《概率论与数理统计教程》课后习题解答VIP

1第一章事件与概率12在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。1叙述的意义。AB2在什么条件下成立3什么时候关系式是正确的4什么时候成立解1事件表示该是三年级男生，但不是运动员。CAB2等价于，表示全系运动员都有是三年级的男生。3当全系运动员都是三年级学生时。4当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。13一个工人生产了个零件，以事件表示他生产的第个零件是合格品（）。用NIAINI1表示下列事件IA1没有一个零件是不合格品；2至少有一个零件是不合格品；3仅仅只有一个零件是不合格品；4至少有两个零件是不合格品。解123NIA1NIIA1NIIJA14原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为；NJIJI1,15在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解样本点总数为。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为8A2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件“所得分数为既约分数”包含A个样本点。于是632153A。49P18在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于个不同位置，当它处于和红“车”8910同行或同列的个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为1789AP19一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起2离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为。事79件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。A所以包含个样本点，于是。7979AP110某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大解用表示“牌照号码中有数字8”，显然，所以A44109AP1P4410910111任取一个正数，求下列事件的概率2该数的四次方的末位数字是1；3该数的立方的最后两位数字都是1；解2当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为52043一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。1用事件表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数A字为，则该数的立方的最后两位数字为1和3的个位数，要使3的个位数是1，必须，因此AAA7A所包含的样本点只有71这一点，于是112一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到根草的情形。N2解16根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有种接法，同样对尾也有13种接法，所以样本点总数为。用表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而152135A言仍有种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为。所以包含的样本点数为，于是24A4135158352P2根草的情形和1类似得N115在中任取一点，证明的面积之比大于的概率为。BCPABC与N2解截取，当且仅当点落入之内时的面积之比大于D1ABCP与3，因此所求概率为。N12CDABP的面积有面积21N116两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当YX,。因此所求概率为10,20YX1202431AP117在线段上任取三点，求AB32,X1位于之间的概率。2X31与2能构成一个三角形的概率。,解1231AP213BP120甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都AB有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。解表示白，表示黑白，表示黑黑白，123白黑黑表示个BB1则样本空间，并且，11BAP，2ABP23B121IAIBIABAPB1甲取胜的概率为13P5乙取胜的概率为246121设事件及的概率分别为、及，求，BA,PQRABPBAPBAP解由得ABP4RQPBAPABP，PRBAPR11122设、为两个随机事件，证明1A212121APP22121AP证明121A21212由1和得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。