概率论与数理统计习题答案

概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第1页共99页第一章随机事件及其概率1写出下列随机试验的样本空间（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度解所求的样本空间如下（1）S2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12（2）SX,Y|X2Y202设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件（1）A发生，B和C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A、B、C都发生；（4）A、B、C都不发生；（5）A、B、C不都发生；（6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生解所求的事件表示如下12345678ABCAB3在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则（1）事件AB表示什么（2）在什么条件下ABCC成立（3）在什么条件下关系式是正确的B（4）在什么条件下成立A解所求的事件表示如下（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABCC成立（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式是正确的B（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，成立A4设PA07，PAB03，试求PA概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第2页共99页解由于ABAAB,PA07所以PABPAABPAPAB03,所以PAB04,故104065对事件A、B和C，已知PAPBPC，PABPCB0,PAC1418求A、B、C中至少有一个发生的概率解由于故PABC0,0,则PABCPAPBPCPABPBCPACPABC115486设盒中有只红球和B只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率A两球颜色相同，B两球颜色不同解由题意，基本事件总数为，有利于A的事件数为，有利于B的2AB2ABA事件数为,111ABAA则212BABPPB7若10件产品中有件正品，3件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率解（1）设A取得三件次品则3310106272或者CAPAP（2）设B取到三个次品,则378某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；（2）此人只会讲法语的概率解设A此人会讲英语,B此人会讲日语,C此人会讲法语根据题意,可得13293100PABCPABC2011概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第3页共99页4352410109罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求（1）取到的都是白子的概率；（2）取到两颗白子，一颗黑子的概率；（3）取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；（4）取到三颗棋子颜色相同的概率解1设A取到的都是白子则3812405CPA2设B取到两颗白子,一颗黑子843129B3设C取三颗子中至少的一颗黑子075PCA4设D取到三颗子颜色相同38412D10（1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少1年按365日计算（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少解1设A至少有一个人生日在7月1日,则503641P2设所求的概率为PB42617CB11将C，C，E，E，I，N，S7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE的概率P解由于两个C，两个E共有种排法，而基本事件总数为，因此有2A7A27094AP12从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率解要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有中452C取法设A4只手套都不配对，则有451028CPA概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第4页共99页13一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第I只零件是不合格的概率为，I1，2，3，若以X表示零件中合格品的个数，则PX2为1IPI多少解设AI第I个零件不合格，I1,2,3,则1IIPAP所以1IIPP23123123XA由于零件制造相互独立，有，123123PP123123APA,234234X所以14假设目标出现在射程之内的概率为07，这时射击命中目标的概率为06，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率P解设A目标出现在射程内，B射击击中目标，BI第I次击中目标,I1,2则PA07,PBI|A06另外BB1B2，由全概率公式12|PBAPBA另外,由于两次射击是独立的,故PB1B2|APB1|APB2|A036由加法公式PB1B2|APB1|APB2|APB1B2|A0606036084因此PBPAPB1B2|A07084058815设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为035，有1，2，3，4件次品的概率