高等数学下复旦大学出版习题十答案详解

206习题十1根据二重积分性质，比较与的大小，其中LNDDXY2LNDDXY（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D表示矩形区域,|35,0解（1）区域D如图101所示，由于区域D夹在直线XY1与XY2之间，显然有图10112XY从而0LN1故有2LXY所以2LDLNDDDXY（2）区域D如图102所示显然，当时，有,3图102从而LNXY1故有2LNLXY所以2DLNDDD2根据二重积分性质，估计下列积分的值（1）4,|0,2IXYXYY（2）2SIND|0DX（3）29,|4IXYDY解（1）因为当时，有,0X207因而04XY从而22故DD2DDXY即4而（为区域D的面积），由4D得8D82XY2因为，从而20SIN1,0SIN12XY故DSIDDD即20INXY而所以22SIDDXY（3）因为当时，所以,042294995XYXY故DD2DD即2XY而4所以2369D10DXY3根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值（1）222,|AXYA（2）D|DXY解（1）在几何上表示以D为底，以Z轴为轴，以（0，0，A）为顶点的圆锥的体积，所以2,208231DDAXYA（2）在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以A为半径的上半球的体积，故223DXY4设FX，Y为连续函数，求2200201LIM,D,|DRFXYXYYR解因为FX，Y为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得2,D,DFRF又由于D是以（X0，Y0）为圆心，R为半径的圆盘，所以当时，00,XY于是02200,11LIM,DLIM,LIM,RRRXYFXFFXY5画出积分区域，把化为累次积分,DFXY（1）,|1,Y22,|,XYX3|解（1）区域D如图103所示，D亦可表示为1,01YXY所以10,D,DYFXYF2区域D如图104所示，直线YX2与抛物线XY2的交点为（1，1），（4，2），区域D可表示为2,2图103图104所以21,D,DYDFXYFX209（3）区域D如图105所示，直线Y2X与曲线的交点1，2，与X2的交点为2，4,曲线与X2的交点为（2，1），区域D2Y可表示为2,1X图105所以21,D,DXDFXYFY6画出积分区域，改变累次积分的积分次序（1）220,YFELN10,DXFY343DDYXSIN2X5123010,DYFFX解（1）相应二重保健的积分区域为D如图106所示2Y图106D亦可表示为04,2XY所以2002D,D,YXFFY2相应二重积分的积分区域D如图107所示1E,LN210图107D亦可表示为01,E,YX所以ELN100EDDYXFF3相应二重积分的积分区域D为如图108所示,32,XY图108D亦可看成D1与D2的和，其中D120,XYXD2133所以2112132000D,D,D,DYXXFXFYFY4相应二重积分的积分区域D为如图109所示,SINSI图109D亦可看成由D1与D2两部分之和，其中D10,ARCSINYYXD2ARCSIY所以SIN01ARCSIN012ARCSIN02D,D,D,DXYYFYFXFX5相应二重积分的积分区域D由D1与D2两部分组成，其中211D1D20,YXY13,0YXY如图1010所示图1010D亦可表示为02,3XY所以1223100DD,D,DYXFFXFY7求下列立体体积（1）旋转抛物面ZX2Y2,平面Z0与柱面X2Y2AX所围；（2）旋转抛物面ZX2Y2,柱面YX2及平面Y1和Z0所围解（1）由二重积分的几何意义知，所围立体的体积V其中DDD2,|AX由被积函数及积分区域的对称性知，V2，1DXY其中D1为D在第一象限的部分利用极坐标计算上述二重积分得COSCOS344422200013DCOSD2AARRA2由二重积分的几何意义知，所围立体的体积2D,DVXY其中积分区域D为XOY面上由曲线YX2及直线Y1所围成的区域，如图1011所示图1011D可表示为21,1XY所以2221DDXVY21221112324618DD305XYX8计算下列二重积分（1）2,1,DXYYX2D由抛物线Y2X,直线X0与Y1所围；ED,XY（3）D是以O0,0，A1，1，B1，1为顶点的三角形2,4COSD,|0,DXYXYXY解（1）22223111DDXXX24192积分区域D如图1012所示图1012D可表示为201,YXY所示22100EDEDEDXXYYY211110000YXYY111120000DEEDYYY3积分区域D如图1013所示213图1013D可表示为01,XYX所以21122200DDARCSINDXXXYYYY11230060004COSDCOSDSINDINI2SI21CSXDXXYYYX9计算下列二次积分1012124SINDEDEYYYXX解（1）因为求不出来，故应改变积分次序。