021P124在某城市中共发行三种报纸甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45，订乙报的有35，订丙报的有30，同时订甲、乙两报的有10，同时订甲、丙两报的有8，同时订乙、丙两报的有5，同时订三种报纸的有3，求下述百分比1只订甲报的；2只订甲、乙两报的；3只订一种报纸的；4正好订两种报纸的；5至少订一种报纸的；6不订任何报纸的。解事件表示订甲报，事件表示订乙报，事件表示订丙报。ABC130APCBABP27323CBA0ABPACPBCP734A14C590CBP61091126某班有个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少N5有一张考没有被抽到的概率是多少解用表示“第张考签没有被抽到”，。要求。IAINI,211NIAP，NINP1NJIN01NAIIA1N1，NNIJINP21NN212所以NIIIIA11129已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解用分别表示男孩和女孩。则样本空间为GB,GBGBGB其中样本点依年龄大小的性别排列。表示“有女孩”，表示“有男孩”，则AB768/|PBA130设件产品中有件是不合格品，从中任取两件，MM1在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。2在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）设表示“所取产品中至少有一件是不合格品”，表示“所取产品都是不合格品”，则AB21P2MBP|AAB1M2设表示“所取产品中至少有一件合格品”，表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格CD品”。则21MMP21MP|CDCD1M6131个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求N1已知前个人都没摸到，求第个人摸到的概率；1KNK2第个人摸到的概率。解设表示“第个人摸到”，。IAINI,211|1KKNPKK2KA1KANN112132已知一个母鸡生个蛋的概率为，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为，证0EP明一个母鸡恰有个下一代（即小鸡）的概率为。RPR解用表示“母鸡生个蛋”，表示“母鸡恰有个下一代”，则KAKBR|KRKKAPBPRKRRKPE1RKKPEP11PREPR135某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9321，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1231。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少解则，159AP15321523AP154，7|B7|7|B7|A由贝时叶斯公式得29|4111KK136有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是03、02、01、04。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，4312试问他是乘火车来的概率是多少解用表示“朋友乘火车来”，表示“朋友乘轮船来”，表示“朋友乘汽车来”，表示1A2A3A4A7“朋友乘飞机来”，表示“朋友迟到了”。B则21|411KKAPAP141一个人的血型为型的概率分别为046、040、011、003，现在任意挑选五个人，O,求下列事件的概率1两个人为型，其它三个人分别为其它三种血型；2三个人为型，两个人为型；A3没有一人为。B解1从5个人任选2人为型，共有种可能，在其余3人中任选一人为型，共有三种可能，O25A在余下的2人中任选一人为型，共有2种可能，另一人为型，顺此所求概率为AB01683104603225752380315143做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为，求在成功次之前已失败了次的概率。PNM解用表示“在成功次之前已失败了次”，表示“在前次试验中失败了次”，ANMB1表示“第次试验成功”CM则PNCPBPMN1MNP1145某数学家有两盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。N求他用完一盒时另一盒中还有根火柴（）的概率。RR1解用表示“甲盒中尚余根火柴”，用表示“乙盒中尚余根火柴”，分别表示“第IAIJBJDC,次在甲盒取”，“第次在乙盒取”，表示取了次火柴，且第次是RN2RN2CAR0RN2RN2从甲盒中取的，即在前在甲盒中取了，其余在乙盒中取。所以11N220RNRCBAP由对称性知，所求概率为00DBAPRR800DBACPRR12022RNRRNCP第二章离散型随机变量23解设随机变量的分布列为。求的值。3,21IIC解，所以。132C387C24随机变量只取正整数，且与成反比，求的分布列。NP2N解根据题意知，其中常数待定。由于，所以，即2P16212C26的分布列为，取正整数。2625一个口袋中装有个白球、个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。