初中数学九上课本变式题

1、可编辑 精品文档 九年级上册九年级上册课本亮题拾贝课本亮题拾贝 课本中的例、习题是经过编者反复琢磨，认真筛选后精心设置的，具有一定的探究性在教学的过 程中要立足课本，充分发挥课本例、习题的教学功能，可以有效地避免题海战术，不但有利于巩固基础 知识，而且还能增强同学们的应变能力，发展创新思维，提高数学素养 211 二次根式 题目题目 计算： （人教课本P8 2（4）题） 2 ) 3 2 ( 解解 原式= 3 2 ) 3 2 () 3 2 ( 22 点评点评 大家知道，当a0 时，有意义，且而当a0 时，也有意 2 aaa 22 a 义，此时，进一步的，则等于a（a0） 为了预防解题粗心出错（如|

2、 2 aa ） ，通常是根据平方（或立方）的意义，先处理掉（好）符号，再按有关顺序 3 2 ) 3 2 ( 2 和规定运算 演变演变 变式 1 填空：（1）= ；（2）= （答案：（1） （2） 9 4 4 1 2 3 2 ） 2 3 变式 2 当x 时，式子在实数范围内有意义？ （答案：） 23 1 x3 2 变式 3 若是整数，求正整数n的值（至少写出 3 个） 23 n （答案：n = 1，2，9，17 等 ） 变式 4 是否存在正整数n，使得是有理数？若存在，求出一个n的值；若不 23 1 n 存在，请说明理由 解 假设存在正整数n，使是有理数，则因为 3n + 2 是正整数，所以 3

3、n + 23 1 n 2 应该是一个完全平方数 假设 3n + 2 等于k（k3，k是正整数）的平方，则k = 3p或者 3p + 1 或者 3p + 2，也就是说k除以 3 余 0 或者 1 或者 2，而（3p）2 除以 3 余 0， （3p + 1）2 = 9p2 + 6p + 1， （3p + 2）2 = 9p2 + 12p + 4 除以 3 都余 1，所以没有数的平方除以 3 余 2表 明 3n + 2 不是完全平方数，从而假设不成立，因此，不存在正整数n，使是有理 23 1 n 数 212 二次根式的乘除 题目题目 计算： （人教课本P15 6（4）题）65027 解解 原式= 15

4、6)23(156253362533 22 可编辑 精品文档 另法另法 原式=15259 6 5027 点评点评 进行二次根式的乘除运算时，根据乘法、除法规定（a、b0） ，abba （a0，b0） ） ，可以从左往右正向使用（如另法） ，也可以从右往左逆向使用 b a b a （法一） ，往往可视其具体题目的数字特点和结构特征，灵活选用一般情况是尽可能先把 根式化简，大数化小，遇到字母开平方时，必须注意字母的正、负性（或讨论） 演变演变 变式 1 填空：（1）= ；50276 （2）= （答案：（1） （2）65027 3 10 5 9 因为原式=，2 + 3 = 5，)32(253 23 所

5、以设 2 = a，3 = b，则 5 = a + b，题目可演变成如下形式： 变式 2 化简：abbaab 23 )( 解 原式= b（a + b）= ab + b2)()(baababb 若赋予a一些不同的值（相应的可得到b的值） ，则可得到一组二次根式的乘法除法试 题 变式 3 甲、乙两同学在化简 时，采用了不同的方法：xyxyx525 3 甲： 因为x，y是二次根式的被开方数，且在分母上，所以x0，y0， 于是令 x = 1，y = 1，代入可得，原式=55125 乙： 原式=xyyxxyxx55)5(5 22 从而得出了不同的结果请指出甲、乙同学的做法是否正确？说明理由 解 甲，乙两同

6、学的做法都不正确 甲同学犯了以特殊代替一般的错误，虽然最终结果是5 乙同学对题目形式上的意义理解错误，通常是一个整体，是被除式xyy 5 正确解法是：原式=5)5()5()5(5 22 yxxyxxxyxyxx 213 二次根式的加减 题目题目 已知，求下列各式的值：13 x13 y （1）x2 + 2xy + y2； （2）x2y2 （人教课本P21 6 题） 解解 ，13 x13 y ，xy = 2，xy = 232 yx 于是 x2 + 2xy + y2 =（x + y）2 =，12)32( 2 x2y2 =（x + y） （xy）=34232 点评点评 本题属于“给值求值”类型，一般不

