X，称为标准差或均方差例设2,NX，求XE，XD解先求标准正态变量XZ的数学期望和方差Z的概率密度为2/221TET，于是2/2/222121TTEDTTEZE，12121212/2/2/22222DTETEDTETZEZDTTT因ZX，即得ZEXE，2222222ZDZEZEZEZEZDXD这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数和分别就是该分布的数学期望和方差，因而正态分布完全可由他的数学期望和方差所确定25相关性质正态分布的一些性质性质1如果2,NX且A和B是实数,那么2,ABANBAX性质2如果2,XXNX与2,YYNY是相互独立的正态随机变量,那么张瑶谈正态分布在生活实践中的应用第6页共18页1他们的和也满足正态分布22,YXYXNYXU2他们的差也满足正态分布22,YXYXNYXV3U和V两者是相互独立的性质3如果NXX,1是独立标准正态随机变量,那么221NXX服从自由度为N的卡方分布3正态分布的应用31正态分布在教育评价中的应用在当今教育实践生活中,有很多的现象是符合或者接近正态分布的,如学生的各科学习成绩、学习动手能力、智力、身高等因此在教育评价中,常常运用正态分布中的面积次数分布,去评价不同学校、不同教师的工作业绩,或对教师、学生的等级和品质进行合理的评定311比较评价对象的相对位置在实际工作中,教育管理者经常要对不同学校、不同班级、不同教师的教学效果进行比较分析,明确它们在总体中的相对位置若仅仅依靠所测定的原始分数如平均分、总分值等来比较分析,则是不科学、不客观的因为这些原始分数,虽然可以用来进行横向比较,但属于缺乏一定参照点的非标准化计分范围只有将这种非标准化的计分转换为标准化的计分,使之具有等距意义,比较分析才具有科学性、客观性“标准分数”就是以标准差为单位表示一个分数在团体中所处位置的相对位置量数,是一种科学的标准化分数标准分数,统计学上又称“Z”分数,它是由原始分数与总体的平均数的差数,除以标准差所得的商其公式为SXXZ/,式中X代表原始分数,X代表总体平均数,S代表总体的标准差从公式看,当某个分数处于平均数的位置时,则0Z,当0Z或0Z,则表示某个原始分数处于平均数位置的上方或下方,Z分数绝对值的大小表示它离平均值的远近程度但是Z分数在3与3之间,有时是负值,有时是多位小数,记起来很不方便,也不符合人们的习惯,于是人们将Z分数变形,用“T分数”来表示,其公式为CKZT即是把标准分Z扩大K倍,再移到C这个中心位置来K为将Z分数扩大的倍数值,一般取10但在常态分配下的面积中,平均位置0Z处上下各3个Z分,已包括总面积的9973,而百分制满分为100分,已十分接近如将K定为13,则Z分为3折算为9973分,与100分很接近,2014届数学与应用数学师范类专业毕业设计（论文）第7页共18页因而将K设定为13较为合适如6013ZT,500100ZT等,都是一种标准分数的转换形式在近几年各省市高考标准化试验中,采用的形式就是500100ZT,取得的效果甚佳例评价某校高一语数外三位教师在该校某学期的教学效果,有关数据如下教师科目班X区XSZT备注甲语文9388173028963766013ZT乙数学857912304886634丙英语878220802406313对于这三位老师的评价，我们习惯上的是从平均分去进行直接比较，此时我们会认为语文老师的教学效果是最好的，实际上由于三位教师所任学科不同,从他们的原始分数的角度是无法进行直接比较的但我们可以通过正态分布的特性用等距意义的标准分数去比较,这样我们得到的情况就截然不同了,最终比较结果是数学教师的教学效果最好我们运用标准正态分布的一些特性，通过把原始分数转换为标准分数,不仅可以比较同一学校里不同学科教师之间的教学效果,还可以比较不同的学校、不同的班级或同校同级同科教师之间的教学效果如果评价对象在入口、出口上存在差异,则可以分别计算出各自入口、出口的标准分数,用它们的标准分数之差进行比较,这样就更能对其工作实绩进行科学的评价312确定优生录取分数线对于任何学校的任何一个年级的学生来说,其中肯定都有一部分学生是优生目前,对于优生的确定,常常是教育行政管理部门事先假设