MN设此时取出了个白球，求的分布列。解设“”表示前次取出白球，第次取出黑球，则的分布列为K1K,0,1MNP26设某批电子管的合格品率为，不合格品率为，现在对该批电子管进行测试，设第次为首434次测到合格品，求的分布列。解,21,431KKPK29两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为04,第二名队员投中的概率为06，求每名队员投篮次数的分布列。解设，表示第二名队员的投篮次数，则；4061KKP601K,21,47K。210设随机变0量服从普哇松分布，且，求。1P2P解。由于得（不,0KEK,2E,2109合要求）。所以。2243EP211设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0999。解设为该种商品当月销售数，为该种商品每月进货数，则。查普哇松分X90XP布的数值表，得。16X212如果在时间（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与成正比的普哇松分布。已知TT在一分钟内没有汽车通过的概率为02，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。解设为时间内通过交叉路口的汽车数，则T,10,KEKPT时，所以；时，因而1T205LN2T5LNT。1P830/4213一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解在指定的一页上出现某一个错误的概率，因而，至少出现三个错误的概率为50PKKK50503491KK50204911利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于5NP0831251120EK214某厂产品的不合格品率为003，现在要把产品装箱，若要以不小于09的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品解设每箱至少装个产品，其中有个次品，则要求,使X1KX，KKX1009739利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相当于，查1X309EKX普哇松分布数值表，得。5X215设二维随机变量的联合分布列为,1010,1,PEMNPNP,210,0NM求边际分布列。解MP0,MNNMP0,21NE0,NPMNMNPEP1。,21MEP217在一批产品中一等品占50，二等品占30，三等品占20。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为、，求的联合分布列与各自的边际分布列。,解，KNMKNP20354,3210,KNM，；M054,1，；NN4734,32，。KKP4802,1218抛掷三次均匀的硬币，以表示出现正面的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求的联合分布列及边际分布列。,221设随机变量与独立，且，1P0P又，定义，问取什么值时与0P0P为奇数若为偶数若P独立解101PP2P10P而，由得,2,P,1211222设随机变量与独立，且，定义，证明1P21两两独立，但不相互独立。,证明11P21P因为4,11PP1,P41所以相互独立。同理与相互独立。,但是，因而不相互独立。1,PPP,223设随机变量与独立，且只取值1、2、3、4、5、6，证明不服从均匀分（即不可能有。）,2,1K证明设。KPP,KQ若，则123,211176526QPQPP213将（2）式减去（1）式，得，于是。同理。因此061616Q，与（3）式矛盾。6QP224已知随机变量的分布列为，求与的分布列。412023COS解分布列为，；P41P12的分布列为，。41P210P41225已知离散型随机变量的分布列为，求的分布列。30562解,51030714019P226设离散型随机变量的分布列为，且相互与83232与独立，求的分布列。解1246130227设独立随机变量分别服从二项分布与，求的分布列。与,1PNKB,2K解设为重贝努里试验中事件发生的次数（在每次试验中），为重贝努里1NAPAP2N试验中事件发生的次数（在每次试验中），而相互独立，所以为重APP与1贝努里试验中事件发生的次数，因而。,10,2121KQKNPNK2N228设为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为与,21,NN求的分布列。解NKNNKNKPP2111229设随机变量具有分布，求、及。5,432,5KE2解，34215E1122E4427230设随机变量具有分布，求及。,2,KPED13解，2121KKKE62121KKKED231设离散型随机变量的分布列为，问是否有数学,21,1KPK期望解，因为级数发散，所以没有数学期望。