电磁场与电磁波第四版课后答案谢处方VIP

青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET1青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET电磁场与电磁波（第四版）课后答案第一章习题解答11给定三个矢量A、B和C如下23XYZE45XZ求（1）AA；（2）；（3）；（4）AB；（5）在上的分量；（6）C；（7）B和；（8）C和。解（1）2212341413XYZAXYZEEE（2）XYZYZ65XYZ（3）BE11（4）由COSAB147238，得1COSAB15238（5）在上的分量BCOSAB17（6）AC12350XYZE4130XYZEE（7）由于B2XYZ852XYZEA1304XYZE104XYZE所以C2XYZ852BEXZ（8）A10452XYZ05XYZEE青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET2青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONETABC123850XYZE41XYZEE12三角形的三个顶点为1,2P、,3和6,25P。（1）判断123P是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。解（1）三个顶点0,、24,和3,的位置矢量分别为YZRE，2XYZRE，625XYZRE则121ZR，238RE，3367XY由此可见12480XZXYZEE故123P为一直角三角形。（2）三角形的面积123123176913SRR13求,14点到,P点的距离矢量及的方向。解3PXYZRE，XYZRE，则5P且R与、轴的夹角分别为11COSCOS321XPXER0475YYP11COSCOS93ZZER14给定两矢量23XYZAE和56XYZBE，求它们之间的夹角和A在B上的分量。解与之间的夹角为113COSCOS1297A在上的分量为3527B15给定两矢量24XYZE和64XYZBE，求AB在XYZCE上的分量。解AB23461XYZE3210XYZEE青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET3青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET所以AB在C上的分量为CAB2514316证明如果和，则BC；解由，则有A，即由于，于是得到故17如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，PX而P，P和P已知，试求X。解由P，有XAA故得P18在圆柱坐标中，一点的位置由24,3定出，求该点在（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。解（1）在直角坐标系中COSX、4SIN23Y、3Z故该点的直角坐标为2,3。（2）在球坐标系中2435R、1TA5、10故该点的球坐标为5,1019用球坐标表示的场25REE，（1）求在直角坐标中点3,4处的和XE；（2）求在直角坐标中点处与矢量2YZBE构成的夹角。解（1）在直角坐标中点,5处，223450R，故21REECOS205XRX（2）在直角坐标中点3,4处，34XYZE，所以2510XYZRE故E与B构成的夹角为1902COSCOS1536BE110球坐标中两个点1,R和2,R定出两个位置矢量R和2。青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET4青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET证明1R和2间夹角的余弦为121212COSCSINSCO解由1INSXYZRRREEE22222I得到1CSR121212INCOSISINSISNCOS112CIOC111一球面S的半径为5，球心在原点上，计算3SIDRSE的值。解3SIND3SINDRRRSSSEE2220SIN5I75112在由5、Z和4围成的圆柱形区域，对矢量2RZA验证散度定理。解在圆柱坐标系中2132RZRA所以42500D3D10Z又2RZRZSSSSAEEE4522005D4D120R故有D1SA113求（1）矢量2223XYZXYEE的散度；（2）求A对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求对此立方体表面的积分，验证散度定理。解（1）22232247ZXYXZXYA（2）对中心在原点的一个单位立方体的积分为12221D7D24XZZ（3）对此立方体表面的积分121222DSYZYZA1122DXX青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET5青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET1212232314D4D24XYXYXY故有DAS114计算矢量R对一个球心在原点、半径为A的球表面的积分，并求R对球体积的积分。解2230DDSIN4RSSE又在球坐标系中，213R，所以30DSIND4ARA115求矢量2XYZAEE沿XY平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与轴和轴相重合。再求A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。解22220000DDD8CXYL又22XYZXZEAE所以0DD8XZZSYXY故有8CALS116求矢量2XYE沿圆周22XYA的线积分，再计算A对此圆面积的积分。解2DDCL42420COSINCOSINDAYXZZSSASEE2420DIAYRR117证明（1）3R；（2）R；（3）AR。其中XYZRE，为一常矢量。解（1）XYZ青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET6青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET（2）XYZER0（3）设XYZAEE，则XYZAR，故XYZXYZAEZXZEXYZE118一径向矢量场RFF表示，如果0F，那么函数FR会有什么特点呢解在圆柱坐标系中，由1DRF可得到CFR为任意常数。