一个分数,然后根据这个假定分数去评价是否为优生,这很不科学,也被许多学校的教师们所反对如何科学地确定优生的分数线,为各个校、各个科目的教师所接受,这是一个比较棘手的问题,而这个问题确是可以运用正态分布理论来轻松解决的其解决方法为,若确定优生率为0P,根据050PP的值去查正态分布表得到Z值,再由SXXZ/便可求得各科优生分数线XZSX例某城市设定初一年级优生率为30,语文、数学、英语的期未考试平均成绩分别为81分、89分、英语79,标准差分别为116、137、131则语文、数学、英语的优生分数线分别为多少解由203050P查得530Z,即8781911530语X,9689713530数X,8679113530外X，张瑶谈正态分布在生活实践中的应用第8页共18页由此我们便可以运用得到这个分数对该城市各校初一年级的语文、数学、英语科的优生分布进行比较分析由上可知,用这种方法不仅可以确定各个年级各个学科的优生分数线,还可以确定各个高校的大中专生的招生的录取分数线以及预测某学生是否考上某学校的录取线例某高校准备通过特招考试招收300名学生，其中大专生270名，中专生30名；报考的人数是1657人，考试满分是400分考试后得知，考试平均成绩166分，360分以上的高分考生31人小王在这次考试中得256分，问他能否被录取能否以大专生被录取分析因为有1657人参加考试，可以认为考试成绩X服从正态分布，且平均分166分，即2,166NX由于正态分布的方差2未知，可以根据360分以上的考生31人这个条件确定下来然后预测小王的名次，即可回答所提出的问题解由01901657311941166360166360XPXP可得9810194，查表得082194，即93（可能因为考生的水平悬殊太大，导致标准差特别大）所以93,1662NX，且有16608340197019316625693166256XPXP,27516571660,在所有考生中，高于小王成绩的约有275人，因此小王大约名次是276名，在300名之前，他能被录取但小王的名次排在270名之后，他只能以中专生被录取313确定等级评定人数在学生成绩或能力符合正态分布时,可将正态分布基线上3Z至3Z之间六个标准差的距离分成相等的几份,然后求出各段Z值间的面积,再乘以总人数,即为各等级评定人数例1某校高中二年级有学生1200人,其数学成绩符合正态分布,把学生数学成绩定为优、良、中、差四个等级,问各等级内应有多少学生解将3Z至3Z分成四等份,每等份Z值为15,即2014届数学与应用数学师范类专业毕业设计（论文）第9页共18页查正态分布表可知,3Z的面积比例为4987,51Z的面积比例为4332,则优等人数面积比例为55632438749,那么,优等人数为6785561200人,即该年级数学成绩优等生约有79人查正态分布表得知51Z的面积比为4332,则成绩良等者约有52032431200人由于属正态分布,成绩属中等者与成绩良等者相同也约有520人,成绩属差等者与成绩优等者相同,也约有79人利用正态分布不仅可以根据等级求人数,而且可以估计分数区间的人数例2某校高中二年级1180名学生,数学考试成绩平均分为85分,标准差为6,问8070分之间有多少人解这仍属求某一段分数区间的概率问题首先把原分数转换为分数526958080Z,8306959090Z,然后求083个标准差与25个标准差之间所含的面积查表296701P,493802P则8070分之间所含面积为191702967049380P,故8070分之间的学生约有233191701180人314品质评定数量化品质评定数量化主要用于不同的评价者对评价对象的等级评分,以求得评价对象的平均成绩情况其方法就是把评价者所评定的各等级人数的百分比作为正态曲线下的面积,再以平分每块面积的值即中位数作为各等级数量化的分数,最后计算每个评价对象等级的数量化分数例某校年度考核评优时,学校三位领导对全校40名教师按A、B、C三个等级进行了评定,结果为ABC合计校长1320740副校长1915640教导主任1818440现要从教学实绩一样的甲、乙、丙三位教师中评出两位优秀,三位领导的评价结果为甲乙丙校长CBA副校长ACB教导主任BAC试问,我们到底