112|KKK1K232用天平秤某种物品的重量（砝码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1克、2克、10克，现有三组砝码（甲组）1，2，2，5，10（克）（乙组）1，2，3，4，10（克）（丙组）1，1，2，5，10（克）问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少解设、分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有123物品重量度1234567891011221223311111222331211231223413于是80E712214321323所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。233某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为0米的概率是049,米的概率各是016，米的概率各是008，米的概率各是005，求场地面积的数学期望。100解设场地面积为，边长的误差为米，则且2米S250SE1860538016022E所以252米ES234对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为、。试证发生故1P2314障的仪器数的数学。1P23证令3,210III架仪器未发生故障第架仪器发生故障第为发生故障的仪器数，则，,IPPEII所以。321E123237如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解设，则的分布列为，因而。设为查得的不合格品数，则I154015IE，所以。150I01II238从数字0，1，N中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。解设为所选两个数字之差的绝对值，则，NKNKP,21,于是。312121KNKNEKK239把数字任意在排成一列，如果数字恰好出现在第个位置上，则称有一个匹配，,2求匹配数的数学期望。解设则的分布列为个位置上不在第数字个位置上出现在第数字KK01KN10于是，设匹配数为，则，因而。NPEKKNK11NKE240设为取非负整数值的随机变量，证明11N2121EPDN15证明1由于存在，所以该级数绝对收敛。从而0NPE。1N11IINNIP1II2存在，所以级数也绝对收敛，从而D022NE121NENP211IENPIINN21N241在贝努里试验中，每次试验成功的概率为，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均P试验次数。解设成功与失败均出现时的试验次数为，则，1P1,32,1PQNQPNP利用上题的结论，1E2N12NN11PQP242从一个装有个白球、个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果1摸球是为返回的，MN2摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求取出黑球数的数学期望。解略。243对一批产品进行检验，如果检查到第件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未0抽到第件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为0N每次检查到不合格品的概率都是，问平均每批要检查多少件P解略。244流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率，当生产出个不合格品时即停工检修PK一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解设第个不合格出现后到第个不合格品出现时的产品数为，又在两次检1III,2116修之间产品总数为，则1KI因独立同分布，由此得I1,2,1PQJPQJPJI，JEI1121JEI。22PDIII，。KEKII121PKDKII246设随机变量与独立，且方差存在，则有（由此并可得）22EDD证明2E2222D2EDE247在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为和1第一个数取后放回，再取第二个数；2第一个数取后不放回就取第二个数，求在的条件下的分布列。90K解19,10|IKIP2,9|KI0|KP249在次贝努里试验中，事件出现的概率为，令NAPNIII,2101不出现次试验中在第出现次试验中在第求在的条件下，的分布列。21NRN0II解,|2111NIIIIPRP17NRQPRNR1。|12RPNINR1250设随机变量，相互独立，分别服从参数为与的普哇松分布，试证112KNKKK212121|1证明,|21211NPNP21KK由普哇松分布的可加性知服从参数为的普哇松分布，所以12212121211|ENKKPNKKNK2121251设，为个相互独立随机变量，且服从同一几何分布，即有12RRII。试证明在的PQIKQPPI1,1,其中NR21条件下，的分布是均匀分布，即,21R，其中1|,21RNNRRNNR21证明RRP211|,11NPRRR1NR由于，相互独立且服从同一几何分布，所以12。RNRIKNRIKRPQRPQPI1,12112118从而。|,211NNPRRRNRPQ11第三章连续型随机变量33函数是不是某个随机变数的分布密度如果的取值范围为XSIN（1）；（2）；（3）。