在球坐标系中，由21D0RFF可得到2FR119给定矢量函数XYEE，试求从点1,P到点28,1P的线积分DEL（1）沿抛物线2；（2）沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗解（1）DXYCLDCXY2212164（2）连接点,P到点8,直线方程为2XY即0XY故21DD64DXYCEYL214D1Y由此可见积分与路径无关，故是保守场。120求标量函数2Z的梯度及在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量345500XYEE定出；求2,31点的方向导数值。解2XYZZXXYE2ZE青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET7青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET故沿方向345500LXYZEE的方向导数为265LXYL点2,31处沿E的方向导数值为1015L121试采用与推导直角坐标中YXZA相似的方法推导圆柱坐标下的公式1ZRA。解在圆柱坐标中，取小体积元如题121图所示。矢量场A沿RE方向穿出该六面体的表面的通量为DDZZRRRAR,RRZAZ1RRZ同理DDRZRZAR,ARZRZAZRDDRZZZRR,ZZAZZAR因此，矢量场穿出该六面体的表面的通量为1RZRZA故得到圆柱坐标下的散度表达式01LIMRZA122方程22XYZUABC给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解由于22XYZUABCEERZOXYZ题121图青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET8青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET22XYZUABC故椭球表面上任意点的单位法向矢量为2222XYZXYZCNEE123现有三个矢量A、B、C为SINCOSCOSINRE22ZZZRE3XYXE（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示（2）求出这些矢量的源分布。解（1）在球坐标系中211SINISIRAAR21SNCOCOSINISIRRS2I0INRR2IN1SINSIRRAAEE2SIN10SINCOSCOSISRRRRREEE故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；在圆柱坐标系中1ZRBB221SINCOSSINZRZINRR22110SINCOSINZRZRZBZREEE青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET9青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中YXZC2230XZ2263XYZYEEC故矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。（2）这些矢量的源分布为0A，；2SINRB，0B；C，26ZXYE124利用直角坐标，证明FFA解在直角坐标中YXZXYZFFFFAAXYZFFFFAXYZAFF125证明HH解根据算子的微分运算性质，有A式中A表示只对矢量作微分运算，H表示只对矢量作微分运算。由ABCB，可得AA同理HH故有126利用直角坐标，证明FFGG解在直角坐标中YYXXZZXFFGEEEFZYYXZZYXFFFFF所以青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET10青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONETFFGYZXZYGFFYZEXXZGFFXYZYXYEYZXFFXZFGFZEYXZFEF127利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明0U及0A，试证明之。解（1）对于任意闭合曲线C为边界的任意曲面S，由斯托克斯定理有DD0SCUULL由于曲面是任意的，故有0（2）对于任意闭合曲面为边界的体积，由散度定理有12DDDDSSSAA其中1S和2如题127图所示。由斯托克斯定理，有11SCL，22SCL由题127图可知C和2是方向相反的同一回路，则有12D所以得到1222DD0CCALALLAL由于体积是任意的，故有01N1C2SS2N题127图青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET11青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET第二章习题解答21一个平行板真空二极管内的电荷体密度为43209UDX，式中阴极板位于0X，阳极板位于XD，极间电压为0。如果V、1CMD、横截面21CS，求（1）和XD区域内的总电荷量Q；（2）和D区域内的总电荷量Q。解（1）4320D9XS104720C3USD（2）43202DD9QUXS10341970SD22一个体密度为7323CM的质子束，通过1V的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2M，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。解质子的质量2710KGM、电量1960CQ。由2VU得613VS故08J2AM26ID23一个半径为A的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为Z轴。设球内任一点P的位置矢量为R，且与Z轴的夹角为，则P点的线速度为SINRVE球内的电荷体密度为34QA故3SINSIN4RRAJVEE24一个半径为A的导体球带总电荷量为，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为Z轴。设球面上任一点P的位置矢量为R，且与Z轴的夹角为，则P点的线速度为SINAVRE球面的上电荷面密度为24Q青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET12青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET故2SINSIN44SQAAJVEE25两点电荷18CQ位于Z轴上处，2CQ位于Y轴上4处，求4,0处的电场强度。