应该选评哪两位呢由于不同评价者评的等级不同,而最终究竟要选评哪两位,这种类型的问题就需要把等级数量化也就是把评定的等级转换为标准分数Z解首先,我们应该计算各等级的比率即用各等级人数除以总人数,并将此数值看作该等级在正态曲线下所占的面积值张瑶谈正态分布在生活实践中的应用第10页共18页其次,计算该等21面积和该等以下各等级面积之和,即将某等的比率除以2,再加上该数值以下各等级的数值再次,求该等级21面积分界线至0Z的面积即用该等12以下的面积和与05之差,大于05的,就减去05小于05的,就用05减去该数第四,查表求Z值即以该等21至0Z的面积作值,查表得分数若该等级21面积分界线至0Z的值大于05的,Z值为正,小于05的,Z值为负最后,计算等级分数即用不同评价者所评的等级所对应的值相加并求其平均数,则为各评价对象的等级分数评定等级ABC合计校长各等人数1320740各等比例03250500175100该等21以下面积和08375042500875该等21至0Z的面积03375007504125Z分数098019136副校长各等人数1915640各等比例047503375015100该等21以下面积和07625033750075该等21至0Z的面积02625016250425Z分数071042144教导主任各等人数1818440各等比例045045010100该等21以下面积和07750325005该等21至0Z的面积02750175045Z分数075045165那么,甲、乙、丙三位教师的等级数量化分数分别为甲教师36703450710361，乙教师29303750441190，丙教师2014届数学与应用数学师范类专业毕业设计（论文）第11页共18页54503651420980，从等级数量化分数比较,545036702930,所以,学校评优应评乙、甲两位教师这样,就把定性的评价转化为定量化的评价,更为客观、科学总之,正态分布应用在教育评价实践中,可以克服许多弊端,使教育评价更加公正、客观,使教学管理工作更加科学化315在考试质量控制中的应用随着时代的发展，各校都在致力于探索适合本校的质量管理体系，加强质量管理，以质量求生存，以质量求发展学生的考试成绩是教学质量的主要来源，对其定量和定性的分析，有助于学校掌握教学情况，建立适合本校的质量管理体系和机制，而对学生成绩的评定是教学过程中的一个非常重要的环节，其中我们应如何把握试卷命题难度呢通过样本对总体的某些特征（如均值或方差）推理判断，已成为教育研究中的一种较为常见的方法用统计学原理确定学生成绩的平均分及正态分布曲线，并将成为对试卷分析评价的基础保证考试质量是教学活动中不容忽视的重要组成部分，如何提高考试质量，不仅应在考试前对试卷质量进行分析，更应结合考试后成绩分析作出最终评价用学生的考试成绩可以定量对命题质量进行评价与分析分析学生考试成绩的直方图，其分布大致可以分为5种情形（1）单峰且对称,单峰大体对称（2）单峰但峰值偏向左移（3）单峰但峰值偏右（4）双峰或多峰（5）大体上可以一个平台型为代表等等如果把这5种情形的直方图外廓线描出，则大致为如下图几种情形的曲线附图各种情况成绩分布曲线图根据教育学与统计学的理论，一次难度适中信度的考试，学生的成绩应该接近正态分布也就是说，当学生的成绩接近正态分布时，则说明此次考试基本达到了教学要求判断成绩是否接张瑶谈正态分布在生活实践中的应用第12页共18页近正态分布，最直观且最有效的方法是将成绩分布曲线与均值和方差相同的正态分布曲线加以比较当然，学生成绩呈现正态分布是理想化状态考试成绩完全呈正态分布有一定的困难，也不现实但我们要以正态分布为标准,加以对比，找出不足利用教育统计学研究发现，对于难度适中、客观有效的考试成绩一般都符合正态分布因此，我们有理由使用各种高级统计方法处理考试分数，以挖掘更多的教育信息考试成绩是考生水平的反映，同时考试成绩分布是否正态分布反映了命题质量根据正态分布曲线呈现的形态，可以进行考题相对难度分析平均成绩的差异引起曲线的水平位置变化平均成绩越低，如低于65分说明考试试卷难度越大，而偏高在90分以上说明试卷难度太小若学生成绩分布属（1）的情形，则表明试卷的质量是比较好的这里又有两种情形在标准差