SIN积分区域D0Y1,YX，如图1014所示。图1014D也可表示为0X1,X2YX所以21421112000101100SINSINSIDDDIIDINSISNCONSYXXXYXXX2因为求不出来，故应改变积分次序。积分区域D分为两部分，其中EDYX121,42DXYYXY如图1015所示图1015积分区域D亦可表示为21,XYX于是221111224111222DEDEDED38XYYYYXXXXX10在极坐标系下计算二重积分1222SIND,|4DXYDXYY2D为圆1所围成的区域；2E23D是由4,1,及直线Y0,YX所围成的在第一象限内的闭区域；ARCTND,DXY2X24D是由曲线XY所包围的闭区域。,2解1积分区域D如图1016所示215图1016D亦可采用极坐标表示为R2,02所以22022SINDSIND6CODXYR2积分区域D可用极坐标表示为0R1,02所以222221100EDEDEDXYRRDR3积分区域D如图1017所示图1017D可用极坐标表示为0,1R24所以2401ARCTNDARCTNOD39264DXYR4积分区域D如图1018所示，216图1018D可用极坐标表示为3,0COSIN4R所以3COSIN240COSIN34034434DDI1COSIDIN2DXYRRR11将下列积分化为极坐标形式，并计算积分值2222001DDDDAXAXYY221220034XAX解（1）积分区域D如图1019所示图1019D亦可用极坐标表示为0,02COS2RA所以22COS42A2COS2300044420DDDD13AXARY2172积分区域D如图1020所示图1020D可用极坐标表示为0,0SEC4RA于是4SEC33ASEC22444000033DDDDSDTANLSTAN2LN166AXAYR3积分区域D如图1021所示图1021D也可用极坐标表示为0,0SECTAN4R于是2011SECTAN214400DDDSECTAD2XYR4积分区域D如图1022所示图1022D可用极坐标表示为0,02RA218于是242342000DDD28AAYARX12作适当坐标变换，计算下列二重积分1,其中D是由XY2,XY4,XY,Y3X在第一象限所围平面区域；2DXY2D13令XV,XYU1220XY422D,1DABAB52,9,4XYXYX62D4DD解1积分区域D如图1023所示图1023令XYU,则YVX,24,13UXYVUV2,12UXJYUVVVU于是43342221124138DDDLN3LNDUVUXYVV2积分区域D如图1024所示。219图1024令XYU,XYV,则,2UVVXY且1U1,1V11,2XYJUV于是424214241114235421153DDD8813549DUVVXYUUVUU（3）积分区域DXY0X1,1XY2X令XV,XYU,则YUV积分区域DXY变为DUV0V1,1U2且01,JUV于是212121222300011123200DDDD773XYVUVVVU4令XARCOS,YBRSIN则积分区域D变为DR02,0R1,COSIN,ISARXYJABRBR220于是122123400DDD22RDDXYABABRABRAB5令XRCOS，YRSIN即作极坐标变换，则D变为0R3,02于是232220302324420DDD411DDXYRRXRR（6）积分区域D如图1025所示D可分为D1,D2D3,D4四个部分它们可分为用极坐标表示为。图1025D10,0R2SIN,D2D30,2SINR2,D42,0R2于是12342222SIN2200SIN0I3322IDDDDSISINIDDDXYXYXYXYXXRRRRRR232SN244430002SIN0440DDDSSI1616INSIII338SDN3RRR2000DDSI11618INI2SI4432809322113求由下列曲线所围成的闭区域的面积1曲线所围（A0,B0）2,BYX2曲线XYA2,XY2A2,YX,Y2X所围（X0,Y0）解（1）曲线所围的图形D如图1026所示,0,图1026D可以表示为20AYXB所求面积为22001DDD6ABYBDASXXYB2曲线XYA2,XY2A2,YX,Y2XX0,Y0所围图形D如图1027所示图1027所求