解电荷在4,0处产生的电场为11330042XZERE电荷2Q在,处产生的电场为2233004XYQR故4,0处的电场为1202XYZEE26一个半圆环上均匀分布线电荷L，求垂直于圆平面的轴线上ZA处的电场强度0,A，设半圆环的半径也为A，如题26图所示。解半圆环上的电荷元DLL在轴线上Z处的电场强度为30D4RECOSIND82ZXYLAEE在半圆环上对上式积分，得到轴线上Z处的电场强度为0,DAE20COSIND8LZXYEE028LZXAE27三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为1L、2L和3L地线电荷构成等边三角形。设1L2L3L，计算三角形中心处的电场强度。解建立题27图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为TAN026DL则111003COS3542LLYYEEE1200IN8LLXYXYLLE333COS2LLXYXYE故等边三角形中心处的电场强度为题26图题27图青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET13青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET123E110003388LLLYXYXYLLLEEE104LYE28点电荷Q位于,A处，另点电荷2Q位于,A处，空间有没有电场强度的点解电荷在,Z处产生的电场为122304XYZAEEE电荷2Q在,XYZ处产生的电场为22230XYZQ,XYZ处的电场则为1。令，则有223XYZAEE223XYZAE由上式两端对应分量相等，可得到3223YZXAYZ22XAY3223ZYZXAYZ当0Y或Z时，将式或式代入式，得0A。所以，当或时无解；当且时，由式，有332XAX解得A但32XA不合题意，故仅在,0处电场强度0E。29一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明垂直于平面的Z轴上0处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为3Z的圆内的电荷产生的。解半径为R、电荷线密度为DLR的带电细圆环在轴上0处的电场强度为023DZREE故整个导电带电面在Z轴上0处的电场强度为02321000DZZZRREEEE而半径为0的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为题210图青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET14青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET0033023210D142ZZZRREEEEE210一个半径为A的导体球带电荷量为Q，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题210图所示。求球心处的磁感应强度B。解球面上的电荷面密度为24QA当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量RAE点处的电流面密度为SZRJVRESINSIN4AAE将球面划分为无数个宽度为DL的细圆环，则球面上任一个宽度为DLA细圆环的电流为SIDSQIJ细圆环的半径为SINBA，圆环平面到球心的距离COSA，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为203DDZIBE23023IN8SSZAE30SIN8ZQAE故整个球面电流在球心处产生的磁场为300SIND86ZZQQAABEE211两个半径为B、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为，如题211图所示。电流I以相同的方向流过这两个线圈。（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度XE；（2）证明在中点处DXB等于零；（3）求出B与之间的关系，使中点处22DBX也等于零。解（1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度203ZIAE得到两个线圈中心点处的磁感应强度为2034XNIBDE（2）两线圈的电流在其轴线上X0处的磁感应强度为2200323XIIBBXB所以2005225DND故在中点X处，有题211图青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET15青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET220055D33044XBNIBDIBD（3）222721XXN2007253IBDIBDX令D22XB，有414522即22DB故解得212一条扁平的直导体带，宽为A2，中心线与Z轴重合，通过的电流为I。证明在第一象限内的磁感应强度为04XB，021LN4YIRBA式中、和如题212图所示。解将导体带划分为无数个宽度为XD的细条带，每一细条带的电流AI2。由安培环路定理，可得位于X处的细条带的电流ID在点,YXP处的磁场为00D24IBRA021X则SINXIY02DDCO4YXA所以024AXIBXY0RCTANAIXY0RCTNTA0ATT4IXXYY02104IA2D4AYIXBY2LN8AXY20LN8I01LIRA题212图青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET16青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET题213图213如题213图所示，有一个电矩为1P的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为2P的电偶极子，位于矢径为R的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为121212403SINCOSCSRPF式中1,RP，2,，是两个平面,RP和,间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大解电偶极子1在矢径为R的点上产生的电场为115304RPE所以1P与2之间的相互作用能为121215303EWRR因为1,R，2,RP，则11COS22又因为是两个平面,R和,间的夹角，所以有12122SINCOSPP另一方面，利用矢量恒等式可得RR12RPR2112RP因此1212RP122SINCOSP122COS于是得到EW12304R12SINCOS12COS故两偶极子之间的相互作用力为ERQCONSTF20P12SIS12S3DR403PRINCO12COS由上式可见，当12时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。