基于四因素HJM模型下Shibor的利率顶底产品定价研究毕业参照论文

对外经济贸易大学硕士学位论文基于四因素HJM模型下SHIBOR的利率顶/底产品定价研究姓名吴波申请学位级别硕士专业金融学指导教师李青20100301摘要本文结合HJM模型和PCA主成分分析法，探讨基于SHIBOR的顶CAP底FLOOR利率衍生产品。首先，介绍目前流行的固定收益金融产品种类、利率期限结构的历史以及随机利率模型。其中，随机利率模型分为即期随机利率模型和远期随机利率模型两部分。其次，本文基于单因素即期利率模型，引入利率的一般随机形式，推导出即期随机利率模型的偏微分方程。利用即期随机利率模型，推导出基于远期利率的单因素HJM模型，将单因素HJM模型扩展到多因素HJM模型，并模拟SHIBOR远期利率。最后，选取2006年10月到2009年12月的SHIBOR历史数据进行实证。利用SHIBOR日变化量构造协方差矩阵，再用多因素HJM模型和PCA主成分分析法，得到影响SHIBOR变动最大的4个因子并模拟出SHIBOR远期利率，最终为利率顶底产品定价。关键词HJM，PCA主成份分析，利率顶，利率底，SHIBORVABSTRACTTHISPAPEREXPLORESANDDISCUSSES也EPRICINGOFCAPFLOORAGREEMENTBASEDONFOURFACTORHJMMODELFIRSTITINTRODUCESTHEMAINCATEGORIESOFFIXEDINCOMEPRODUCTS，THEHISTORYOFTERMSTRUCTUREANDSTOCHASTICINTERESTRATEMODELINELUDINGINSTANTANEOUSANDFORWARDINTERESTRATEMODELSECONDTHISPAPERDEDUCESTHEPARTIALDIFFERENTIALEQUATIONOFINSTANTANEOUSINTERESTRATEMODELBASINGONONE。FACTORINSTANTANEOUSRATEMODELWITHWIDELYUSEDSTOCHASTICINTERESTRATEPAREMITALSODEDUCESONEFACTORHJMMODELBASEDONFORWARDRATESFROMINSTANTANEOUSRATEMODELEXPANDINGONEFACTORHJMMODEITOMULTIFACTORANDSIMULATINGFORWARDRATEOFSHIBORLAST，ITCARRIESOUTDEMONSTRATIONWITHHISTORICALSTATISTICSFROM0CTOBER2006TODECEMBER2009，ESTABLISHINGCOVARIALICEMATRIXACCORDINGTODAILYVARIATIONOFSHIBORTHENFINDSOUTTHEFOURMAINFACTORS，USINGPRINCIPALCOMPONENTANALYSIS，WHICHIMPACTTHESHIBORVARIATIONMOSTARERTHAT。SIMULATINGFORWARDRATEOFSHIBORWITHHJMMODELANDFINALLYPRICINGTHECAPFLOORAGREEMENTUSINGEXCELVBAKEYWORDSHJM，PRINCIPALCOMPONENTANALYSIS，CAPFLOOR,SHIBOR学位论文原创性声明本人郑重声明所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文所涉及的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。特此声明学位论文作者签名关谚乙27P年3J哥,IEL学位论文版权使用授权书本人完全了解对外经济贸易大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各项内容按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或部分的阅览服务；学校有权按照有关规定向国家有关部门或者机构送交论文；在以不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。