分别为025,02,018,002，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率解设AI一批产品中有I件次品，I0,1,2,3,4,B任取10件检查出一件次品,C产品中次品不超两件,由题意概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第5页共99页01945281093475016|2PBACPBAC由于A0,A1,A2,A3,A4构成了一个完备的事件组,由全概率公式0|0196IIIPB由BAYES公式0111222|5|3PBAP故0|58IICB16由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2，10和90的概率分别为08，015，005，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）解设B三件都是好的，A1损坏2,A2损坏10,A1损坏90，则A1,A2,A3是两两互斥,且A1A2A3,PA108,PA2015,PA2005因此有PB|A10983,PB|A20903,PB|A3013,由全概率公式31333|0895095018624IIIPB由BAYES公式,这批货物的损坏率为2,10,90的概率分别为1323|8|7624|0159|018|8IIIIIIAPBP由于PA1|B远大于PA3|B,PA2|B,因此可以认为这批货物的损坏率为0217验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80，15和5，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第6页共99页更换残次品，试求（1）一次通过验收的概率；（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率解设HI箱中实际有的次品数,A通过验收012I则PH008,PH1015,PH2005,那么有423142|,5,69|8PAC1由全概率公式0|096IIIPAHPA2由BAYES公式得0|81|3I18一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被使用的概率为01，问在同一时刻（1）恰有两台设备被使用的概率是多少（2）至少有三台设备被使用的概率是多少解设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的,因此本题可以看作是5重伯努利试验由题意，有P01,Q1P09,故123155019072PC2234P24150559856C19甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，如果每一局甲胜的概率为06，乙胜的概率为04，比赛时可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大解在三局两胜时,甲队获胜的概率为32130064648APC在五局三胜的情况下,甲队获胜的概率为553241506482BPC因此，采用五局三胜制的情况下，甲获胜的可能性较大204次重复独立试验中事件A至少出现一次的概率为，求在一次试验中A出8现的概率解设在一次独立试验中A出现一次的概率为P,则由题意04446511PCPQ解得P1/3概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第7页共99页21（87，2分）三个箱子，第一个箱子中有4只黑球1只白球，第二个箱子中有3只黑球3只白球，第三个箱子有3只黑球5只白球现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率等于已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为解设“取出白球”，“球取自第个箱子”，是一BIAI3,21I321,A个完全事件组，3,21,/PI5/|ABP/|BP，应用全概率公式与贝叶斯公式8/5|3A,1203853|31IIIAB|222BPAP22（89，2分）已知随机事件的概率，随机事件B的概率A50及条件概率，则和事件的概率60BP8|BPAP解70|APA23（90，2分）设随机事件，及其和事件的概率分别是，和AB43若表示的对立事件，那么积事件的概率60B解与互不相容，且于是AB30PAP24（92，3分）已知，41CB，则事件，全不发生的概率为16BCAP解从可知，00ABPABCPACP851641概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第8页共99页25（93，3分）一批产品共有10件正品和两件次品，任意抽取两次，每次抽一件，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为解设事件“第次抽出次品”，则，IBI2,1I,12/BP12/0应用全概率公式/|,1/|122PP|12112B6026（94，3分）已知，两个事件满足条件，且，ABAPP则BP解因，故有1ABPBABAP1,PP27（06，4分）设，为随机事件，且，则必有（0|）AAPBBCDBPA解选（C）28（05，4分）从数1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1，2，中XX任取一个数，记为，则Y解填81329（96，3分）设工厂和工厂的产品的次品率分别为和，现从由AB12和的产品分别占和的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则AB604该产品属生产的概率是概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第9页共99页解设事件“抽取的产品是次品”，事件“抽取的产品是A生产的”，则CD表示“抽取的产品是工厂生产的”依题意有DB02|,01|,40,60CPCPDP应用贝叶斯可以求得条件概率7346|C30（97，3分）袋中有50只乒乓球，其中20只是黄球，30只是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是解设事件“第个人取得黄球”，根据题设条件可知IAI2,1I4920|,49|,503,5021211APAPP应用全概率公式5350|1211212A31（87，2分）设在一次试验中，事件发生的概率为。