2012届高考数学第一轮不等式的证明专项复习教案.doc

1、精品文档 2012届高考数学第一轮不等式的证明专项复习教案6.2不等式的证明（一） 知识梳理 1.均值定理：a+b2； ab（）2（a、bR+）， 当且仅当a=b时取等号. 2.比较法：ab0ab，ab0ab. 3.作商法：a0，b0，1ab. 特别提示 1.比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解后，把差写成积的形式或配成完全平方式. 2.比商法要注意使用条件，若1不能推出ab.这里要注意a、b两数的符号. 点击双基 1.若a、b是正数，则、这四个数的大小顺序是 A.B. c.D. 解析：可设a=1，b=2，则=，=， =，=. 答案：

2、c 2.设0x1，则a=x，b=1+x，c=中最大的一个是 A.aB.bc.cD.不能确定 解析：0x1，1+x2=.只需比较1+x与的大小. 1+x=0，1+x. 答案：c 3.（2005年春季上海，15）若a、b、c是常数，则“a0且b24ac0”是“对任意xR，有ax2+bx+c0”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件 c.充要条件必要条件 解析：当a0，b24ac0时，ax2+bx+c0. 反之，ax2+bx+c0对xR成立不能推出a0，b24ac0. 反例：a=b=0，c=2.故选A. 答案：A 4.（理）已知|a+b|c（a、b、cR），给出下列不等式： abc；ab+c；ab

3、c；|a|b|c；|a|b|c. 其中一定成立的不等式是_.（把成立的不等式的序号都填上） 解析：|a+b|c，ca+bc.b+cabc.故成立，不成立. |a+b|c，|a+b|a|b|，|a|b|c.|a|b|c. 故成立，不成立. 答案： （文）若a、bR，有下列不等式：a2+32a；a2+b22（ab1）；a5+b5a3b2+a2b3；a+2.其中一定成立的是_. 解析：a2+32a=（a1）2+20，a2+32a； a2+b22a+2b+2=（a1）2+（b+1）20，a2+b22（ab1）； a5+b5a3b2a2b3=a3（a2b2）+b3（b2a2） =（a2b2）（a3b3）

4、=（a+b）（ab）2（a2+ab+b2）. （ab）20，a2+ab+b20，但a+b符号不确定，a5+b5a3b2+a2b3不正确； aR时，a+2不正确. 答案： 5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为_. 解析：设甲地至乙地的距离为s，船在静水中的速度为v2，水流速度为v（v2v0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=+=， 平均速度v1=. v1v2=v2=0，v1v2. 答案：v1v2 典例剖析 【例1】设a0，b0，求证：（）（）a+b. 剖析：不等式两端都是多项式的形式，故可用比差法证明或比商法证明. 证法一：左边右边（）

5、 0. 原不等式成立. 证法二：左边0，右边0， 1. 原不等式成立. 评述：用比较法证不等式，一般要经历作差（或商）、变形、判断三个步骤.变形的主要手段是通分、因式分解或配方.在变形过程中，也可利用基本不等式放缩，如证法二.下面的例3则是公式法与配方法的综合应用. 【例2】已知a、b、x、yR+且，xy. 求证：. 剖析：观察待证不等式的特征，用比较法或分析法较适合. 证法一：（作差比较法） =， 又且a、bR+，ba0.又xy0，bxay. 0，即. 证法二：（分析法） x、y、a、bR+，要证， 只需证明x（y+b）y（x+a），即证xbya. 而由0，ba0.又xy0， 知xbya显然

6、成立.故原不等式成立. 思考讨论 该例若用函数的单调性应如何构造函数? 解法一：令f（x）=，易证f（x）在（0，+）上为增函数，从而. 再令g（x）=，易证g（x）在（0，+）上单调递减. ，a、bR+.ab. g（a）g（b），即，命题得证. 解法二：原不等式即为， 为此构造函数f（x）=，x（0，+）. 易证f（x）在（0，+）上为单调增函数，而， ，即. 【例3】某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元. （1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少? （2）若提

7、供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210t时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由. 解：（1）设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6xt，由题意知，面粉的保管等其他费用为36x+6（x1）+62+61=9x（x+1）. 设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1=9x（x+1）+900+61800 =+9x+108092+10809=10989. 当且仅当9x=，即x=10时取等号， 即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. （2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则