保密的学位论文在解密后遵守此规定。学位论文作者签名关彪导师签名孽岔21L7年F月1日沙L口年厂月叫EL11背景概述第1章引言2009年3月，国务院已经明确上海在2020年前建成国际金融中心的规划，要建成国际金融中心，拥有一个发达的衍生金融市场是必不可少的，因此，该规划的重要组成部分就是在上海率先推出衍生金融产品。金融衍生品通常是指从原生资产UNDERLYINGASSERTS派生出来的金融工具。由于金融衍生品交易在资产负债表上没有相应科目，因而也被称为“表外交易“。金融衍生品的共同特征是保证金交易，即只要支付一定比例的保证金的就可以全额交易，不需实际上的本金转移，合约的了结一般也采用现金价差结算的方式进行，只有在满期日以实物交割的方式履约的合约才需要买方交足货款。因此，金融衍生品交易具有杠杆效应。保证金越低，效应越大，风险也就越大。国际上金融衍生品种类很多，各国在活跃的金融创新活动中接连不断地推出金融衍生品。金融衍生产品在现代金融中占据越来越大的地位是因为金融市场的复杂和不可预测性，使得企业在金融活动中极有可能遭受市场突然变动的损失，金融衍生品的出现使得为最终客户提供了更好地管理与其业务发展相关的金融风险的机会。12利率衍生产品介绍作为金融衍生产品的一个重要组成部分，利率衍生产品提供了防范利率风险的可能。目前，利率衍生产品主要有以下八种11利率远期合约INTERESTRATEFORWARDRATEAGREEMENT合约双方同意在未来某日期确定某种利率的合约。2利率期货INTERESTRATEFUTURES以固定收益工具或利率为基础资产的期货。3债券期权BONDOPTIONS一种以债券为基础资产的期权。4利率掉期SWAP交易双方可互相交换付息，如以浮动利率交换固定利率，或是将某种浮动利率交换为另一种浮动利率。订约双方不交换本金，本金只是作为计算基数。5利率上限CAP交易双方确定一个利率上限水平，在此基础上，利率上限的卖方向买方承诺在规定的期限内，如果市场参考利率高于协定的利率上限，郑振龙、康朝锋，中国利率衍生产品的定价和保值，北京大学出版社，L6页1则卖方向买方支付市场利率高于协定利率上限的差额部分；如果市场利率低于或等于协定的利率上限，卖方无任何支付义务，同时，买方由于获得了上述权利，必须向卖方支付一定数额的期权手续费。6利率下限FLOOR交易双方规定一个利率下限，卖方向买方承诺在规定的有效期内，如果市场参考利率低于协定的利率下限，则卖方向买方支付市场参考利率低于协定利率下限的差额部分，若市场参考利率大于或等于协定的利率下限，则卖方没有任何支付义务。作为补偿，卖方向买方收取一定数额的手续费。7利率上下限COLLAR是指将利率上限和利率下限两种金融工具结合使用。具体地说购买一个利率上下限，是指在买进一个利率上限的同时，卖出一个利率下限，以收入的手续费来部分抵销需要支出的手续费，从而达到既防范利率风险又降低费用成本的目的。而卖出一个利率上下限，则是指在卖出一个利率上限的同时，买入一个利率下限。8利率掉期期权SWAPTION掉期期权是利率掉期与期权相结合的一种衍生产品。它赋予买方按预定条件进行一笔利率掉期交易的权力。13本文实用性及创新本人将探讨基于SHIBOR的利率顶CAPR芪FLOOR产品，该产品可有效的管理企业的利率风险，如浮动利率贷款的借款人在购买了利率顶之后，可保证所支付的利息的利率不高于顶利率CAPRATE，浮动利率贷款的贷款人在购买了利率底之后，可保证收取的利息的利率不低于底利率FLOORRATE。无论是借款人还是贷款人，都可通过进入衍生品市场来保证其收益，该种衍生产品一旦推出，必将收到市场的广泛欢迎，极大提高中国企业的利率避险操作能力。本文的创新性在于引入四因素HJM模型来设计一个基于SHIBOR的固定收益产品，一般FIJM模型的引入23个随机因子，本文将使用PCA主成份分析引入四个随机因子。而目前国内并没有基于SHIBOR的固定收益类产品，尤其是国际流行的利率项CAP底FLOOR产品。数值方法采用蒙特卡罗，计算机语言采用EXCEL，VBA。