不变的情况下随着平均分数的增加曲线向右移说明考生答题逐渐轻松；相反，随着考生平均分数的减小说明考题逐渐变难，学生成绩逐渐降低在学生和教师工作正常情况下，题目越容易曲线越向右移，在平均分不变的情况下，标准差较小，成绩分布较集中正态分布曲线呈陡峭型说明试卷区分度太小，表示中等难度试题所占比重太大，标准差较大，成绩分布较平坦，试卷区分度太大，则表明中等难度试题偏少若学生成绩分布属（2）的情形，即负偏态分布说明难度较大的试题比例偏高，表明试卷题目偏难；若显学生成绩属（3）的情形，即正态分布说明难度较小的试题比例偏重，则表明试卷题目容易若学生成绩分布属（4）或（5）等所示的情形，则表明试卷的命题质量不好，随意性较强，这样的试卷成绩不能很好地测量出学生对所学知识掌握情况正态分布应用的结论考题相对难度是指考题从整体上讲相对考生其难易程度的合理性用学生成绩的平均分数衡量考题相对难度应是合理、可行的对于普通高中模块结业类型的考试，平均分数在80分附近时，考题相对难度是合适的经过确定恰当的偏离度等级标准，对试题难度相对学生分为考题合理,考题稍偏易或稍偏难,考题较易或较难,考题易或难,考题难度不合理等5个等级指标判断综上所述，考试成绩符合正态分布是说明考题命题合理的条件，也是衡量考试质量的一个客观标准所以根据正态分布曲线呈现的状态，可以评价试卷的难易程度，为评价试卷命题质量提供数据资料，进而调整教学进度，改进教学方法32在产品检验和质量控制中的应用正态分布在自动控制、优化设计、包装或加工零件的精度以及在质量管理和控制等方面有着广泛的应用正态分布的均值就是自动控制的设定值，方差就是自动控制的精度；方差越小，精度越高，系统的性能越好正态分布的应用是广泛的，这里列举的只是有限的几个方面的应用零件规格的设计是根据最优化的思想设定加工零件的内径；当新的包装机的精度大大提高的情况下应该购买新包装机；用合理的方法确定可获得超产奖的产量，使得超产奖的奖额能在预定的计划内；根据考试成绩服从正态分布的特点，应用正态分布确定录取分数线及考生的大致名次；根据正态分布的特点设定公共汽车车门高度（或者一些公共设施的规格）的确定例1（零件规格的设计）由自动生产线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布1,N，平均内径是待定的，可以通过调整该自动生产线来设定，方差2反映这条自动生产线的加工精度如果加工的零件内径小于10或大于12均为不合格品，其余为合格品销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润L（单位元）与销售零件的内径X有如下关系2014届数学与应用数学师范类专业毕业设计（论文）第13页共18页L12X,512X10,2010X,1若若若问平均直径为何值时，才能使销售一个零件的平均利润最大解由于L是随机变量，它是X的函数，所以平均利润即为期望利润由1,NX，那么1,0NX,510211225125510102012201251012102012510201020XPXPXPXPXPXPLE可知，期望利润与平均内径有关，是的一元函数为了求期望利润LE的最大值，令012251021DLDE，其中X，X分别为标准正态分布的分布函数与概率密度函数，则EE21221022225221，即EE212210222521,解之，得9102125LN2111由此可知，当平均内径设置为109毫米时，可使得销售的每个零件的平均利润最大例2（产品质量控制）某果汁加工厂生产一种容量为1磅重的罐装果汁，自动包装线上大量数据表明，每罐容量是服从标准差为01磅的正态分布为了使每罐果汁少于1磅的产品不多于10，应把自动包装线控制的均值调节到什么位置上一台新的包装机价格是10万元，但罐装的果汁的容量服从标准差为0025磅的正态分布，同样为了使每罐果汁少于1磅的产品不多于10，应把自动包装线控制的均值调节到什么位置上解设X表示原自动包装线上一罐果汁的容量，则210,NX，若把自动包装线的均值控制在1磅的位置上，则少于1磅的饮料要占全部饮料的50，这是不合要求的为了把均值控制在比1磅大的位置上，使少于1磅的果汁所占的比例不多于10，其中必须满足概率方程