周世勋量子力学习题及解答

1量子力学习题及解答第一章量子理论基础11由黑体辐射公式导出维恩位移定律能量密度极大值所对应的波长M与温度T成反比，即MTB（常量）；并近似计算B的数值，准确到二位有效数字。解根据普朗克的黑体辐射公式DVECHVDKTHVVV11833，（1）以及CV，（2）DDVVV，（3）有,1185KTHCVVEHCCDCDDDV这里的的物理意义是黑体内波长介于与D之间的辐射能量密度。本题关注的是取何值时，取得极大值，因此，就得要求对的一阶导数为零，由此可求得相应的的值，记作M。但要注意的是，还需要验证对的二阶导数在M处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的M就是要求的，具体如下01151186KTHCKTHCEKTHCEHC20115KTHCEKTHCKTHCEKTHC15如果令XKTHC，则上述方程为XEX15这是一个超越方程。首先，易知此方程有解X0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得X497，经过验证，此解正是所要求的，这样则有XKHCTM把X以及三个物理常量代入到上式便知KMTM31092这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。12在0K附近，钠的价电子能量约为3EV，求其德布罗意波长。解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知EHV，HP如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2CEE由于1、3方程中，由于XU，要等式成立，必须01X02X即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程2可变为022222XMEDXXD令22MEK，得02222XKDXXD其解为KXBKXAXCOSSIN2根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得001232AA0B0SINKAA,3,2,10SIN0NNKAKAAXANAXSI21由归一化条件12DXX得1SIN022AXDXAA由MNABAXDANXAM2SISINXANAXAASI22222MEK,32,122222NNMAEN可见E是量子化的。对应于NE的归一化的定态波函数为AXAXUXU,0,00运动，求束缚态00UE，求1粒子动量的几率分布函数；2粒子的平均动量。解1先求归一化常数，由022221DXEXADXXX2341A2/32AXXEX22/320X0X0U，求电子在均匀场外电场作用下穿过金属表面的透射系数。解设电场强度为，方向沿轴负向，则总势能为0XXEXV，0V0）（）（XXEUX势能曲线如图所示。则透射系数为22EXP120XXDXEXEUD式中E为电子能量。01X，2X由下式确定020EXEUPEEUX02令20SINEEUX，则有452323COS22SIN222002030020200012EUEEUEUEEUDEEUEUDXEXEUXX透射系数232EXP00EUEEUD5指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。2224DXDX；2；NK1解2224DXDX是线性算符22222122212222211222221122244444UDXDXCUDXDXCUCDXDXUCDXDXUCUCDXDX2不是线性算符22211222121212122112UCUCUCUCUCUCUCNK1是线性算符NKNKNKNKNKUCUCUCUCUCUC122111122111122116指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。224DXDDXDIDXD，46不是厄米算符，当解DXDDXDXDDXDXDDXDXDDXDXDXDXDXDDXDXD00是厄米算符DXDIDXDXDIDXDXDIDXDXDIIDXDXDI是厄米算符2222222222444444444DXDDXDXDDXDXDDXDXDDXDDXDDXDDXDDXDDXDDXDXD7、下列函数哪些是算符22DXD的本征函数，其本征值是什么2X，XE，XSIN，XCOS3，XXCOSSIN解2222XDXD2X不是22DXD的本征函数。XXEEDXD22XE不是22DXD的本征函数，其对应的本征值为1。47XXDXDXDXDSINCOSSIN22可见，XSIN是22DXD的本征函数，其对应的本征值为1。COS3COS3SIN3COS322XXXDXDXDXDXCOS3是22DXD的本征函数，其对应的本征值为1。COSSINCOSSINSINCOSCOSSIN22XXXXXXDXDXXDXD）XXCOSSIN是22DXD的本征函数，其对应的本征值为1。8、试求算符DXDIEFIX的本征函数。解F的本征方程为FFCDXDFEDXDFEDDXDFEDDXIFEDFDXDIEIXIXIXIXIXLNLN即IXFECE（F是的本征值）9、如果把坐标原点取在一维无限深势阱的中心，求阱中粒子的波函数和能级的表达式。解2,2,0AXAXXU48方程（分区域）XU0XI2AXXU0XI2AXIIEDXD222202222IIEDXD令22EK0222IIKDXDSINKXAI标准条件2222AAAAIIII0SINKXA0A0SINKX取02AK，即2AK2SINAXKAXI0SINKAASINKA,2,1NNAK49粒子的波函数为2,02,2SINAXAXAXAAX粒子的能级为AKNKE2222222,3,2,1N由归一化条件，得2/2/2222SIN1AADXAXAADX2/2/222COS1AADXAXANA2/2/2222COSAADXAXANAAA222222SIN2AAXANAAAA22AAAA2粒子的归一化波函数为2,02,2SIN2AXAXAXAAX10、证明处于1S、2P和3D态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为00094AAA、的球壳处的几率最（0A为第一玻尔轨道半径）。证DRRRDRRS2210101DRREAAR2/230041500/22301041ARERAR0/22030102214ARERARADRD0/20301118ARREAA令010DRD，则得011R011AR121180/2000302102AREARARRAADRD241180/2202030AREARARA00210211RDRD011R为几率最小处。00112102DRD0R为几率最小位置。032670232329841583ARERARRD032507032325984158ARERARADRD令032DRD，得,031R0329AR同理可知031R为几率最小处。