,0,2,0解（1）当时，SINX且1，所以可以是某个随机变量的分布密度；,X0SINXDXSIN（2）因为2，所以不是随机变量的分布密度；XD0SI1SI（3）当时，所以不是随机变量的分布密度。23,0NXXIN34设随机变数具有对称的分布密度函数，即证明对任意的有P,XP,0A（1）1AF；ADX0（2）P（；2（3）。1证（1）AADXPDXPFA101X；AADPDXP002（2），由（1）知AXP1AF0故上式右端2；1F（3）。121AFAPA35设与都是分布函数，又是两个常数，且。证明1X20,B1B1921XBFAXF也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型证因为与都是分布函数，当时，1XF221，于是121X2221XFBXAFBAFX又0LIMLI21XX1BAXBAX002121XFFFX所以，也是分布函数。F取，又令2BA100121XXFX这时102XX显然，与对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故不是离散型的，而不是XFFXF连续函数，所以它也不是连续型的。39已知随机变数的分布函数为其它0212XXP（1）求相应的分布函数；XF（2）求。21,31,50PP20解211220001XXDYYDXXXFX6021204531385FP310确定下列函数中的常数，使该函数成为一元分布的密度函数。A（2）其它0COSXXP（3）其它0321XAX解（2），所以A21220COSCOSADD3,所以。169182AX96313某城市每天用电量不超过一百万度，以表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为其它01122XXP若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少如每天供电量90万度又是怎样呢解18027DXP039因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为00272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为00037。314设随机变数服从（0，5）上的均匀分布，求方程0242X21有实根的概率。解当且仅当（1）021642成立时，方程有实根。不等式（1）的解为或。42X2因此，该方程有实根的概率。5312DXPPP317某种电池的寿命服从正态分布，其中（小时），（小时）,2AN30A1求电池寿命在250小时以上的概率；（2）求，使寿命在与之间的概率不小于09。XX解（1）413502P；923641350（2）50XXAX1352即90X所以6513即7X321证明二元函数01,YYF对每个变元单调非降，左连续，且，但是,X0,F并不是一个分布函数。,YXF证（1）设，0若，由于，所以，0YX1,YXYX若，则。当时，；YX,F00F当时，。所以。01YX,YXYX22可见，对非降。同理，对非降。,YXF,YXF（2）时0，0,LIM,LI0YXYXX,YX时，1,LI,LI00YXFYFX,YXF所以对、左连续。,Y（3），。,X0,（4），10,2,202FFP所以不是一个分布函数。,YXF323设二维随机变数的密度其它020,SIN21,YXYXYXP求的分布函数。）（,解当，时，20XY,PYFDSTTXIN10YCO2所以,SISIXX2,10COSIN2,S2SII100,YXYXYXYXF23324设二维随机变数的联合密度为,其它00,43YXKEYXPYX（1）求常数；K（2）求相应的分布函数；（3）求。2,10P解（1），12403043KDXEKDXYKE所以；2（2）时，,X1212048030483DSETDTSEYFYXXYT，所以YX其它0,43YXEYX（3）2,1P0,2,FF。1831E325设二维随机变数有密度函数,2516,2YXAYXP求常数及的密度函数。A,解1205164,00222AYDXAXXYP所以，；20A242524162025,2YARCTGXARCTGSDTSTPYXFYXXY326设二维随机变数的密度函数为,其它010,YXYXP求（1）。43214,20PPP解214212443026154,1010212104PDXXYDXYDYDXXYD328设的密度函数为,其它02,12,YXYXP求与中至少有一个小于的概率。21解8521,1,212DXYDXYPPP334证明若随机变数只取一个值，则与任意的随机变数独立。A证的分布函数为25AXF10设的分布函数、的联合分布函数分别为。,Y当时，。当时，AX0,FXYXPYXFAX。所以，对任意实数，都有,YY,，故与相互独立。YX335证明若随机变数与自己独立，则必有常数，使。C1CP证由于，所以，,XXPX2XF。由于，非降、左连续，所以必有常数，使得10或F10FCCX0故。1CP336设二维随机变量的密度函数为,其它011,2YXYXP问与是否独立是否不相关解。1|,01|,212XPXDYXPX同理，。|,|,2Y由于，所以与不相互独立。,YPXYP又因关于或关于都是偶函数，因而，故,XY0E，与不相关。