101XP,即10101101101XPXP,张瑶谈正态分布在生活实践中的应用第14页共18页于是90101,由此可得281101,从而1281即把自动包装机的均值调节到1128的位置上才能保证少于1磅的罐装果汁不多于10，即平均每罐要多装0128磅如果投资10万元新买一台包装机，新包装线上每罐果汁的容量为Y，则210250,NY，为了使少于1磅的果汁所占的比例不多于10，其中1必须满足方程101YP即10025010250102501111YPYP,于是90025011,由此可得281025011,从而03211,即把自动包装机的均值调节到1032的位置上就能保证少于1磅的罐装果汁不多于10这样采用新包装机平均每罐可节约果汁096003211281磅若以每日生产2500罐果汁计算，则每日可节约24009602500磅，如果每1磅果汁的成本为35元，则工厂每日可增加利润8400元，12天就能赚回成本，第13天就可获净利润，因此该果汁加工厂应该购买新的包装机由于自动线包装的果汁的容量服从正态分布，正态分布的方差反映了包装机的精度，它不仅影响到产品的质量，而且影响到工厂的效益所以在一些产品的质量控制过程中，更重要的是控制方差例3（可获得超产奖的产量某儿童玩具模型制造厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需要对生产定额作出规定根据以往的统计资料可知，各个工人每月装配的产品件数X服从正态分布2200,4000N车间主任希望10的工人获得超产奖，那么定额标准应该是多少件即工人每月需要装配多少件产品以上才能获得奖金解设0X为定额标准，那么100XXP，则90100XXPXXP,于是90200400020040002004000000XXXPXXP查表，可得2014届数学与应用数学师范类专业毕业设计（论文）第15页共18页28120040000X，所以425620028140000X（件）也就是说，工人每月必须装配产品4256件以上才能获得超产定额奖例4（公共汽车车门高度的确定）据说公共汽车车门的高度是按成年男子与车门碰头的机会在001以下的标准来设计的根据统计资料，成年男子的身高X服从正态分布27,168N（厘米），那么车门的高度应该是多少厘米解设车门的高度应为A，那么应确定A使其满足010AXP由于27,168NX，则010716817168716811AAXPAXPAXP于是9907168A，因此有3327168A，故311843327168A厘米由此可知，车门的高度至少应该为18431厘米例5（机器是否正常）某车间用一台包装机包装葡萄糖包得的袋装糖中是一个随机变量,它服从正态分布当机器正常时,其均值为05公斤,标准差为0015公斤某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的糖9袋,称得净重为公斤049705060518052404980511052005150512问机器是否正常分析以,分别表示这一天袋装糖重总体X的均值和标准差由于长期实践证明标准比较稳定,我们就设0150于是20150,NX,这里未知问题是根据样本值来判断50还是50为此,我们提出两个相对独立的假设5000H和01H然后,我们给出一个合理的法则,根据这一法则,利用已知样本做出决策是接受假设0H即拒绝假设1H，还是拒绝假设0H（即接受假设1H）如果做出的决策时接受0H,则认为0,即认张瑶谈正态分布在生活实践中的应用第16页共18页为机器工作是正常的,否则,则认为是不正常的由于要检验的假设涉及总体均值,故首先想到的是否可借助样本均值X这一统计量来进行判断我们知道,X是的无偏估计,X的观察值的大小在一定程度上反映的大小因此,如果假设0H为真,则观察值X和0的偏差0X一般不应太大若0X过分大,我们就怀疑假设0H的正确性而拒绝0H,并考虑到当0H为真时1,0/0NNX而衡量0X的大小可归结为衡量NX/0的大小基于上面的想法,我们可适当选定一正数K,使观察值X满足KNX/0时就拒绝假设0H,反之,若KNX/0,就接受假设0H然而,由于作出决策的依据是一个样本,当实际上0H为真时仍可能做出拒绝0H的决策这种可能性是