214两平行无限长直线电流1I和2，相距为D，求每根导线单位长度受到的安培力MF。解无限长直线电流1I产生的磁场为0112IRBE直线电流2I每单位长度受到的安培力为01210DMZIDFE青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET17青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET式中12E是由电流1I指向电流2I的单位矢量。同理可得，直线电流1每单位长度受到的安培力为022121MDF215一根通电流1I的无限长直导线和一个通电流2I的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为，如题215图所示。证明两电流间相互作用的安培力为012SECMFI这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解无限长直线电流1I产生的磁场为012IRBE圆环上的电流元2DIL受到的安培力为012212DMYIIXFLL由题215图可知SINCOSXZAEA所以2012IDCOSMZXIDE201COSDXAI0120122EXXAIDIE216证明在不均匀的电场中，某一电偶极子P绕坐标原点所受到的力矩为RPE。解如题216图所示，设DQPL，则电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为21TRRED22QLLLLRRDD2QLRLER当D1L时，有2LLERDRR故得到DQQTLLERRP题215图题216图青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET18青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET19青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET第三章习题解答31真空中半径为A的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷Q和，试计算球赤道平面上电通密度的通量如题31图所示。解由点电荷Q和共同产生的电通密度为34RD223223RZRZAAEE则球赤道平面上电通密度的通量0DDZSS23230D4AQARRR210029Q321911年卢瑟福在实验中使用的是半径为AR的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电荷量为ZE的电子云，在球心有一正电荷ZE（是原子序数，E是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为02314RAZRD，试证明之。解位于球心的正电荷ZE球体内产生的电通量密度为124RZED原子内电子云的电荷体密度为33AA电子云在原子内产生的电通量密度则为322344RRAEDE故原子内总的电通量密度为122314RAZERD33电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为30CM,两圆柱面半径分别为A和B，轴线相距为CAB，如题33图A所示。求空间各部分的电场。解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0的两种电荷分布，这样在半径为B的整个圆柱体内具有体密度为0的均匀电荷分布，而在半径为A的整个圆柱体内则具有体密度为0的均匀电荷分布，如题33图B所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。在BR区域中，由高斯定律0DSQE，可求得大、小圆柱中的正、负QQA赤道平面题31图题33图ABC0青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET20青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET电荷在点P产生的电场分别为2201RBREE22010RAREE点P处总的电场为210BARE在BR且A区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为220RRE22200RAREE点P处总的电场为02E在AR的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别为203RRE2030RREE点P处总的电场为0302EC34半径为A的球中充满密度R的体电荷，已知电位移分布为3254RARD其中A为常数，试求电荷密度R。解由，有21DRRDR故在RA区域23001D54RA在区域5422AAR35一个半径为A薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为4RAEE，设球内介质为真空。计算（1）球内的电荷分布；（2）球壳题33图BABC0ABC0ABC0青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET21青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET外表面的电荷面密度。解（1）由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为2001DRE4320041D6RRA（2）球体内的总电量Q为3406A球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷Q，而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以球壳外表面上的总电荷为2，故球壳外表面上的电荷面密度为024A36两个无限长的同轴圆柱半径分别为RA和BA，圆柱表面分别带有密度为1和2的面电荷。