现进行次独立试验，PN则至少发生一次的概率为；而事件至多发生一次的概率为AA解由于每次试验中事件A发生的概率都是，并且次试验相互独立这是重伯努利试验概型若“次试验中事件A发生次”，则IBNK,210,1NQPCPNKK事件A至少发生一次的概率为0NPB事件A至多发生一次的概率为110NNP32（88，2分）设三次独立实验中，事件出现的概率相等若已知至少出现一AA次的概率等于，则事件在一次试验中出现的概率为719解设事件在一次试验中出现的概率为，这是一个3重伯努利试验概型因此AP在三次独立试验中，事件至少出现一次的概率为依题意，有1P,27913解之得3/1P概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第10页共99页33（89，2分）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为06和05现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为解设事件“甲射中”，“乙射中”，依题意与ABABPA,50,6相互独立因此B30P,80PA75|BABA34（98，3分）设，是两个随机事件，且，10P0，则必有（）|ABPA|B|CBPDA解应用条件概率定义，从可得|ABP,即1ABPABP化简得，应选（C）ABP35（99，3分）设两两相互独立的三事件，和满足条件，C，且已知，则21169BAPAP解由于，两两独立，且，所以ABC概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第11页共99页,22APCBPAABCPCBAP33依题意，有,1692AP01632AP解之，得（舍去）4/3,4/136（00，3分）设两个相互独立的事件和都不发生的概率为，发生不B9B发生的概率与发生不发生的概率相等，则BAAP解依题意，故即PAPPA又因与独立，故与独立BA9/12APB解得3/2,3/1P37（07，4分）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，P，则此人第4次射击恰好第二次命中目标的概率为（）0PA213B6C22PD1解选（C）38（88，2分）在区间中随机取两个数，则事件“两数之和小于”的概1,056率为概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第一章第12页共99页解这是一个几何概型的计算问题设分别表示在区间中随机地取两YX,1,0个数，则试验的样本空间为第一象限中的单位正方形区域，即设事件“两个数之和小于”，则10,|,YXYA56由于点落在内的任何区域的概率与,56|A区域的面积成正比，故,25174SAP其中与分别表示集合与集合的面积AS39（91，3分）随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落20XAY在半圆内的任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与轴的夹X角小于的概率为4解设事件“掷的点和原点连线与轴夹角小于”，这是一个几何概型的计AX4算问题由几何概率公式SAPD其中21,41224/1AASCIRLEABCD故21422AAP40（07，4分）在区间中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于,0的概率为21解参考38题解得这两个数之差的绝对值小于的概率为2143概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第13页共99页第二章随机变量及其分布1有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X的分律解X的分布率如下表所示X012P28/4516/451/452进行某种试验，设试验成功的概率为，失败的概率为，以X表示试验首次成功所3414需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率解X的分布律为13,24KPX取偶数的概率2134163651KKPXKK为偶数3从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数求23,XXMAX的分布律及PX4；,XYMIN的分布律及PY3123解基本事件总数为，510C1X的分布律为PX4P3P4042Y的分布律为PX304C应取何值，函数FK，K1，2，0成为分布律C解由题意,即1KFXX345P010306Y123P060301概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第14页共99页01101KKKKCCCE解得E5已知X的分布律X112P6236求（1）X的分布函数；（2）；（3）312PX解1X的分布函数为KXFXXP0,11/62,2XX216PX33102P6设某运动员投篮投中的概率为P06，求一次投篮时投中次数X的分布函数，并作出其图形解X的分布函数061XFX7对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为P，求（1）三次射击中恰好命中两次的概率；（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少解设A三次射击中恰好命中两次，B目标被击毁，则1PA2323311PCPP2PB3323CP8一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