面积为DDSXY令XYU,则YVX22,1UXYVAUV,XYJ222于是2222111DDDLNADAUVASXYVUVV14证明11BYBNNAAXFFXX2,D为|X|Y|11DDDFFU3,其中D为X2Y21且122DFAXBYCFUUABCA2B20解（1）题中所给累次积分的积分区域D为AYB,AXY如图1028所示图1028D也可表示为AXB，XYB，于是11DDDD1BBYBBNNNAAXAXFYFXYFYNF2令XYU,XYV，则,且1U1,1V12,于是,UV111DDD22DUVFXYFVUFVFU3令,则22,AUBVAB22322222,1FAXBYCFUABCABJVAB当X2Y21时，222221AUBVUVUABVUAB于是222111221DDDDUVUUFXYCFVCFABFVCUF15求球面X2Y2Z2Y2含在圆柱面X2Y2AX内部的那部分面积。解如图1029所示图1029上半球面的方程为，由22ZAXY2222,ZXZYAX得2221ZYXAXY由对称性知2242222COS2220COSCOS1220002041D4D1DDD4INDDAAAZAXYXYXRRRA16求锥面Z被柱面Z22X所割下部分的曲面面积。XY解由Z2X2Y2,Z22X两式消去Z得X2Y22X，则所求曲面在XOY面上的投影区域D为X2Y22X,而2222,11ZYXZYYX故所求曲面的面积为222COS02COS220001DDD4COS1DDZAXRYXR17求底面半径相等的两个直交圆柱面X2Y2R2及X2Z2R2所围立体的表面积。解由对称性知，所围立体的表面积等于第一卦限中位于圆柱面X2Y2R2内的部分面积的16倍，如图1030所示。图1030这部分曲面的方程为，于是所求面积为2ZRX22522222220200016D160DD16D16DDRXXRXZAYXYRYY18设薄片所占的闭区域D如下，求均匀薄片的重心。1D由所围成；0,YPX2D是半椭圆形闭区域21,YAB3D是介于两个圆RACOS,RBCOS00,B0）对X轴及坐标原点的转动惯量（面为常数）1X解所围三角区域D如图1037所示图1037322230002220000332230DDD1DD11ABYBBXDAYABYBBBAIYXXYXAYA24求面密度为常量的匀质半圆环形薄片对位于Z轴上点M00,0,AA0处单位质量的质点的引力F221,RYXY解由对称性知FY0，而2122112113323322ARCTNARCTN3COSDDOSTANSECDSECODRDRRRRGGXRRATTTT令2222111LGR230212133222221DDRZDRRFGAGAAXYR故所求引力为2221211221LN,0ARFGRA25化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是,DIFXYZ1由双曲抛物面XYZ及平面XY10,Z0所围成的闭区域；2由曲面ZX2Y2及平面Z1所围成的闭区域；3由曲面ZX22Y2及Z2X2所围成的闭区域4由曲面CZXYC0，所围成的第I卦限内的闭区域。21,0ZAB解1积分区域如图1038所示，图1038可表示为01XYZ故100D,DXYIFZ2积分区域如图1039所示。231图1039可表示为2211XYXZ故2211D,DXYIFXZ3由消去Z得2ZXY2Y即，所以在XOY面的投影区域为X2Y21，如图1040所示。21图1040可表示为1X1,X22Y2Z2X221XY故221D,DXXYIFZ4积分区域如图1041所示。可表示为20,0,0BXYXAAXZC图1041故200D,DBXYACIXFZ26在直角坐标系下计算三重积分1,其中是由曲面ZXY与平面YX,X1和Z0所围成的闭区域；23DXYZ2322，其中为平面X0,Y0,Z0,XYZ1所围成的四面体；3D1XYZ3，是两个球X2Y2Z2R2和X2Y2Z22RZR0的公共部分；24,其中是由XAA0,YX,ZY,Z0所围成；DXYZ5,其中是由X2Z2Y21,Y0,Y2所围成；E6,其中是由所围成。SINX,02XZ解1积分区域如图1042所示。图1042可表示为01XYZ1123232300004560120DDDDD836XYXXYXXYZZZ2积分区域如图1043所示，可表示为10XYZ233图1043故11330011200120110010DDD1DD8235DLN288XYXYXXXXYZZYX3积分区域如图1044所示。