（1）计算各处的电位移0D；（2）欲使RB区域内0D，则和应具有什么关系解（1）由高斯定理0DSQD，当RA时，有01当ARB时，有021R，则02RAE当时，有32B，则1203RBD（2）令1203RABDE，则得到1BA37计算在电场强度XYEE的电场中把带电量为2C的点电荷从点1,P移到点28,P时电场所做的功（1）沿曲线XY；（2）沿连接该两点的直线。解（1）DDXYCCCWQEFLL221YX2616D42810QYQJ（2）连接点,P到点28,直线方程为1XY即640XY故W21DDDCQXYQ2614D280QYJ38长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为0L。（1）计算线青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET22青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET电荷平分面上任意点的电位；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用核对。解（1）建立如题38图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为202D,04LLZRR20LNL202L4R20LNLR（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元ZLD0在点P的电场为02DDCOSLRRZEE0232LRZE故长为L的线电荷在点P的电场为202320LRRZEE2020LLRZRE024LRL由求，有220LN2LLRE022212LRRRLLE0224LRLE39已知无限长均匀线电荷L的电场0LRE，试用定义式DPREL求其电位函数。其中PR为电位参考点。解000DLNLN22PPPRRRLPRL由于是无限长的线电荷，不能将选为无穷远点。310一点电荷Q位于,A，另一点电荷Q位于,A，求空间的零电位面。解两个点电荷和2在空间产生的电位2LLPZRO0L题38图青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET23青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET222201,4QQXYZXAYZXAYZ令,0Z，则有22220即XYZXYZ故得2225433AA由此可见，零电位面是一个以点,0为球心、为半径的球面。311证明习题32的电位表达式为20134AZERR解位于球心的正电荷ZE在原子外产生的电通量密度为124RZED电子云在原子外产生的电通量密度则为3224ARRDEE所以原子外的电场为零。故原子内电位为230011DD4AARRED01AZRR312电场中有一半径为的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为2COSRAARR（1）求圆柱内、外的电场强度；（2）这个圆柱是什么材料制成的表面有电荷分布吗试求之。解（1）由E，可得到A时，0ERA时，22COSCOSRAAARREE221S1INRAE（2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为000COSRRAAANE313验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足20（1）SIHZKXLYE其中22KL；（2）COSINRA圆柱坐标；（3）圆柱坐标；（4）S球坐标；（5）2CR球坐标。青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET24青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET解（1）在直角坐标系中22XYZ而22SINSINHZHKXLYEKLEX2ZZLXYY2SINSINHZHZKXLYEKLEZ故222I0HZXLY（2）在圆柱坐标系中221R而1COSINNRRA2COSINNRA22SINRR2COIN0AZ故20（3）211COSCOSNNRRR22N2COS0RZ故2（4）在球坐标系中22222111SINISINRR而2COSRR2211SINICOISINR2SNSRR222CO0SINSIRRR故0（5）22211SCSRRRR青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET25青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET22211SINSINCOSIIRRR4I222COS0SINSINRRR故0314已知0Y的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解（1）COSHEX；（2）Y；（3）2IN（4）ZSI。解（1）222COHCOSHCOSHYYYEXEXEXXZ2COSH0YEX所以函数YS不是0空间中的电位的解；（2）222SSYYYZCOSSYEX所以函数Y是0空间中可能的电位的解；（3）222COSINCOSINCOSINYYYEXEXEXZ224I0Y所以函数YIS2不是0空间中的电位的解；（4）22NSISINISINIXZXYZXYZY3Z所以函数YISI不是0空间中的电位的解。315中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为0XYZPE。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。解（1）03P220XLXLXPNEPX同理0222PPPLYYZZ青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET26青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET（2）3200D6PPSLQP316一半径为0R的介质球，介电常数为R，其内均匀分布自由电荷，证明中心点的电位为2013RR解由DSQD，可得到0RR时，3214R即，1003RRDE0R时，3204RRD即2，30122RR故中心点的电位为00003122DD3RRRRERR22001633RRR317一个半径为的介质球，介电常数为，球内的极化强度RKPE，其中K为一常数。