7、宜直接代入算值通常的思路是：先把已 知式和待求式进行适当的等价变形化简，充分挖掘出已知式和待求式之间的内在联系，然后 再看情况灵活地代入，往往能简捷而巧妙地求值 演变演变 可编辑 精品文档 变式 1 已知，求：（1）， （2）的值21a21b 22 22 2 ba baba a b b a 解 由已知可得a + b = 2，ab =122ba （1）原式= 2 2 22 2 )( )( 2 ba ba baba ba （2）原式=24 1 222)( 22 ab baba ab ba 变式 2 如果实数a，b满足a2 + 2ab + b2 = 12，求的值34 22 ba b ba 解 显然b

8、0，于是由已知，得，3 34 12 )( )(2 2 22 22 ba ba baba ba ba baba ，即 ，)(3bababa) 13() 13( 有，因此32 ) 13)(13( ) 13( 13 13 2 b a 311)32(1 b a b ba 说明 上述解法，既抓住了已知式的特征（两个等式的左边有公因式，约后能降次， 但要注意是否为 0 啰！） ，又避免了解方程组的难点本题还可以进一步求出a、b的值 ，（x1）2 = 3，得x22x = 2，结合x0，两边除以x，13 x 得，注意到，则=，2 2 x x x y 2 2222 ) 2 () 2 (22 xx xxyxyx4

9、 2 2 2 x x ，得 2 222 4 x xyx 变式 3 若实数x满足，试求：（1）；（2）；（3）2 2 x x 2 2 4 x x x x 2 的值 2 2 4 x x （答案 （1）8 （2） （3）32142 22.2 降次 解一元二次方程 题目题目 无论p取何值时，方程（x3） （x2）p2 = 0 总有两个不等的实数根吗？给 出答案并说明理由 （人教课本P4612 题） 解解 原方程可化为x25x + 6p2 = 0 方程根的判别式为 =（5）24（6p2）= 1 + 4p2， 对任何实数值p，有 1 + 4p20， 方程有两个实数根 x1 =，x2 =，且两个根不相等 2

10、 415 2 p 2 415 2 p 另法另法 由 p2 =（x3） （x2）= x25x + 6 =， 4 1 ) 2 5 () 2 5 (6) 2 5 (5 2222 xxx 得 ，无论p取何值，因此 4 1 ) 2 5 ( 22 px 4 1 2 p 4 1 4 1 2 5 2 px 点评点评 解一元二次方程有配方法，公式法或因式分解法一般来说，公式法对于解任 可编辑 精品文档 何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程 的特点，选择适当的方法 （1）要判定某个二次方程是否有实数解及有几个解时，常常只须考查方程根的判别 式 （2）见到含字母系数的二次

11、方程，在实数范围内，首先应有0；若字母在二次项 系数中，则还应考虑其是否为 0 （3）关于一元二次方程有实数根问题，一般有三种处理方式（何时选择那种方式要根 据具体题目的特点来确定）： 利用求根公式求出根来； 利用根与系数的关系将这两个 根的和与积表达出来：x1 + x2 = x1x2 =，以便后继作整体代换； 将根代入方程中 a b 2 a c 进行整体处理 演变演变 变式 1 分别对p赋值 0，2，等，可得如下确定的方程： 2 3 解方程：（1）x25x + 6 = 0；（2）x25x + 1 = 0；（3）4x220 x + 21 = 0 变式 2 当x取什么范围内的值时，由方程（x3）

12、 （x2）p2 = 0 确定的实数p 存在？请说明理由 解 对任意实数p，有p20，所以只需p2 =（x3） （x2）0，利用同号相乘得 正的原理，得x应满足 或 解得x3 或x2 , 02 , 03 x x , 02 , 03 x x 表明，当x取x2 或x3 范围内的实数时，由方程（x3） （x2）p2 = 0 确定 的实数p存在 变式 3 指出方程（x3） （x2）p2 = 0 的实数根所在的范围？ 解 方程有两个不相等的实数根x1 =，x2 =， 2 41 2 1 2 5 p 2 41 2 1 2 5 p 且对任意实数p，有 1 + 4p21， 有x1，x2，3 2 1 2 5 2 2