图1044由方程X2Y2Z2R及X2Y2Z22RZ得两球的交线为,且平面把积分区域分为两部分，且积分区域在Z2234XYRZZ轴上的投影区间为0,R,记过上任意一点Z的平行于XOY面的平面与相交的平面区域为D1Z,过上任意一点Z的平行于0,2,2RXOY面的平面与的相交的平面区域为D2Z，则2341212222022034242245350DDDDDRRDZDZRZZRRZXYXYXYZZR52980R4积分区域如图1045所示。图1045可表示为0XAYZ故20000003566000DDDD112848YAXYAXYAXAAXAZXYZZZ5积分区域如图1046所示。图1046在Y轴上的投影区间为0,2，故235222220002EDEDE1DEDD31YYYYYDYXZXZ6积分区域如图1047所示。图1047可表示为02XYZ故22200002SINSINSINDDDD11IISI4424XXXYXZYZY27如果三重积分的被积函数FX,Y,Z是三个函数F1X,F2Y,F3Z的乘积，即FX,Y,ZF1XF2YF3Z，积分区域,DFXYZ为AXB，CYD,LZM，证明,这个三重积分等于三个单积分的乘积，即123123DDBMACLFFFFF证123123113232DDDDBDMACLBDBDMMACACLLDLCLCFXYFZXXYFXYFZYXZXFFXFZFYFZF112332DBBMMAACLCYZ28利用柱面坐标计算下列三重积分1,其中是由曲面及所围成的闭区域；ZV2ZXY2ZXY2,其中是由曲面及平面Z2所围成的闭区域2DXY236解1由及消去得,因而区域在XOY面上的投影区域为,如2ZXY2ZXY2121XY图1048所示，在柱面坐标系下可表示为2201,RRR故2210DDRZVZ4124607R2R2积分区域如图1049所示，在柱面坐标系下，可表示为202,RZ故DXYV223025462011D63RZRA29利用球面坐标计算下列三重积分1，其中是由球面所围成的闭区域；22DXYZV221XYZ2，其中由不等式,所确定VXYZA2Z解（1）224SINDZVR1005D2COSRA2积分区域如图1050所示，在球面坐标系下，可表示为02,0,S4A故2DCOSINDZVRR图1048图1049图105023722COS340044504604SIND1CO8SIND1CO7ADRAAA30选用适当的坐标计算下列三重积分1，其中为柱面及平面Z1,Z0,X0,Y0所围成的第I卦限内的闭区域；DXYV21XY2,其中是由球面所围成的闭区域2Z223,其中是由曲面及平面Z5所围成的闭区域；XYV45ZXY4，其中由不等式所确定。2D220,0AA解（1）积分区闭如图1051所示利用柱面坐标计算，在柱面坐标系下表示为图1051,0R1，0Z1,故2112322000001DDSINCODSIND4CO68XYVRZR本题也可采用直角坐标计算，在直角坐标系下，可表示为21,1,01,XYXZ故22120000DDDD8XYVZYX2积分区域如图1052所示。用球面坐标计算，在球面坐标系下可表示为2380COS2R图1052故2COS222300245200DSINDDIND11ICOXYZVRR3积分区域如图1053所示。利用柱面坐标计算，在柱面坐标系下，可表示为25RZ图1053故252230234500DDD518RXYVRZZR4积分区域如图1054所示。利用球面坐标计算，在球面坐标系下，可表示为20ARA239图1054故2223405DSINID41AAXYVRR31利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积1Z6X2Y2及；2Y2X2Y2Z22AZA0及X2Y2Z2（含有Z轴的部分）；3及ZX2Y24Z及X2Y24Z25解（1）曲面围成的立体如图1055所示。在柱面坐标系下，可表示为206RZ图1055用柱面坐标可求得的体积2260233400DDD16RVRZZR（2）曲面围成的立体如图1056所示。240在球面坐标系下可表示为024COSRA图1056利用球面坐标可求得的体积22COS24004333200DSINDDSIND881COICAVRRAA（3）曲面围成的立体如图1057所示。在柱面坐标系下，可表示为201RZ图1057利用柱面坐标可求得的体积22112300340DDD6RVZRR4曲面围成的立体如图1058所示。在柱面坐标系下，可表示为24122054RZ图1058利用柱面坐标可求得的体积225042223200234200DDDD5548RVRZZRR32选择坐标变换计算下列各题（1）2222D,1XYZXYZVZABCABC（2）2222EP,解（1）令则积分区域变为且SINCOXARYBZ012R2SICOSCSIN,SINNICON0ARARXABRBBR故2221D1SIDYZVRARABC1200IN2COS64BCA2422坐标变换同（1）。