（1）计算束缚电荷体密度和面密度；（2）计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。解（1）介质球内的束缚电荷体密度为22DPKRP在RR的球面上，束缚电荷面密度为PRRRRKNPE（2）由于0DEP，所以00DEDP即1由此可得到介质球内的自由电荷体密度为2000PKR总的自由电荷量014DDRRKQ（3）介质球内、外的电场强度分别为100RKPEER2224RRQRR青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET27青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET介质球内、外的电位分别为112DDRRRERL200RRKKLNRRR220DDRRER0R318（1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度；（2）导出束缚电荷密度P的表达式。解（1）由0D，得束缚电荷体密度为P在介质内没有自由电荷密度时，0D，则有0PE由于E，有E所以由此可见，当电介质不均匀时，可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。（2）束缚电荷密度P的表达式为00PE319两种电介质的相对介电常数分别为1R2和2R3，其分界面为Z0平面。如果已知介质1中的电场的235XYZEEE那么对于介质2中的2和D，我们可得到什么结果能否求出介质2中任意点的2E和解设在介质2中222,0,0,0,0XYZYEXEXYEEE23R在0Z处，由12ZE和12ZD，可得02,50XYXYZXEEE于是得到2,X3YX2,1Z故得到介质2中的和2D在0Z处的表达式分别为20,69XYZYXEEED青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET28青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET不能求出介质2中任意点的2E和D。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上的电场是不相同的。320电场中一半径为A、介电常数为的介质球，已知球内、外的电位函数分别为30102COSCOSRARRA20E验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。解在球表面上00103,COSCOSCOS22AAEA203,E10003COSCOSCOS22RA203R故有12,A，12RARA可见和2满足球表面上的边界条件。球表面的束缚电荷密度为202PRARNPEE02003COSRAE321平行板电容器的长、宽分别为和B，极板间距离为D。电容器的一半厚度0D用介电常数为的电介质填充，如题321图所示。11板上外加电压0U，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；22若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷；33求电容器的电容量。解（1）设介质中的电场为ZEE，空气中的电场为0EZE。由D0D，有0又由于002UDE由以上两式解得02D，00ED题321图0U2DZ青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET29青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET故下极板的自由电荷面密度为02UED上上极板的自由电荷面密度为00上电介质中的极化强度02ZDPE故下表面上的束缚电荷面密度为0PZUP上上表面上的束缚电荷面密度为2ZDE上（2）由0QAB得到02U故PAB上0Q上（3）电容器的电容为02CUD322厚度为T、介电常数为04的无限大介质板，放置于均匀电场0E中，板与0成角1，如题322图所示。求（1）使24的1值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。解（1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有02TAN由此得到111020TANTTTAN4（2）设介质板中的电场为E，根据分界面上的边界条件，有0NE，即01COSN所以0COS14NE介质板左表面的束缚电荷面密度0003CS7284PNE介质板右表面的束缚电荷面密度003COS14728PNE323在介电常数为的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的0E和D（1）平行于E的针形空腔；题322图0E0E102青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET30青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET（2）底面垂直于E的薄盘形空腔；（3）小球形空腔（见第四章414题）。解（1）对于平行于的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有0E。故在针形空腔中0，00DE（2）对于底面垂直于的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有0D。故在薄盘形空腔中0，0324在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板0Y处的1一直变化到另一极板YD处的2，试求电容量。解由题意可知，介质的介电常数为11YD设平行板电容器的极板上带电量分别为Q，由高斯定理可得YDS121YEYDS所以，两极板的电位差22100DLNYQQDUY故电容量为21LNSQC325一体密度为733M的质子束，束内的电荷均匀分布，束直径为2M，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。