率解FX0X1061概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第15页共99页1PX6或者6401KEPX602148701106701042K467KKE2PX100997161041028KKE9设随机变量X服从泊松分布，且PX1PX2，求PX4解由已知可得，12,E解得2，0不合题意00942,P因此10商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0003，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率解设X1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数，则X服从参数为N1000,P0003的二项分布，即XB1000,0003,由于N比较大，P比较小，NP3,因此可以用泊松分布来近似,即X3因此1PX22304E232110892KPXE332576K419KE11设连续型随机变量X的分布函数为20,1,XFXK求（1）系数K；（2）P02580/100PZ08120807XD如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为PZ90/100PZ091209314某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命单位小时都服从同一指数分布，分布密度为601,XEF试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率解设X表示该型号电子元件的寿命，则X服从指数分布，设AX200，则概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第17页共99页PA1206031XED设Y三只电子元件在200小时内损坏的数量，则所求的概率为103033PYCPAE15设X为正态随机变量，且XN2，又P20时，2221|YYYYXXFFFYEE当Y0时，0Y因此有2,0YYEF22若随机变量X的密度函数为2X4046P1/71/73/72/7X2049P1/74/72/7概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第19页共99页23,01XF其他求Y的分布函数和密度函数1X解Y在0,1上严格单调，且反函数为HY,Y1,HY1Y21Y22413|3YXXFYFHYFY因此有43,0YFOTHERY的分布函数为43311,10,YYYDYFOTHER23设随机变量X的密度函数为2,010XFX试求YLNX的密度函数解由于严格单调，其反函数为,则LNYX,YYHEHE且2|1,YYXXYYFFHFEEY24设随机变量X服从N,分布，求Y的分布密度2XE解由于严格单调，其反函数为Y0,则XYE1LN,HYY且概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第20页共99页221LN1|L,0YXXYFYFHFYE当时0YFY因此221LN,00,YYEF25假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明Y在区间0,1上服从均匀21XE分布解由于在0,上单调增函数，其反函数为21XYELN,0,2H并且，则当1Y01Y12LN|21YXYFFHYE当Y0或Y1时，0YF因此Y在区间0,1上服从均匀分布02XEFX概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第21页共99页1,01,022,111YYFEINFXEYYIYINXYXYXYY综上所述时，在时在26把一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中正面出现的次数，Y表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布解根据题意可知,X,Y可能出现的情况有3次正面，2次正面1次反面,1次正面2次反面,3次反面,对应的X,Y的取值及概率分别为PX3,Y3PX2,Y1182338CPX1,Y1PX0,Y3311328C1于是，（X，Y）的联合分布表如下XY0123103/83/8031/8001/827在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3件，用X表示其中一级品件数，Y表示其中二级品件数，求（1）X与Y的联合概率分布；（2）X、Y的边缘概率分布；（3）X与Y相互独立吗解根据题意，X只能取0，1，2，Y可取的值有0，1，2，3，由古典概型公式得1其中,713,IJKIJCPPIJ,0,IJKI,123J,可以计算出联合分布表如下K概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第22页共99页YX0123IP00021/12035/12056/1201014/12042/120056/12021/1207/120008/120JP1/12021/12063/12035/1202X,Y的边缘分布如上表3由于PX0,Y00,而PX0PY00,PX0,Y0PX0PY0,因此X,Y不相互独立28袋中有9张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数分别为X和Y，求二维随机变量X,Y的联合分布律，以及概率PXY6解1X,Y可取的值都为2,3,4,则X,Y的联合概率分布为YX234IP229/1/36A129/A1249/A2/9313239/36C1/34249/146249/4/9JP2/91/34/92PXY6PX3,Y4PX4,Y3PX4,Y41/61/61/61/229设二维连续型随机变量X,Y的联合分布函数为,ARCTNARCTN23XYFXYABC求（1）系数A、B及C；（2）X,Y的联合概率密度；（3）X，Y的