0329AR为几率最大处。1、求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。解221122XXEX22232112XEXXX2243231XEXXDXD2214223XXEX22251444223212XEXXDXD令01DXD，得5201X，00221XX002121XDXD，01X为几率最小处。0212122T时处于弱电场/0TE之中为常数，试求谐振子处于第一激发态的几率。解取电场方向为X轴正方向，则有/TXEEXEHHHH802210XE22112XXEDXTHHHHHHHH0110DXXEEETX2/0222DXEXEEXT222/2022222222/20DXEXEXEEXXTDXEEEXT222/2012/0/22TTEEEETTITDEHHHHITA0101MK1TTTITDEIE0021120TTIEIIE当经过很长时间以后，即当T时，0/TE。1201IIETA12222222022110ETA12222202E81实际上在5T以后即可用上述结果。第七章自旋与全同粒子71证明IZYX证由对易关系ZXYYXI2及反对易关系0XYYX，得ZYXI上式两边乘Z，得2ZZYXI12ZIZYX72求在自旋态21ZS中，XS和YS的测不准关系22YXSS解在ZS表象中21ZS、XS、YS的矩阵表示分别为0121ZS01102XS002IISY在21ZS态中00101102012121XXSS4010110201102012222121XXSS42222XXXSSS82001002012121IISSYY401002002012222121IIIISSYY42222YYYSSS16422YXSS讨论由XS、YS的对易关系XS，YSZSI要求42222ZYXSSS16422YXSS在21ZS态中，2ZS16422YXSS可见式符合上式的要求。73求00201102IISSYX及的本征值和所属的本征函数。解XS的久期方程为02220222XS的本征值为2。设对应于本征值2的本征函数为112/1BA由本征方程2/12/12XS，得831111201102BABA111111ABBAAB由归一化条件12/12/1，得1,1111AAA即1221A212111BA对应于本征值2的本征函数为11212/1设对应于本征值2的本征函数为222/1BA由本征方程222/12/12BASX222222ABBAAB由归一化条件，得1,2222AAAA即1222A212122BA对应于本征值2的本征函数为11212/1同理可求得YS的本征值为2。其相应的本征函数分别为I12121I121218474求自旋角动量COS,COS,COS方向的投影COSCOSCOSZYXNSSSS本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量ZS有哪些可能值这些可能值各以多大的几率出现ZS的平均值是多少解在ZS表象，NS的矩阵元为COS10012COS002COS01102IISNCOSCOSCOSCOSCOSCOS2IISN其相应的久期方程为0COS2COSCOS2COSCOS2COS2II即0COSCOS4COS422222204221COSCOSCOS222利用2所以NS的本征值为2。设对应于2NS的本征函数的矩阵表示为BASN21，则BABAII2COSCOSCOSCOSCOSCOS2BBIACOSCOSCOS85COS1COSCOSIB由归一化条件，得22,12121BABABA1COS1COSCOS222AIA1COS122ACOS12COSCOS1COS121ISNCOS12COSCOS1COS121ISN2121COS12COSCOS2COS110COS12COSCOS012COS121IISN2121COS12COSCOS2COS110COS12COSCOS012COS121IISN可见，ZS的可能值为22相应的几率为2COS12COS1COS12COSCOS22COS22COS122COS12ZS86同理可求得对应于2NS的本征函数为COS12COSCOS2COS121ISN在此态中，ZS的可能值为22相应的几率为2COS12COS1COS2ZS75设氢的状态是,23,2110211121YRRYRR求轨道角动量Z分量ZL和自旋角动量Z分量ZS的平均值；求总磁矩SELEM2的Z分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。解可改写成10,2301,2110211121YRRYRRZZSYRRSYRR,23,21211021211121从的表达式中可看出ZL的可能值为0相应的几率为4143874ZLZS的可能值为22相应的几率2IC为414344324122ZIIZSCS4422EESELEMZZZBME414276一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个它们的波函数怎样用单粒子波函数构成解体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为I，J，则体系可能的状态为3211QQQIII3212QQQJJJ311322313213QQQQQQQQQJIIJIIJII311322313214QQQQQQQQQIJJIJJIJJ77证明321,SSS和A组成的正交归一系。解22/112/122/112/111ZZZZSSSSSS22/112/112/122/1ZZZZSSSS122/122/1ZZSS822/112/122/112/121ZZZZSSSSSS22/112/112/122/1ZZZZSSSS02122/112/122/112/122/112/131ZZZZZZSSSSSSSS2122/112/112/122/122/112/112/122/1ZZZZZZZZSSSSSSSS02122/122/1ZZSS同理可证其它的正交归一关系。2122/112/122/112/122/112/122/112/133ZZZZZZZZSSSSSSSSSS2122/112/122/112/1ZZZZSSSS2112/122/122/112/1ZZZZSSSS2112/112/112/122/1ZZZZSSSS2112/122/112/122/1ZZZZSSSS121002178设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是2221RRU。如果电子之间的库仑能和RU相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿X方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。解电子波函数的空间部分满足定态S方程22RERRUR212222222222RERRRZYX89212222222222RER