第2章文献综述要使一种金融衍生工具能成功地为市场所接受，前提之一是须有合理的定价方法。利率衍生产品的定价，取决于利率期限结构和该产品的支付函数PAYOFFFUNCTION。利率期限结构建模用于描述利率的随机运动过程，即利率未来变化的可能性。期限结构建模起源于1980年代FISHERBLACK、MYRONSCHOLES与ROBERT2MERTON等的研究工作。早期的BLACK模型是一单因素模型，其波动率是恒定的。新的模型已经发展成为包涵多因素、均值回归、随机波动和REGIMESWITCHING等的复杂模型。新的分析方法可使人们对利率的随机过程的描述更为精确，从而大大推动了衍生产品市场的发展，交易量逐年递增，产品日趋复杂。这就必然对交易和风险管理提出更高的要求。目前，固定收益产品的主要模型有两大类，分别是基于即期利率和远期利率的模型，前者的主要代表有VASICEK模型，由加州大学伯克利的VASICEK1977提出；CIR模型，由JOHNCCOX，JONATHANEINGERSOLL，JR，ANDSTEPHENAROSS1985提出；HOLEE模型，由TSYHO和SBLEE1986提出；以及HULLWHITE模型，由JOHNHULL和ALANWHITE1990提出，这类模型的主要特点是基于一个服从布朗运动的即期利率模拟收益率曲线，或者基于即期与长期利率分别服从独立的布朗运动来模拟收益率曲线。缺点是基于若干点来模拟整条曲线，因此理论利率与实际市场利率间存在差异，需要使用校准CALIBRATION来得出DFIR和VOLATILITY后才能给产品定价，而校准十分复杂。基于远期利率的模型主要有HEATHJARROWMORTONHJM模型，由DAVIDHEATH，ROBERTAJARROWANDANDREWMORTON1982提出和BJM模型，这类模型的特点是模拟整条远期利率曲线，不存在校准的问题。本文选用目前较先进的基于远期利率的HJM模型来对该基于SHIBOR的固定收益产品定价。衍生产品的另一必要条件是拥有一条市场化的收益率曲线，收益率曲线不仅在衍生品的定价方面有着决定性的作用，即使在整个经济活动中它也有非常重要的发言权。收益率曲线其实就是收益率对时间的一维函数。正如一般商品的价格是以货币来体现的一样，当货币也被作为普通商品来看待时，它的价格就通过汇率和利率收益率来体现，如果把货币这种商品作为一个整体来看，那么它的价格就是通过收益率来体现的。当然，货币的价格并非其他商品所体现的所有权转移的价格，而是一个使用权转移的价格。于是，收益率曲线也就是市场对于不同期限的资金使用价格的一种平衡。第3章随机利率模型31单因素即期随机利率模型311模型推导在对任何一种非线性衍生金融产品定价时首先需要该衍生金融产品标的资产的随机变化形式，对随机利率模型而言，其决定因素为利率，一个最简单的模3型即包括单随机因子的即期利率模型。假设即期利率的随机微分方程满足如下形式2DRUR，TDTWR，TDXUR，T和WR，T决定着即期利率R的变动，当即期利率为随机时固定收益产品V满足形式VR，T。固定收益产品与股票衍生品不同，后者存在标的资产股票，而固定收益产品并没有标的资产，只有利率作为其决定因素，因此，在构建可对冲的投资组合时唯一的方法就是买入一债券同时卖出一不同到期目的债J王己夯。构建一个包含两个有不同到期日的债券投资组合几，两种债券分别为V1和V2，到期日分别为T1与T2，购入一单位V1，同时卖空单位的V2，这样，我们拥有一个投资组合IIV1一,W2对VR，T使用伊藤引理D等DT筹DR丢豢铲DVL磊蔷H互蒂打ZDR2等警三豢舻2蔷出看打I蒂办Z因为DRUR，TDTWR，TDX由伊藤引理得DR2W2DT代入得DVL等等R1DTD豢W2DTDVLI斋R芝蒂WZMDVZ瓮DT筹兰器WZDT5蔷吾打乏蒂WZ讹在时间DT后投资组合变动DLLDVL一ADVZ将DVL，DV2分别代入得AN一豢ATT叭RAR三W2豢DTA尝叭警乏1W2豢此式中DT为定值，而DR为风险，要消除风险，需使掣D卜婴DROOR口R即2PAULWILLMOTT,PAULWILIMOTTONQUANTITATIVEFINANCEI，WILEYPRESS，35404根据无套利定