22221200EXPDESINDE42COSRRYZVABCABCABC33球心在原点，半径为R的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球的距离成正比，求这球体的质量。解利用球面坐标计算则0,2,0,RKR20044DSINDCOSRMVRKR有34利用三重积分计算下列由曲面所围立体的重心（设密度1）1Z2X2Y2,Z12222,0,AZAXZAAZ3ZX2Y2,XYA,X0,Y0,Z0解（1）两曲面所围立体为一高和底面半径均为1的圆锥体（如图1059所示），其体积V在柱面坐标系下，可表示为13RZ1,0R1,02图1059又由对称性可知，重心在Z轴上，故,0XY211300124012DDD3RZVZRMVR所以，所围立体的重心为30,42所围立体如图1060所示。其体积32VAA243图1060在球面坐标系下，可表示为,02,0,2ARA又由对称性知，重点在Z轴上，故,XY23304423011DSINCODDSINCOD2COS48AAAAVRRRMV有有故所围立体的重心为43,83所围立体如图1061所示，在直角坐标系下，可以表示为图10610XA,0YAX,0ZX2Y2先求的体积V20022300343440DD1D1D162AXAXAAZYXYAXX有故2442002304325411DD1D6156AXYAXVZMVXAXA由关于平面YX的对称性可知。2YXA又2004240235411DD2371D30AXYAXZZVZMVXAAX故所围立体的重心为27,50A35球体X2Y2Z22RZ内，各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的重心。解用球面坐标计算，在球面坐标系下球体可以表示为0R2RCOS，0,02，球体密度R2,由对称性可知重心在Z轴上，故2，又球体的质量0XYCOS20055202560DSINDD3ICO6431SRMVRRR从而245322COS5006722680511DDSIN4D11COS324RZZVRVMRRMR故球体的重心为50,436一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面ZX2Y2和平面Z0,|X|A,|Y|A所围成。（1）求物体的体积；（2）求物体的重心；（3）求物体关于Z轴的转动惯量。解（1）如图1062所示。由对称性可知。图1062220004234DDD81AXYAVZXY2由对称性知，而XY200424035621DD21D27159AXYAZZVZMVXYXAV故物体重心为270,15A24622200424035663DDD12845AXYZAIVZXYYXAA37求半径为A,高为H的均匀圆柱体对于过中心，而平行于母线的轴的转动惯量（设密度1）解建立坐标系如图1063所示，用柱面坐标计算。图106332340004DD1212ZAXAHIVRZYRZH38求均匀柱体对于位于点M0（0，0，A）AH处的单位质量的质点的引力。2,XYRZH解由柱体的对称性可知，沿X轴与Y轴方向的分力互相抵消，故FXFY0,而2322302230002222022DDD12DZHXYRHHZFGVXYAZZARGZAZZRAZ002222HHGZAHRZRA39在均匀的半径为R的半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心247上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少解如图1064所示，因为闭区域D对称于Y轴，所以重心必位于Y轴上，即，要使重心恰好落在圆心上，必须使,CX0X,于是必须,而0YD0图1064120200032DDDSINDRRHDDHYYYXRR由得320RH63即均匀矩形薄片另一边长度应是R40求由抛物线YX2及直线Y1所围成的均匀薄片（面密度为常数）C对于直线Y1的转动惯量。图1065解2211123DDDDXXIYYY123688305X41试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性1221DMXY2,D为全平面；QPDY2483201,D0,PYXYMMXY有解（1）2220111DMMXYR故当M1时，原积分收敛，当M1时发散。（2）由于被积函数是正的，并且关于X轴和Y轴都对称，故000DDD4411QQPQPPDXYXY由于,故积分当P1时收敛，P1且Q1时收敛，其他情形均发散。