解在质子束内部，由高斯定理可得2012RE故7412033V28540RRE310MR在质子束外部，有0REA故276212033854RAR310R326考虑一块电导率不为零的电介质,，设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证明当介质中有恒定电流J时，体积内将出现自由电荷，体密度为J。试问有没有束缚体电荷P若有则进一步求出P。解DEJ对于恒定电流，有0J，故得到介质中有束缚体电荷P，且青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET31青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET00PJDEJ0J327填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为A，外导体内半径为C，介质的分界面半径为B。两层介质的介电常数为1和2，电导率为1和2。设内导体的电压为0U，外导体接地。求（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。解（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由DSIJ，可得电流密度2RIJEARC介质中的电场11REB22RIERC由于01DBCABU12LNLBIA于是得到1202LNLUIC故两种介质中的电流密度和电场强度分别为1202LLNRBABJEARC11RCEB022LNLRUBABERC（2）由ND可得，介质1内表面的电荷面密度为12012LLNRA介质2外表面的电荷面密度为21022LLRCUBACBEE两种介质分界面上的电荷面密度为1212RRRBE1210LNLC（3）同轴线单位长度的漏电阻为012ABRI青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET32青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为122LNLCBACB328半径为1R和221的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为、电导率为0KR的导电媒质K为常数。若内导体球面的电位为0U，外导体球面接地。试求（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面间的电阻。解设由内导体流向外导体的电流为I，由于电流密度成球对称分布，所以1224RIRRJE电场强度0RKE由两导体间的电压22110DD4RRIURR210LN4RKI可得到0214LNIRK所以0212LRJE媒质中的电荷体密度为20212LNKURRJ媒质内、外表面上的电荷面密度分别为101121LNRRKEJ202221LRRUR（2）两理想导体球面间的电阻021LN4UKI329电导率为的无界均匀电介质内，有两个半径分别为1R和2的理想导体小球，两球之间的距离为,21RD，试求两小导体球面间的电阻。解此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷Q和，由于两球间的距离1RD、2，可近似认为小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷Q和的电位叠加求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET33青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET设两小球分别带电荷Q和，由于1RD、2，可得到两小球表面的电位为112421QRD所以两小导体球面间的电容为212124QCRDR由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为1212124IGRDR故两个小导体球面间的电阻为12124GRDR330在一块厚度的导电板上，由两个半径为R和的圆弧和夹角为的两半径割出的一块扇形体，如题330图所示。求（1）沿厚度方向的电阻；（2）两圆弧面之间的电阻；沿方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为。解（1）设沿厚度方向的两电极的电压为1U，则有DUE11J211ISR故得到沿厚度方向的电阻为121UDRIR（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为2I，则RDISJ22RDJE2121LNRIU故得到两圆弧面之间的电阻为221LNRRID（3）设沿方向的两电极的电压为3U，则有30DER由于E与无关，所以得到题330图1R2RDJ青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET34青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET33UREEJ2313321DLNRSDURIE故得到沿方向的电阻为321LRIR331圆柱形电容器外导体内半径为B，内导体半径为A。当外加电压U固定时，在B一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值MINE的内导体半径A的值和这个MINE的值。解设内导体单位长度带电荷为L，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为02LR由内外导体间的电压0DLN2BBLAABUERA得到02LNB由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式LNABRUE在圆柱形电容器中，AR处的电场强度最大LA令AE对的导数为零，即0LN12BAE由此得到1/LNB故有782EBUMIN332证明同轴线单位长度的静电储能EW等于2LQC。L为单位长度上的电荷量，C为单位长度上的电容。解由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为2LQER内外导体间的电压为DLN2BBLAABUERRA则同轴线单位长度的电容为2LQCU青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWWQINGLAJIAONET35青辣椒考研试卷网考研专业课特工WWW