价原则因为AVLAR两ARANRNAV1一势C糕W2豢凇一凳百F可推出即RV1一莉鲁三W2簪一川AVL丽F此等式只有两边独立于T时才能成立令吾W2豢一RV2互旷而一可得债券定价公式罢三WZ霁叫R，D箬一RVO丽芝W百万一【R，“而一RV2U移项望AT十三2WZ雾叫R，T塑ARRV一AR2一”堕即W12盟巩T尝盟卫盟打川一堕护坼12盟巩一兰竖，一，6擎升12一磅一盟旦V一一一褰RW1；12一十一F10L，VTW而PVVF型打DL仅LFSV一它型打PV一2塑即W12型打十V一陀V型M由刀甘可边两代入DV筐乏1W2豢P匐W而OVAX得|OVOVOVDV5仅而RV剥DTW而DX移项舭RVDT箬筹仅OVDXDTWDXUDT坐WDTDV一_一仅WDT0R0R令AU九此时入为风险的市场价格，即持有一单位风险的补偿。则0【XWU即无风险即期利率的DRIFT为U一加，债券定价公式为AV1OZVAV丽乏W2雨UM面一O312单因素即期随机利率模型的缺点单因素即期随机利率模型的主要缺点有三3首先，即期利率这个概念在现实中并不存在这样一个利率，因此，整个模型的立足点就有很大的问题。其次，没人知道最好的模型是什么结构，目前流行的几种模型在实际使用中均有很大的缺陷，其模拟的零息债券收益曲线都与实际曲线差异极大，如果连零息债券收益曲线都模拟不了，那么在对复杂衍生品定价时的准确性实在值得怀疑。第三，这些模型只有一个随机因子，仅仅模拟收益曲线一个点的变化，即使加入多个因子，也仅仅是多个点的变化而已。HJM模型的发表对固定收益类产品的定价无疑是一场革命，它所带来的是观念上的变革，从对即期利率的模拟到对远期利率的模拟，从对收益曲线上的一点进行模拟到对整条收益曲线进行模拟，不存在校准的问题。32单因素HJM模型的偏微分方程假设FT，T是时间T时的远期利率曲线，那么，在T时刻，T时到期的零息债券价格为假设零息债券的面值为一元3PAULWILLMOTT，CQFPROJECT，MODULE4CLASS16ZT，TEFFFT，SDS11假设零息债券的价格按照指数布朗运动，则其随机微分方程为DZ乞TU乞TZ匕TDTOT，TZ匕TDX12在T，T时ZT,O1，D“00将1式两边取IN并对T求导得FT，T一券LO弘T两边对T微分并带入2因为DZT,TUT,TZT,TDTOT，TZT，TDX所以DINZU一三巧2DT础得DFT,T嘉巴OZT,T一UT，T】DT一嘉AT，TDX3对即期利率来说，RTFT，TRTF乜TFT，0IDFS，T将3式代入得RT州，T肛S，T掣一掣DS_JTTAA矿S,TDXS等式两边对R微分得AR一降一斟或嘶。一A2AS,02AZUCSTOTZDSI掣呶S，DT_掣卜此公式具有明显的非马尔可夫性，要对衍生品定价，必须从真实世界进入无风险世界，首先从真实世界开始，构建一个投资组合ILZT，T1一6ZT,T2经过DT时间投资组合的变动为4PAULWILLRNOTT，CQFPROJECT，MODULE4CLASS37DLLDZT1一ADZCT,T2ZCT,T1UT，T1DTO匕T1DX一AZT,T2UT，T2DTOT，TZDXDT为定值，DX为随机项，为了消除风险需使DX的系数为0，即ZCT,T1O乜T1DXAZCT,1“2仃TJT2DX0即ZT，T1OT，T1一ZT，TXOT，T2根据无套利原则5，此时D兀RNDTRZT，R1一ZT，T2DTRZT，。R1一乏黼ZR2DT即ZTJT1UT，T1DT一主黼ZT，I2UTJT2DT叫ZT，TO一粼ZT，T2DT化简得UT，TX一ROUT，T2一RTOCT,T1OCT,T2此等式只有两边均独立于T时才可能成立，令其人T，则UT，TR0九TOT，T以上为真实世界中的变量，而要对衍生品定价需要用风险中性世界变量，在风险中性世界中DFT,TMT，TDTVT,TDX从3式可知AVT，T一3亍OT,T在风险中性世界中DF佃嘉睦以T，I叫T】DT_嘉讯TDX又因为0R000T所以DF嘉三砍T，TAT_嘉MTDX可得而0呸1DZNT。T，”嘉盯T，T5PAULWIUMOTT,CQFPROJECT，MODULE3CLASS38凼为VT，T一MOL13上式等式两边同时在T，T上积分ITVDSIT知SDS蚁T,THT，T】又因为仃T，T0所以。