DQPDXY3由0M|X,Y|M,可知积分与积分同时收敛同时发散。201,DPYXY201DPYX由于被积函数是正的，故112220001DDPPPYXXYXYY由于，当0Y1时，有若P0,222000D11PPXXXY若P0,222000DDPPXX故若P0,2220001D1PPYXXX若P0，则有相反的不等式。当时当时249由于,221LIMPPXX故积分当时收敛，时发散，而时，由20DP12P知积分也发散。由此可知积分，从而积分2200LN1XX201DPYX当时收敛，当时发散。201,DPYYX12P42计算积分22ECOSDXYX解由于22ECSXYXY而收敛，2D故收敛，从而，采用极坐标有2EXY2222020COSDECOSDSINE12XYRTTTXY43试讨论下列无界函数的二重积分的收敛性1221DMXY2221,D0,PXYXYMXY有解1211122220001DMMMMXYRRR1故当M1时，原积分收敛，当M1时，原积分发散。（2）由于X2XYY2当X,Y0,0时220X250故当X,Y0,0时222222,PPPXYMMXYXY再注意到广义重积分收敛必绝对收敛，即知积分与同敛散。221,DPXYXY22DPXY由于当X,Y0,0时，采用极坐标即得220P2212001DD1SINPPXYR而为常义积分，其值为有限数，20D1SINP而120,1PDRP由此可知原积分当P1时收敛，当P1时发散。221,DPXYXY44设A（0，0，A）为球体X2Y2Z2R2内一质量为1的质点（0AR，球体密度为常数）,求球对A的吸引力。解222332230222DDD12SGNDZRXYRZRRZFGVXYZAZARGZAZRAGD423A45计算下列对弧长的曲线积分251（1），其中L为圆周XACOST,YASINT0T22DNLXYSA2,其中L为连接（1,0）及（0，1）两点的直线段；3,其中L为由直线YX及抛物线YX2所围成的区域的整个边界；XS4，其中L为圆周X2Y2A2，直线YX及X轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；2EDY（5），其中为曲线XETCOST,YETSINT,ZET上相应于T从0变到2的这段弧；221SXZ（6），其中为折线ABCD，这里A，B，C，D依次为点（0,0,0）,0,0,2,1,0,2,DY1,3,2；7，其中L为摆线的一拱XATSINT，YA1COST0T2；2S（8），其中L为曲线XACOSTTSINT,YASINTTCOT,0T2；DLXY（9），其中为螺旋线，XACOST,YASINT,ZAT0T2ZS解（1）2222220DCOSINSICOSDNLXYTTATTA11NAT2L的方程为Y1X（0X1）11200DD2XLYSXYX3L由曲线L1YX20X1,及L2YX0X1组成（如图1066所示）。图1066故2521211220001132200DDDD48156LLXSXSXXXXA（4）如图1067所示，LL1L2L3图1067其中L1Y00XA，从而210EDE1AXYXALSL2XACOST,YASINT,0T4故222400EDESINCOSDEXYAAALSTATTL3YX0XA2故232200EDEDE1AAXYXXLS所以222213EDEDEDED144XYXYXYXYLLLLAAASSSSA522DDTTTSXYZ2ECOSINESICOSED3TTTTTT25322220220011D3EDECOSIN3D1TTTTTTSXYZ60,XABTYZ01,2XTCTYZ13XDTYTZ故222213003DD09ABBCCDXYZSXYZSXYZSXYZSTTT722220D1COSSIND1COLYSATATAT533502224032423350D8I8SIN16COSS16COS6CS1TTTATADTDTTTAA822DDCOSINIOSTTAT2DAT22203232DCSINSICO11LXYSATTATA9222220DSINCOSDCOSIZTSTATXYT254233002DATAT46求半径为A,中心角为2的均匀圆弧（线密度1）的重心。解建立坐标系如图1068所示图1068由对称性可知,又0Y21DCOSDSINSILMXAA故重心坐标为即在扇形对称轴上且与圆心距离处。SIN,0AIA47设螺旋形弹簧一圈的方程为XACOST,YASINT,ZKT,其中0T2，它的线密度,求22,XYZZ（1）它关于Z轴的转动惯量IZ；（2）它的重心。解22DDSTAKTTT122,DZLLIXYZSXYZS2202343AKTATK222,DDLLMXYZSXYZS220234AKTTK2552222