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）随机变量X与Y是否独立解1由X,Y的性质,FX,0,F,Y0,F,0,F,1,可以得到如下方程组概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第23页共99页ARCTN02TA312XABCYABC解得1,22226,49FXYFXYXY3X与Y的边缘分布函数为211,ARCTNARCTN2X,RTA3YYYFYYX与Y的边缘概率密度为24XFXX39YYFY4由2,3可知,所以X，Y相互独立,XYFF30设二维随机变量X,Y的联合概率密度为XYE,0,XF其他（1）求分布函数FX,Y；（2）求X，Y落在由X0，Y0，XY1所围成的三角形区域G内的概率解1当X0,Y0时，0,1XUVXYFEDE否则，FX,Y02由题意，所求的概率为110,2064GXYPXFDEE31设随机变量（X，Y）的联合概率密度为3X4YA,0XYFXY其他求（1）常数A；（2）X，Y的边缘概率密度；（3）01,2PXY概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第24页共99页解1由联合概率密度的性质，可得340,1/12XYFXYDAEDA解得A122X,Y的边缘概率密度分别为343012,0,XYXXEDEFXFYDOTHR3440,XYYYFYFXTER301,2PXY2348ED32设随机变量（X，Y）的联合概率密度为2,01,2,30XYXYFXY其他求PXY1解由题意，所求的概率就是X,Y落入由直线X0,X1,Y0,Y2,XY1围的区域G中,则1203,45672GXPXYFYDD33设二维随机变量X,Y在图220所示的区域G上服从均匀分布，试求X,Y的联合概率密度及边缘概率密度解由于X,Y服从均匀分布，则G的面积A为,2112001,6XGAFXYDDYXDX,Y的联合概率密度为概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第25页共99页6,01,XFXYOTHERX,Y的边缘概率密度为226,01,0,XXDYXFXFYOTHER,YYYFYFXTR34设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在0,02上服从均匀分布，Y的概率密度是5,0YYEF求（1）X和Y和联合概率密度；（2）PYX解由于X在0,02上服从均匀分布，所以1/25XFX1由于X，Y相互独立，因此X,Y的联合密度函数为52,0,YYEFXYFOTHER2由题意，所求的概率是由直线X0,X02,Y0,YX所围的区域，如右图所示，因此0250251,1XYGXPYXFYDEDE35设（X，Y）的联合概率密度为1,0,2,2XYFXY其他求X与Y中至少有一个小于的概率解所求的概率为YX002XY概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第26页共99页051212,58PXYFXYD36设随机变量X与Y相互独立，且X113Y31PP25104求二维随机变量（X，Y）的联合分布律解由独立性，计算如下表XY113JP31/81/203/401/413/83/209/403/4IP1/21/56/2037设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为X123Y1619182ABC（1）求常数A，B，C应满足的条件；（2）设随机变量X与Y相互独立，求常数A，B，C解由联合分布律的性质，有,即ABC11698C123又，X,Y相互独立，可得698从而可以得到2,3AC38设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第27页共99页232,0,11,XYYF其他，求边缘分布函数与，并判断随机变量X与Y是否相互独立XY解由题意,边缘分布函数22LIM,0,10,YXXFX下面计算FYY232,0,LIM,11,YXXYYYY可以看出，FX,YFXXFYY,因此，X，Y相互独立39设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为132,1,0YEXFX其他，求边缘概率密度与，并判断随机变量X与Y是否相互独立XFYFY解先计算,当X1时,FXF当1X0时,12100XDYX再计算,当Y1时,YFYF当1Y0时,120YFXXY由于,所以随机变量X,Y不独立1,XYFXYFY41设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为2,0,0XYEFY其他求随机变量ZX2Y的分布密度解先求Z的分布函数FZ22,DXYZFZPFXYD当Z0,Y0,X2YZ求得220ZYYDED241ZYZZ当Z0时，积分区域为DX,Y|X0,Y0,X2YZ，20ZYXYFDED241YZZE由此,随机变量Z的分布函数为1,02ZZEF因此,得Z的密度函数为0ZXYZXYXYYX2YZX2YZZXYXY0ZXYDYYDY概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第29页共99页1,02ZEF42设随机变量X和Y独立，X，Y服从B，BB0上的均匀分布，求2N随机变量ZXY的分布密度解解法一由题意，211ZYABXYFZFZYFDEDB令则/,ATT2112ZBAZBAZBAED解法二2,112112XYZBFZFXZX0时有非零值，仅当ZX0，即ZX时有非零值，所以当XFXZ0时，有0ZX,因此概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第30页共99页11320ZZXXZFED163320ZZXE44设（X，Y）的联合分布律为X0123Y0000500801210010090120152002011013012求（1）ZXY的分布律；（2）UMAX（X，Y）的分布律；（3）VMIN（X，Y）的分布律解1XY的可能取值为0，1，2，3，4，5，且有PZ0PX0,Y00PZ1PX1,Y