8、 y2=9x（x+1）+900+618000.90=+9x+9729（x35）. 令f（x）=x+（x35）， x2x135，则f（x1）f（x2）=（x1+）（x2+） = x2x135，x2x10，x1x20，100x1x20. f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2）， 即f（x）=x+，当x35时为增函数. 当x=35时，f（x）有最小值，此时y210989.该厂应该接受此优惠条件. 闯关训练 夯实基础 1.设x0，y0，且xy（x+y）=1，则 A.x+y2+2B.x+y2+2 c.x+y（+1）2D.x+y（+1）2 解析：x0，y0，xy（）2. 由xy（x+y）=1得（）2

9、（x+y）1. x+y2+2. 答案：B 2.已知x、yR，=x2+y2+1，N=x+y+xy，则与N的大小关系是 A.NB.Nc.=ND.不能确定 解析：N=x2+y2+1（x+y+xy） =（x2+y22xy）+（x22x+1）+（y22y+1） =（xy）2+（x1）2+（y1）20. 答案：A 3.设a0，b0，a2+=1，则a的最大值是_. 解析：a2+=1a2+=. a=a=. 答案： 4.若记号“”表示求两个实数a和b的算术平均数的运算，即ab=，则两边均含有运算符号“”和“+”，且对于任意3个实数a、b、c都能成立的一个等式可以是_. 解析：ab=，ba=， ab+c=ba+c

10、. 答案：ab+c=ba+c. 思考：对于运算“”分配律成立吗? 即a（b+c）=ab+ac. 答案：不成立 5.当n时，求证：32n3n222n6n2n3 证明：（32n3n2）（22n6n2n3）332n3n2n3（n）3， 又n，n0.（n）30， 即（32n3n2）（22n6n2n3）0. 故32n3n222n6n2n3 6.已知a1，0，求证：loga（a+）loga+（a+2）. 证明：loga（a+）log（a+）（a+2） = = a1，0，lga0，lg（a+2）0，且lgalg（a+2）. lgalg（a+2）（）2 =22=lg2（a+）. 0. loga（a+）log（

11、a+）（a+2）. 培养能力 7.已知x0，y0，若不等式+恒成立，求实数的最小值. 分析：+恒成立，恒成立. 的最小值就是的最大值. 解：+恒成立，恒成立. x0，y0，=. =. 的最小值为. 评述：分离参数法是求参数的范围问题常用的方法，化归是解这类问题常用的手段. 8.有点难度哟！ 求证：在非RtABc中，若ab，ha、hb分别表示a、b边上的高，则必有a+hab+hb. 证明：设S表示ABc的面积，则S=aha=bhb=absinc. ha=bsinc，hb=asinc. （a+ha）（b+hb）=a+bsincbasinc =（ab）（1sinc）. c，1sinc0. （ab）（

12、1sinc）0. a+hab+hb. 探究创新 9.设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0），方程f（x）x=0的两根x1、x2满足1x1x2. （1）当x（0，x1）时，证明xf（x）x1； （2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0. 证明：（1）令F（x）=f（x）x， x1、x2是方程f（x）x=0的根，F（x）=a（xx1）（xx2）. 当x（0，x1）时，由于x1x2，（xx1）（xx2）0. 又a0，得F（x）=a（xx1）（xx2）0，即xf（x）. 又x1f（x）=x1x+F（x）=x1x+a（x1x）（xx2）=（x1x）1+a（xx2）， 0xx1x2，

13、x1x0，1+a（xx2）=1+axax21ax20， x1f（x）0，即f（x）x1. 综上，可知xf（x）x1. （2）由题意知x0=. x1、x2是方程f（x）x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b1）x+c=0的根， x1+x2=.x0=. 又ax21，x0=. 思悟小结 1.比较法有两种形式：一是作差，二是作商.用作差法证明不等式是证明不等式中最基本、最常用的方法.它的依据是不等式的基本性质. 2.步骤是：作差（商）变形判断.变形的目的是为了判断.若是作差，就判断与0的大小关系，为了便于判断，往往把形式变为积或完全平方式.若是作商，两边为正，就判断与1的大小关系. 3.有时要先对

14、不等式作等价变形再进行证明，有时几种证明方法综合使用. 4.在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误. 教师下载中心 教学点睛 1.在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握. 2.对于公式a+b2，ab（）2要讲清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a+b的转化关系. 拓展题例 【例1】设a、bR，关于x的方程x2axb0的实根为、.若ab1，求证：1，1. 证法一：a，b， ab1. 1，（1）（1）0. 1.同理，1. 证法二：设f（x）=x2axb，则有 f（1）1ab1（ab）110， f（1）1ab1（ab）0. 0a1，1a1. . 方程f（x）0的两实根在（1，1）内，即1，1. 评述：证法一先利用韦达定理，再用绝对值不等式的性质恰好能分解因式；证法二考虑根的分布，证两根在（1，1）内. 【例2】