13、 1 2 5 即方程的实数根所在的范围是x2 或x3 变式 4 试求y =（x3） （x2）的最小值 解 由 y =（x3） （x2）= x25x + 6 =， 4 1 ) 2 5 () 2 5 (6) 2 5 (5 2222 xxx 得 y的最小值为，当时取得 4 1 2 5 x 22.3 实际问题与一元二次方程 题目题目 如图，要设计一幅宽 20 cm，长 30 cm 的图案，其中 有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3:2，如果要使彩条 所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（精确 到 0.1 cm）？（人教课本P5310 题） 分析分析 结合图形，阅读理解题意（数形结合

14、） 矩形图案中，长 30 cm，宽 20 cm现设计了横、竖彩条各 2 条，且其宽度比为 3:2，于是设横彩条宽为 3x cm，则竖彩 条的宽就为 2x cm，其长与矩形图案的长宽相关等量关系式为“使彩条所占面积是图案 可编辑 精品文档 面积的四分之一” 解解 根据题意，设横向彩条的宽为 3x，则竖向彩条的宽为 2x，于是， 建立方程，得 ，2030 4 1 23422023302xxxx 化简，得 12x2130 x + 75 = 0 解得 611 . 0 12 133565 x 因此横向彩条宽 1.8 cm，竖向彩条宽 1.2 cm 另法另法 如图，建立方程，得 2030 4 1 )620

15、(4630 xxx 法三法三 如图，建立方程，得 2030 4 3 )620)(430(xx 点评点评 列一元二次方程解应用题的一般步骤为： （1）设：即设好未知数（直接设未知数，间接设未知数） ，不要漏写单位； （2）列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致； （3）解：解所列方程； （4）验：一是检验是否为方程的解，二是检验是否为应用题的解； （5）答：即答题，怎么问就怎么答，注意不要漏写单位 演变演变 变式 1 矩形图案的长、宽不变，但设计的两横两竖彩条的宽度相同，如果彩条的面 积是图案面积的四分之一，求彩条的宽 （答案：） 2 19525 变式 2 矩形图案的长

16、、宽不变，现设计一个正中央是与整个矩形长宽比例相同的矩 形，其面积是整个矩形面积的四分之三，上下边等宽，左右等宽，应如何设计四周的宽度？ 解 因为矩形图案的长、宽比为 30: 20 = 3:2，所以中央矩形的长、宽之比也应为 3:2，设其长为 3x，则宽为 2x，所以 ，得 ，从而上、下边宽为2030 4 3 32 xx35x ，左、右宽为 )32(5105 . 0)220(xx 2 )32(15 5 . 0)330( x 变式 3 如图，一边长为 30 cm，宽 20 cm 的长方形铁皮，四角各截去一个大小相同 的正方形，将四边折起，可以做成一个无盖长方体容器求所得容器的容积V关于截去的 小

17、正方形的边长x的函数关系式，并指出x的取值范围 解 根据题意可得，V关于x的函数关系式为： V =（302x） （202x）x 即 V = 4x3100 x2 + 600 x， x的取值范围是 0 x10 变式 4 在一块长 30 m、宽 20 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占的 面积为荒地面积的一半 小明的设计方案如图甲所示，其中花园四周小路的宽度都相等小明通过列方程，并解 方程，得到小路的宽为 2.5 m 或 22.5 m 小亮的设计方案如图乙所示，其中花园每个角上的扇形（四分之一圆弧）都相同 解答下列问题： 2x 2x 3x 3x 30 20 x x x 可编辑 精品文档

18、（1）小明的结果对吗？为什么？ （2）请你帮小亮求出图乙中的x ？ （3）你还有其他设计方案吗？ 甲 乙 解 （1）小明的设计方案：由于花园四周小路的宽度相等，设其宽为x米 则根据题意，列出方程，得 ，即 x225x + 75 = 0，解2030 2 1 )220)(230(xx 得x =或x =由于矩形荒地的宽是 20 m，故舍去x =，得 2 13525 2 13525 2 13525 花园四周小路宽为m，所以小明的结果不对 2 13525 （2）小亮的设计方案：由于其中花园的四个角上均为相同的扇形，所以设扇形的半径 为x米，列方程得 ，所以m （3）略2030 2 1 2 x 3103

19、10 x 23.1 图形的旋转 题目题目 如图，ABD，AEC都是等边三角形BE与DC有什么关系？你能用旋 转的性质说明上述关系成立的理由吗？（人教课本P679 题） 解解 ABD是等边三角形， AB = AD，BAD = 60 同理AE = AC，EAC = 60 以点A为旋转中心将ABE顺时针旋转 60 就得到CAD， ABEADC，从而 BE = DC 另法另法 ABD，AEC都是等边三角形， AB = AD，AE = AC，BAD =EAC = 60， 于是 CAD =CAB +BAD =CAB +EAC =EAB 从而有 CADEAB， DC = BE 点评点评 由于旋转是刚体运动，