0,COV341设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度26102XXP一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少三个这类管子全部要替换的概率又是多少（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的）解设这类电子管的寿命为，则32105DXP所以三个这类管子没有一个要替换的概率为；三个这类管子全部要替换的概率是7832。2713347随机变数在任一有限区间上的概率均大于（例如正态分布等），其分布函数为，BA,0XF又服从上的均匀分布。证明的分布函数与的分布函数相同。1,01F解因为在任一有限区间上的概率均大于，所以是严格上升函数。由于上的均匀,X1,0分布，所以的分布函数，对任1XFPPX意的都成立。所以与的分布函数相同。X349设随机变量与独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为0,21/AEXPX求的密度函数。解，AXEX/，DYPP当时，0XAXXAYXAYYXEDEDD14|E410022当时，0X27AXAYXXAYXAYEDEDEDEP1441002所以AXAP|2|41350设随机变量与独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为12XP证明也服从同一分布。21证42|1LN1LN1241222YYXARCTGYXYARCTGXDYXYXP所以124221ZZP即也服从相同的柯西分布。21351设随机变量与独立，分别具有密度函数0XEXP（其中），求的分布密度。0,解时，X28,20XXXYYXEDEP时，0X0P353设随机变量与独立，都服从上的均匀分布，求的分布。1,0|解服从上的均匀分布，据3482知，0,11010,MAX1,INXXP在时，的分布函数10X|0021|XXXDTTPPF所以的分布密度为|其它012|XXP354设随机变量与独立，分别服从参数为与的指数分布，求的分布密度。解由得，所以0,XEP,XEPDYPY在时，0X0XYXYEEXP在时，XXYXD所以0XEPX29356设随机变量与独立，且分别具有密度函数为1|012XXP02EYX证明服从分布。1,0N证由得。故2XEXP,2131XEXPDXPYY|令，则212YUX202121YUYEDEP所以服从分布。1,0N358设随机变量与独立，都服从上的均匀分布，求的密度函数。,A解01|DZXPDZPXZP当时，10X2102AZX当时X202XZDAXPX所以的密度函数为1210XXP30359设随机变量与独立，都服从参数为的指数分布，求的密度函数。解在时，0X0221|XYDEDYPXP在时，。0XXP360设二维随机变量的联合分布密度为,其它01|,|41,YXYXP证明与不独立，但与独立。2证由于，所以与不独立。由于,YPXYP001412XDTYPX12YTXYY其它01,2YXXYXP所以对一切的，都有，故与相互独立。YX,222PX2361设随机变量具有密度函数其它02COS2XXP求。DE,31解0COS2XDE2122D362设随机变量具有密度函数其它0212XXP求及。ED解，10211DXDX，6/732。/2ED363设随机变量的分布函数为11ARCSIN0XXBXF试确定常数，并求与。,BAED解由分布函数的左连续性，,0ARCSIN1B故。/1,2/BAARCSIN1XDXE，02。2/1SIN2121/020TDXDDXED364随机变量具有密度函数320,0,/XEAXP其中求常数及。,01E,D解DYEADXEA001/，1T故。11TA3,23/022/1DXEXAE12221D366设随机变量服从上的均匀分布，求的数学期望与方差。,SIN解21,0SINXDE。212/1ID367地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟，一个旅客在任意时刻进入月台，求候车时间的数学期望与方差。解设旅客候车时间为（秒），则服从上的均匀分布，则30,，（秒）1500DXE，）秒22323。）秒7D371设为正的且独立同分布的随机变量（分布为连续型或离散型），证明对任意的N,21，有K33。NKE1证同分布，又，所以都存在且相等NIJ1/,1NJ/1NIJIJE1/。由于，所以,JNIIIE11/。NKEKNIN11/372设是非负连续型随机变量，证明对，有0X。XP证XXDTPTPP10TTX0。E373若对连续型随机变量，有，证明有。0RRREP证DXPDXPPXR。RRE/1375已知随机变量与的相关系数为，求与的相关系数，其中BA1DC1均为常数，皆不为零。DCBA,CA,解211211EEDCA,OV0A34381设随机变量中任意两个的相关系数都是，试证。N,2,11N证20NIIIEJNJIIIDD111JJIINII，1I故。1,0NN384证明下述不等式（设都是连续型或离散型随机变量）（1）若与都有阶矩，则有PPPPEE/1/1/122若与都具有阶矩，则0PPPEE证（1）时，即所谓的明可夫斯基不等式，证明略。P/1/1/1在时，是的下凸函数，故PPX2|2PPYXY即PPYXYX|1故PPEE21（2）在时，故0P|2|PPYXYXYXYPP388设二维随机变量的联合分布密度为,35其它00,12,YXYXNYXP其中。