一卜S即嘉丢仃2CLT，VC乞T，JTVCT，S，DSMCT,T，所以DFVT，JTVC悯DSDTVCT，DDX41收益率曲线选择第4章数据选择对于利率顶CAP底FLOOR产品，必须拥有一条市场化的收益率曲线，目前，中国的金融市场存在许多收益率曲线，其中最为人熟知的就是存贷款收益率曲线。但是究竟这些收益率曲线的定价功能怎么样呢市场的运行有自身的规律，市场中金融产品的定价一是市场供需双方通过交易达成，二是政府根据供需双方的价格平衡点制定价格。前者是市场经济，后者是计划经济。中国存贷款收益率曲线就是典型的计划制定的收益率曲线。再看衍生产品，衍生产品是为了应付市场经济中资产价格波动所产生的风险而刨设，它存在的最大意义在于可以对冲市场风险。但是在计划经济中，任何金融资产都是没有风险的，所以衍生性金融产品就没有存在的必要，丽如果要利用政府规定的收益率曲线来为金融衍生品定价，这样得出的定价并不是市场所认可的价格。除了存贷款收益率曲线，随着中国金融市场的发展，市场上出现了一些市场化的收益率曲线，比如SHIBOR收益率曲线、IRS收益率曲线、债券收益率曲线。短期的SHIBOR收益率曲线经过管理层的一番9力推后，已经开始有了一些市场化基准收益率的雏形6。但是一条完善的基础收益率曲线需要长期限的收益率的配合，一般来说，基础收益率曲线的中长端所使用的是国债的收益率，但是中国的国债由于有持有到期可以免税的好处，机构交投意愿一直不是很强，而且收益率也明显偏低，而基本等同国家风险的央行票据的发行，又仅局限于三年以下，因此，基础收益率曲线长端一直处于缺失状态。因为利率顶CAP底FLOOR产品应该使用短期市场化收益率曲线，因此，本文选用SHIBOR作为原生利率，期限为隔夜，一周，两周，一个月，3个月，6个月，9个月和一年。数据为2006年至2009年底的历史数据42数据来源使用RESSET锐思金融研究数据库，在RESSET固定收益中的SHIBOR数据作为原生利率，包括所有期限隔夜拆放利率，1周拆放利率，2周拆放利率，1月拆放利率，3月拆放利率，6月拆放利率，9月拆放利率和一年期拆放利率。数据时间从2006年10月到09年12月。0I。LII磊辘滚黻嗡蘸鑫淼隘搠胃黼槊涮峨6许伟民、姚远构建人民币收益率曲线，金融实务，2008年5月，1618页10一64218一11ND一0OO0008NN1L醯辑晒缸泓R一忡，、，、，一墓袋凳赠坷L黛袋L麟隳鬻黧胃甄；蔫。A“ANL1NMM甬寸寸寸U1西函OO卜T卜NNVLONLW,2W,1M3M,6M,一9M1Y图422006年10月2009年12月SHIBOR数据日变动51多因素HJM模型第5章产品定价单因素HJM模型的远期利率完全相关，为了增强模型定价准确性，尤其为了增强模型对冲表现，引入多因素HJM模型，形式如下，为单因素的扩展DFT，TM匕TDTVITJTDXI弋_1JJI1其中，DXI为I个不相关的布朗运动，风险中性下FTJT的漂移为52POA主成份分析MTJTVT，T，VT，SDSI1T主成份分析通过对历史数据的分析用来确定多维随机过程中的决定性因素。要实施HJM模型，必须估计其随机波动VTT，主成份分析用来分析对VTT影响因素中的决定因素，经过模拟，四因素能够分别说明随机波动491，1036，8079，338的变化，总计99的波动变化，因此采用四因素HJM模型。对如下随机过程向量F1TFNT建模DFLTM1TDT01TDWLDFNTMNTDTANTDWN其中，MI和AI分别为漂移和波动，同时为F的函数；W1WN为N维的标准布朗运动，其相关矩阵为。因为为对称矩阵，所以能以下列形式表示V人V，上式中V是以的特征向量为列的正交矩阵，八是主对角线为特征向量的对角矩阵，即人躲三其中入LK因为为半正定矩阵，因此可写为V肛1V倒1则DFT的扩散部分作为相关的布朗运动能够转化为如下独立的布朗运动其中DX为独立的布朗运动向量，如果只选择一开始的D个因子DFT可被重写为DFLTMTTDT厕，DXTDFNTMNTDT瓜NDXT其中VIJ为矩阵V中第I行第J列元素表51与表52分别为SHIBOR的协方差矩阵与年化的协方差矩阵，表53为PCA主成分分析表舅NO卜卜O，OOOO00NR1一0N幻、寸卜寸CO卜ILOO一RNO幻N卜寸KO卜OORRR一O0OO00OOOOO0OO00OOOIO00OOOOOOO0OOO0O0OOO0000OOOOOO0O00OO卜RNOO0O0N寸OO一珞，旧RO。