20、旋转前、后的图形全等，所以藉此可以在较复杂的图形 中发现等量（或全等）关系，或通过旋转（割补）图形，把分散的已知量聚合起来，便于打 通解题思路，疏通解题突破口 演变演变 变式 1 如图，ABC和ECD都是等边三角形， EBC可以看作是DAC经过什么图形变换得到的？ 说明理由 （人教课本P805 题） 说明：如上题图，去掉BC，把D，A，E放在一直线上即得 BC D A E 20 m 30 m x 20 m 30 m 20 m 30 m C B A E D A C B E D 可编辑 精品文档 本题经过下列各种演变，原来的结论仍保持不变 （1）ABC与CDE在BC的异侧 （2）点C在BD的延长线

21、上 （3）C点在BD外 （4）ACD与BDE在BD的异侧， 且D点在BC的延长线上 （5）ABC与CDE都改为顶角相等的等腰三角形，即AB = AC，CE = DE，BAC =CED 变式 2 如图，四边形ABCD，ACFG都是正方形，则BG 与CE有什么关系？说明理由 变式 3 如图，ABD，AEC都是等腰直角三角形，则 BE与DC有什么关系？ 24.1 圆 题目题目 如图，O的直径AB为 10 cm，弦AC为 6 cm， ACB的平分线交O于D，求BC，AD，BD的长 （人教课本P93例 2） 解解 AB是直径， ACB =ADB = 90 在 RtABC中，BC2 = AB2AC2 =

22、10262 = 82，即 BC = 8 CD平分ACB， =，于是AD = BD AD BD 又在 RtABD中，AD2 + BD2 = AB2， 2510 2 2 2 2 ABBDAD 点评点评 在涉及圆中的有关弧，弦（直径） ，角（圆心角，圆周角）等问题中，垂径定理， 同圆中的关系（在同圆或等圆中，圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等 圆 周角相等）是转化已知，沟通结论的纽带 其中半圆（或直径）所对的圆周角是直角还联结了勾股定理（将出现代数等式） 演变演变 变式 1 在现有已知条件下，可进一步的，求四边形ACBD的面积等于多少？ 解 由例题及解答可知，ACB，ADB都是直角三角形，于是四

23、边形ACBD的面 积等于cm2492525 2 1 86 2 1 2 1 2 1 BDADBCACSS ADBACB 变式 2 求内角平分线CE的长？ 抽取出图形中的基本图 RtABC，因为AC:BC:AB = 3:4:5，于是， 斜边上的高，外接圆半径R = 5（也即斜边上的中线） 5 24 AB BCAC CD D E B C A D E B C A O C A B E D CB A E D A C B E D C B A E D BC D A F E G BC A E D 可编辑 精品文档 设ACB的平分线为CE，过E向两直角边作垂线，则其长相等， 设为x，于是，由 ，得xCE2BCAC

24、BCxACx 2 1 2 1 2 1 ， 7 24 86 86 BCAC BCAC x 7 224 CE 变式 3 如图，AD是ABC外角EAC的平分线，AD与 三角形的外接圆交于点D，求证：BD = CD 解 因为圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角 都等于它的内对角，所以有DAE =DCB，而DAC =DBC （同所对的圆周角相等） ，结合题设AD是EAC的平分线， CD 则有DCB =DBC，所以 BD = CD 变式 4 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把 4 个内角 分成 8 个角，这些角中哪些是相等的角？（课本P93练习第 1 题） 解 1 =4，2

25、=7，3 =6，5 =8 变式 5 如图，A、P、B、C是O上的四点，APC =CPB = 60，判断ABC 的形状并证明你的结论 （课本P95第 11 题） 解 BAC =BPC = 60， ABC =APC = 60，因而ABC是等边三 角形 变式 6 （托勒密定理）AC BD = AB CD + AD BC（见上图） 24.2 与圆有关的位置关系 题目题目 如图，ABC中，ABC = 50，ACB = 75，点O是内心，求BOC 的度数 （人教课本P1061 题） 解解 O是ABC内切圆的圆心（内心） ， A C D B E 54 3 2 1 7 8 A C D B 6 O P C A