求条件下的条件分布密度。2N1解。故0,120XNDYXNXPN其它21|1|YN389设随机变量服从分布，随机变量在时的条件分布为，求的分,2MNX,2XN布及关于的条件分布。解22|EXP21,XYMXYPYXPDXYMXDXYY222EE,，2P2122MY故|,|XMN，2,2YPX222EXPYMX故在时，的条件分布为。,22YMN390设为具有数学期望的独立随机变量序列，随机变量只取正整数值，且与,21N独立，证明,N11KPEKK证11KKE361SPESSK1SKKSKPE11K391求下列连续型分布的特征函数（1）上的均匀分布，,A0A（2）柯西分布，其密度函数为0,12ABXP（3）分布，其密度函数为T001XETXP0,解（1）ATDETAITXSIN2（2）DUATEADUEXBTITBITITBAITX0222COS1由拉普拉斯积分得,0,2COS02EDXTAIBET（3）1/1010ITITDXDXTITITX1IT393若是特征函数，证明下列函数也是特征函数（1）（为T223TTTN正整数）证（1）若是随机变量的特征函数，则是随机变量的特征函数；TT37（2）若与独立同分布，其特征函数为。则是随机变量T2TT的特征函数；（3）若独立分布，其特征函数为。则是随机变量的特N,1TNTNI1征函数。394证明下列函数是特征函数，并找出相应的分布函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。TCOST2SIT12SINT1ITE证（1），所以是两点分布TITITE1CO11P2的特征函数。（2），所以是三点分布ITITET22241COST2COS02P141的特征函数。（3）密度函数为的指数分布的特征函数为，所以0,0,XPXEPIT1是密度函数为的分布的特征函数。IT1（4）上均匀分布的特征函数为，所以互相独立且同为上均匀分布的两个随机变量和,TSIN1,的特征函数为，即是密度函数为2SINT2IT其它0240XXP的分布的特征函数。（5），所以是几何分布IKTKITEE1221IT,32,KP38的特征函数。395试举一个满足（1），（2），但是不是特征函数的例子。T10|TT解令TT则满足（1），（2），但在点不连续，故不是特征函数。TT0396证明函数0|0|1ATAT是特征函数，并求出它的分布函数。解由于ADTDTA1故欲证是特征函数，仅须验证T2COS1COS112210AXTXDADTAEDTEXPAITXITX是密度函数由于，0，1SIN22SIN020DYDXXADP所以为特征函数，其分布函数为T。DTAXF2COS1397设是一个特征函数。，证明T0HTHPTHSIN也是特征函数。证设与相互独立，的特征函数为，服从上的均匀分布，的特征函数为T,，则是的特征函数。THSINTI398设为个独立同柯西分布的随机变量，证明与有相同的分布。N,21NI139证柯西分布的特征函数故的特征函数为21ABXAPTAIBETNI1所以与同分布。TAIBNETNI1399设为独立同分布的随机变量，求的分布。N,21TNI1解分布，；，的特征函数TXEXP10XP0。故的特征函数为ITT1NI1，NNITT1所以也是分布，其密度函数为，；，NI1TXNETXP10XP。0X3100设二维随机变量具有联合密度函数为,其它01,14,2YXYXYXP证明的特征函数等于的特征函数的乘积，但是并不相互独立。，与证DXZPZP,其它。02042的特征函数为。2SINT。1,01,21,01,2YPYYPXPXXP故与的特征函数皆为，所以的特征函数等于、的特征函数的乘积。由TSIN，故与不互相独立。,YXY403102判别下列函数是否为特征函数（说明理由）（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。TSIN21TLNTETI121T解（1）不是，因为。0SI（2）不是，因为当时，。T2T（3）不是，因为不成立1LNE（4）不是，因为。TTIT（5）是的，拉普拉斯分布的特征函数为，所以也是特征函数。XEP2121T21T第四章大数定律与中心极限定理42设分布函数如下定义XFNNXXN120问是分布函数吗LIMXFXN解不是。43设分布函数列弱收敛于分布函数，且为连续函数，则在上NXFXFN,一致收敛于。XF证对任意的，取充分大，使有0MMXX,1对上述取定的，因为在上一致连续，故可取它的分点XK，使有，再令XK121IXFII1,1，则有10,K（1）0,1KIXFII这时存在，使得当时有NN（2）1,|III41成立，对任意的，必存在某个，使得，由（2）知当,X0KI,1IX时有NN（3）11IINNXFF（4）IIX由（1），（3），（4）可得，211IIINXFX，IIIFXF即有成立，结论得证。2XN45设随机变量序列同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必有。N1P证对任意的有，故02N0,2NPPNN即对任意的有成立，于是有0001111KKK从而成立，结论得证。1P46设随机变量序列，分别依概率收敛于随机变量与，证明N（1）；（2）。PNPN证（1）因为故22NNNNPPPNNN,00即成立。N（2）先证明这