0、中罡N寸卜00TCO卜RO卜、寸OO00O、一RFRRRN00OOOOOOOOOOOOOOOOOOO0OOO0OOO0ORNR寸豢O卜OO寸O寸0000卜N寸一R寸RR寸卜寸NOR一RNNRRNN譬CJ0OOOOO_OO0OOOO0OOOO0O0OO0OOO0OOOOOO寸I0OR寸寸NNOORRROOINN纂O0OOONO寸C。DOO卜OON篁NNNN0OO0OOOOOOO埭一引8K引8攀牝；I曼童I|0O0O0O0O0OOOOOO0O_COO一，RR卜寸ONNN卜卜ORONO卜NRRRO000OO0OOO00OOO000000OO。一ORRRO寸寸卜O。OOO旧RNE00O量OOOOO0曼卜J鬻MNO0OONR卜寸C。寸ORROOOOONNRR晌OO00NOOOOO0OO0N0囊IO000ON0NONNCOONNO0OOO0OOOOO。黧卜ONR寸NOOO0旧TOOT寸O。N、十OO寸卜N卜N卜O寸CO卜匕旧NONNRROOO0O0NNRO0OOIOO0OOOOOOOOOOOO0OOOO0话镱COCOON鬻ON0O0旧0NOCOO。O卜NRO譬藿卜N寸卜寸寸旧ONRTOROOOONNROOOOOO000O0OO0OOOO圈饔OOOO00OL乃OU刁赣。镕坍3CL二I，司_E纂莎II一MIR_露_L玉B_。一LD卜OOONN寸CI_0_|寸寸N零7一6IC；|引6|引5二皤剽|DO卜CO00OOO0OOO00OO0O0O00OO0OOR寸ONOOO【O旧O卜卜0OOOOOOOOOOOO0O0OOOO0O00000OOOON瀑OOOOOOO卜0000OO0O0OOOOOO0O0OO0N寸卜NOOON卜NCO卜卜00O0O0O0O0OO0OOOOOOOO0O0OOOO00OOO0OON黎0O0OO0卜卜0OOOO0OOOO0O0O，鏊NO寸卜0OO卜OO西晌OCR卜卜卜0OROOOTROO0OOOO0OOOO0OOO0OOOOO黍OOOO000OOOOOOO0OO0OO0O00O000ON卜卜N甾IOO卜T_誉OO卜卜CON一OO0O卜卜NOOO0_寸COO0OO0OOT_OO00OOO000O一OOOOOOOO0000OOOOO0OO0000OO0一J鬻NRNON卜一OROOOO一O卜ONO鬻、OROOOIFO0OOIROOO0ROO0OR00OOOO0OOOOO0OO00OO000OOO0卜，R寸卷卜卜ON卜旧OR0OO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I，JLNRIMCJENDIFNEXTJNEXTIIFATHISMR,MRATHISMC，MCTHENJTADO25幸APPLICATIONPISGNATHISMR,MCELSEJRAD05事ATN2孛ATHISMR,RNCATHISMR,MR一ATHISMC，MC”ENDIFJACOBIRVECARRAYMR,MC，JRADENDFUNCTIONFUNCTIONJACOBIPMATNASINTEGER,RTHISRETURNSTHEROTATIONPTHLSMA自DXUSESMATRIXLDENTITYFN。USESJAEOBIRVEEFNDIMPTHISASV撕ANTPTHISMATRIXLDENTITYNPTHISRTHIS0，RTHISOCOSRTHIS3PTHISRTHIS2，RTHIS1ZSINRTHIS3PTHISRTHIS1，RTHIS2SINRTHIS3PTHISRTHIS2，RTHIS2COSRTHIS3JACOBIPMATPTHISENDFUNCTIONFUNCTIONJACOBIAMATNASINTEGER,ATHISRETURNSANEXTMATRIX,UPDATEDUSINGTHEPROTATIONMATRIXUSESJACOBIRVECFNUSESJACOBIPMATFN19DIMRTHISASVARIANTPTHISASVARIANT,ANEXTASLRIANTRTHISJACOBIRVECN，ATHISPTHISJACOBIPMATN，RTHISANEXTAPPLICATIONMMULTAPPLICATIONTRANSPOSEPTHIS，APPLICATIONMMULTATHIS，PTHISJACOBIAMATANEXTENDFUNCTIONFUNCTIONEIGENVALUESEVECAMAT，AT01。