0PX0,Y1006PZ2PX2,Y0PX0,Y2PX1,Y1019PZ3PX3,Y0PX1,Y2PX2,Y1035PZ4PX2,Y2PX3,Y1028PZ5PX3,Y2012ZXY的分布如下Z012345P0006019035028012同理，UMAXX,Y的分布如下U0,1,2,3U0123P0015046039同理，VMINX,Y的分布分别如下V0,1,245（90，2分）已知随机变量的概率密度函数X,21|XEXFX则的概率分布函数XF解当时，0XV012P028047025概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第31页共99页21XXTXEDTFF当时，0X0000XXTTXEDTFTFX因此，的概率分布函数为X0,21XEXFX46（97，7分）从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为遇到红灯的次数，求随机变量的分布5XX律解可以看出随机变量服从二项分布，其概率分布为X/2,3B3,210,5KCKPK于是随机变量的分布律为X0123P27/12554/12536/1258/12547（02，3分）设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别12为和，分布函数分别为和，则（）1XF2F1XF2A必为某一随机变量的概率密度B必为某一随机变量的概率密度1XF2C必为某一随机变量的分布函数FD必为某一随机变量的分布函数1X2解首先可以否定选项（A）和（C），因为,1221DXFXFF对于选项（B），若，则对任何，OTHERWISXXF,01OTHERWISXXF,02X概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第32页共99页因此也否定（C）故选（D）,021XF,1021DXF事实上，是随机变量的分布函数F,MA21X48（88，2分）设随机变量服从均值为10，均方差为002的正态分布。已知，则落在区间内的概率为XDUE2193805051,9解依题意，因此于是,2NX,021NX98760152|0519PP49（89，2分）若随机变量在上服从均匀分布，则方程有实根的6,2X概率是解设事件“方程有实根”，而方程有实根的充要条件是根的判别式A042即因此42802PP50（91，3分）若随机变量服从均值为2，方差为的正态分布，且X2，则042XP0解依题意,242P80530X于是212051（08，4分）设随机变量和独立同分布，且的分布密度函数为，则XYXXF的分布函数为（）,MAXYXZA2F概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第33页共99页BYFXC21DYX解选（A）52（08，11分）设随机变量与相互独立，的概率分布为，XYX31IXP，的概率密度为1,0IY,0,1OTHERWISYYFY记，求XZ（1）；0|2P（2）的概率密度ZFZ解（1）21021,021,0|2YPXPXZPP（2）ZYZZZF11310,1,1,ZFZFYPYPXPZYXZXZYOTHERWISZFFFFYYZY,021353（04，4分）设随机变量服从正态分布，对给定的，数X1,N满足，若，则等于（）UUP|XPA2概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第34页共99页B21UC21D解由于，故对于任何正数，有1,0NX|21XPXP若，则因，必有，且|XP10X21|1|2X由此可见，应选（C）21UX54（06，4分）设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则XY3,01,MAXYXP解填955（88，6分）设随机变量的概率密度为，求随机变量X12XF的概率密度函数。31XYYFY解先求出随机变量的分布函数，再求YFY1113233YYDXXPPYF用变下限积分求导可得162YDYFFYY56（93，3分）设随机变量服从上均匀分布，则随机变量在内X2,02XY4,0概率分布密度YFY解方法一，先求随机变量的分布函数，再求YFY概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第35页共99页当时，当时，当时，0Y0YFY41YFY40Y22YFXPPX于是，OTHERWISYYFFY,0441方法二，应用单调公式法由于在内单调，反函数在内可导，且导数2XY4,0YX2,0恒不为零，因此随机变量的概率分布密度H1YOTHERWISYFYHFXY,04,|TERISY,4157（95，6分）设随机变量的概率密度为求随机变量X0,XXFX的概率密度XEYYFY解方法一，先求随机变量的分布函数，再求YFY当时，当时，1Y0YFY11LNLN0YDXEYXPYEPYX于是，1,02YYFFY方法二，应用单调公式法由于在内单调，其反函数在内可导且其导数XEY,0XLN,概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第36页共99页因此,01YX1,01,02LNYYEYFY58（98，3分）设平面区域由曲线及直线，所围成，二维随DXX2E机变量在区域上服从均匀分布，则关于的边缘概率密度在处的,YX,YXX值为解首先求的联合概率密度设区域的面积为，则依题意有,YXFDDS,2|LN121EEDDS,0,YXYXF其中10,1|,2EXYD其次，求关于的边缘概率密度当或时，当时，XX2E0XFX21EX故关于的边缘概率密度在处的值2,10DYYXFFXX,YX为41259（99，8分）设随机变量和相互独立，下表列出二维随机变量联合分布律XY,YX及关于和关于的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中空白处。XY1Y2Y3YIJPX1X8128JJPYY611概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第37页共99页解首先根据边缘分布公式求出然后再依次求出其他值见下表21IP241YX1Y2Y3YIJPXX1X2481124128343JJPYY61213160（01，7分）设某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布，每位乘客X0,在中途下车的概率为，且中途下车与否相互独立，以表示在中途下车的人P10Y数，求（1）在发车时有个乘客的条件下，中途有人下车的概率；NM（2）二维随机变量的概率分布。,YX解（1），,1|NMNPCPN,10,2（2）,1|,MNMNPCEXYPN，,10N,1061（03，4分）二维随机变量的概率分布为,YX,016,OTHERWISYXYXF则1YXP解416,1012XYXDYDYF62（87，6分）设随机变量，相互独立，其概率密度函数分别为XY,0,1OTHERWISXYF概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第38页共99页0,YEYFY求随机变量的概率密度。XZ2解由于，相互独立，因此它们的联合概率密度为YOTHERWISYXEYFXYFYYX,0,1,随机变量的分布函数为ZZYXDFYXPZF2,22,0,2012ZDYEXZXZ2,1,022ZDXEZZ2,120,ZEZZ随机变量的概率密度为Z2,120,ZEZFFZZ63（89，6分）设随机变量与独立，且服从均值为1，标准差（均方差）为的XY2正态分布，而服从标准正态分布，试求随机变量的概率密度函数。Y32YXZ解由于独立的正态随机变量与的线性组合仍服从正态分布，于是随机变量的概率密度函数为32XZ2311825ZEZFZ概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第39页共99页64（91，6分）设二维随机变量的概率密度为,YX,002,OTHERWISYXEYXFYX求随机变量的概率密度。Z2解ZYXDXYFYXPZZF2,当时，当时，0010022ZZZZXZYXEDEDEDZ所以，随机变量的概率密度函数为YXZ,ZEZF65（92，6分）设随机变量与独立，且服从正态分布，而服从XY,2NY上的均匀分布，试求的概率密度函数（计算结果用标准正态分布函数,Z表示，其中）。XDTEX21解解法一先求分布函数ZFZDYZDXEDYXYFZYXPZZZYYXZ21212因此，的概率密度函数为YZZFFZ其中是标准正态分布的密度函数由于是偶函数，因此有XZYZ于是2112ZZDYZFZ解法二直接应用独立随机变量之和密度的卷积公式概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第40页共99页212122ZZDYEDYEFYZFZFZYXYXZ66（94，3分）设相互独立随机变量，具有同一分布律，且的分布律为XYX01P212则随机变量的分布律为,MAXYXZ解易见只取0与1两个可能值，且,4100,0,YPXYXPP43Z67（96，6分）设是相互独立且服从同一分布律的两个随机变量，已知的分布律为,，又设，。321IIP,MAXX,INY（1）写出二维随机变量的分布律；,Y（2）求随机变量的数学期望。E解（1）易见的可能取值为，二维,X1,2,1,32,3,随机变量的分布律见下表Y1231900229103291（2）先将表中各行相加，求得的分布率为XX123概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第41页共99页P1/93/95/9于是923591XE68（99，3分）设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和Y1,0N，则（）1,NA210YXPBCD21YXP解因为随机变量和相互独立，它们又服从正态分布，所以与也都服YX从正态分布，且，由于,N2,1NYX0P故选（B）69（05，4分）设二维随机变量的概率分布,YX010104BA01已知随机事件与相互独立，则（）XYA30,2BAB14C,D0BA解选（B）概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第42页共99页70（05，9分）设二维随机变量的概率密度为,YX,020,1,OTHERWISXYXYXF求（1）的边缘概率密度和；,YXFXFY（2）的概率密度。ZZZ解（1）当时，当或时，10X2,0XDYXFFXX01X即XFXOTHERWISXXFX,012当时，当或时，20Y,12YDYFYFYY0Y即FYOTHERWISYYFY,02/1（2）解法一当时，当时，0ZZFZZ4,222ZDXYFYXPZYXZ当时，所以，2Z1ZF,0/1OTHERWISZZFZ解法二2,DXZFZFZ其中OTHERWISXXZXFZ,00,12,当或时，当时，即0ZFZ2Z212ZDXZFZZ,0/1OTHERISF概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第43页共99页71（06，9分）设随机变量的概率密度为X,0,21,42OTHERWISXXF令，为二维随机变量的分布函数，求2XY,YXFYX（1）的概率密度；FY（2）4,解（1）的分布函数为当时，2YXPYYFY0,0YFY当时，0YFY1Y,43120YYXPYPY当时，83YFY1,4120YYXPPYFY当时，故的概率密度81YFY,Y0FY,0418,3OTHERWISYYFY（2）概率论与数理统计习题参考答案（仅供参考）第二章第44页共99页4,214,21XPYF4121,XP72（07，4分）设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，,YXYXFX分别表示，的概率密度，则在的条件下，的条件概率密度YFYY为（）|XXAFBYYCXFXDYFY解选（A）73（07，11分）设二维随机变量的概率密度为,YX,0102,OTHERWISYXYYXF求（1）；（2）的概率密度YXPYZZFZ解（1）247852,10012DXDYXDXYFYX（2）,ZFZFZ其中OTHERW