USESTHEJACOBIMETHODTOGETTHEEIGENVALUESFORASYMMETRICMATRIXAMATISROTATEDUSINGTHEPMATRIXUNTILITSOFFDIAGONALELEMENTSAREMINIMALUSESMATRIXUTSUMSQFNUSESJACOBIAMATFNAPPLICATIONVOLATILEFALSEDIMASUMSQDIMIASINTEGER,NASINTEGER,RASINTEGERDIMEVEC0ASVARIANTDIMANEXTASV撕ANTN；SQRAPPLICATIONCOUNTAMATR0ASUMSQMATRIXUTSUMSQAMATDOWHILEASUMSQATOLANEXTJACOBIAMATN，AMATASUMSQMATRIXUTSUMSQANEX0AMATANEXTRRLLOOPREDIMEVECNFORILTONEVECIAMATI，INEXTIEIGENVALUESEVECEVECENDFUNCTIONFUNCTIONJACOBIVMATNASINTEGELATHIS，VTHISRETURNSVNEXTMATRIXKEEPSTRACKOFTHEEIGENVECTORSDURINGTHEROTATIONSUSESJAEOHIRVEEFNUSESJACOBIPMATFNDIMRTHISASVARIANT,PTHISASVARIANT,VNEXTASVAILANTRTHISJACOBIRVECN，ATHISPTHISJAEOBIPMATN，RTHISVNEXTAPPLICATIONMMULTVTHIS，PTHISJACOBIVMATVNEXT20ENDFUNCTIONFUNCTIONEIGENVECTORSEMATAMAT,AT01USESTHEJACOBIMETHODTOGETTHEEIGENVECTORSFORASYMMETRICMATRIXSIMILARTOEIGENVALUEFUNCTION,BUTWITHADDITIONALVMATRIXUPDATEDWITHEACHROTATIONUSESMATRIXUTSUMSQ伍USESJAEOBIANLATFNUSESJAEOBIVMATFNUSESMATRIXLDENTITYFNAPPLICATIONVOLATILEFALSEDIMASUMSQDIMNASINTEGER,RASINTEGERDIMANEXTASVARIANT，VMATASVARIANT，VNEXTASVARIANTNSQRAPPLICATIONCOUNTAMATR0VMATMATRIXLDENTITYNASUMSQMATRIXUTSUMSQAMA0DOWHILEASUMSQATOLANEXTJACOBIAMATN，AMATVNEXTJACOBIVMATN，AMAT，VMATASULLKQQMATRIXUTSUMSQANEXTAMATANEXTVMATVNEXTRR十LLOOPEIGENVECTOMEMATVNEXTENDFUNCTIONFUNCTIONPDCHECKEVEECHECKSDEFINITENESSOFSYMMETRICMATRICESUSINGTHEIREIGENVALUESRETURNSLVCDE0，05VESEMIDEF，05VESEMIDEO，一LVEDEODIMPDSA,STAIN，SMAXDIMIASINTEGER,NASINTEGEF，PASINTEGERDIMSVEC0舢V撕ANTNAPPLICATIONCOUNTEVECREDIMSVECNFORI；LTONSVECISGNEVECINEXTISAAPPLICATIONSUMSV