26、B O D B C A E 可编辑 精品文档 OB，OC分别是ABC和ACB的平分线 ABC = 50，ACB = 75， OBC = 25，OCB = 37.5， 因此 BOC = 1802537.5 = 117.5 点评点评 抓住“内心与各顶点连线平分每一个内角，且到三条边的距离相等”这些事实， 很容易促进角或线段的转化，突破关键，解决问题 演变演变 变式 1 已知周长为l的ABC的内切圆半径等于r，求ABC的面积 解 设内心为O，连接OA，OB，OC，则OA、OB、OC把ABC分割成三个易求 的小三角形，其面积的和为： =rCArBCrABSSSS ACOBCOABOABC 2 1 2

27、1 2 1 lrCABCAB 2 1 )( 2 1 变式 2 如图，点O是ABC的内心，则ABOC 2 1 90 解 CBBOC 2 1 2 1 180 =，)180( 2 1 180)( 2 1 180ACB ABOC 2 1 90 说明 变式 2 有多种不同的解法，如连结AO并延长，或延长BO交AC于D等等， 请读者探究，收获定当不少 变式 3 如图，ABC中，BC，O在A的平分线上， 求证：AB + OCAC + OB 证明 BC， ABAC，于是在AB上取点D， 使AD = AC，连结OD，则由已知和作图，可得 AOCAOD，进而OC = OD 在OBD中，有 BD + ODOB， （

28、AB + OC）（AC + OB）=（ABAD）+ ODOB = BD + ODOB0， 故 AB + OCAC + OB 变式 4 如图，ABC中，B，C的平分线相交于点O， 过O的直线DEBC，DE分别交AB、AC于D、E， 求证：DE = BD + CE 解 由已知DEBC，BD、CO分别平分B、C，可以发 现BDO和CEO是等腰三角形，于是有BD = DO，CE = OE， 因此BD + CE = DO + OE = DE 变式 5 如图，B、C在射线AD、AE上，BO、CO分别是DBC和ECB的角平 分线 （1）若A = 60，则O为多少度？ BC O A BC O A D BC O

29、 A D BC O A E A B D OE C 4 3 2 1 可编辑 精品文档 （2）若A = 90，120 时，O分别是多少度？ （3）求A 与O的关系式 解 BO、CO是DBC和ECB的平分线， DBC = 22，ECB = 23， ABC = 18022，ACB = 18023 在ABC中，A +ABC +ACB = 180， A + 18022 + 18023 = 180， 即2 +3 = 90 + A 1 2 在BOC中，2 +3 +O = 180， O = 90A 1 2 （1）当A = 60 时，O = 90 60 = 60 1 2 （2）当A = 90 时，O = 90 9

30、0 = 45当A = 120 时，O 1 2 = 90 120 = 30 1 2 （3）A 与O的关系式为O +A = 90 1 2 24.3 正多边形与圆 题目题目 画一个正五边形，再作出它的对角线， 得到如图所示的五角星 （人教课本P1172 题） 解解 先画一个圆，将圆五等分，分点依次为A，B， C，D，E，顺次连结这些点，得正五边形ABCDE，再作 出正五边形的对角线AC，AD，BD，BE，CE，即得如图所示的五角星 点评点评 正多边形与圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧（或把圆心角 分成一些相等的角） ，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接 圆，如

31、上所示作出的是一个正五角星 演变演变 变式 1 求五角星中五个角的和 解 AMN =B +D，ANM =C +E， A +B +C +D +E =A +AMN +ANM = 180 表明正五角星中五个角的和为 180 另法 连结CD，则在AEF和CDF中， 有 B +E = 180BFE = 180CFD =CDF +DCF 在ACD中，A +ACD +ADC = 180， 即 A +ACE +DCF +ADB +CDF = 180 A +B +C +D +E = 180 说明 正五角星中每个角都是 36 变式 2 如变式 1 的图，在正五角星中存在黄金分割数， C B A D E F C B

32、 A D E C B A D E MN 可编辑 精品文档 可以证明（参见人教版课本 46 页“阅读与思考 黄金分割数” 2 15 BE BM BM BN NB MN ） ，此结论待同学们学习了相似形的有关知识后即可证明 变式 3 如图，是将不规则的五角星改为退化的五角星， 则其五个角的和等于多少？ 解 如图，将其转化为不规则的五角星，问题立即获解， 五个角的和等于 180，或连结两个顶点后利用三角形内角和 定理即可解决 变式 4 六角星，七角星，甚至n角星的各个顶角之和等于多少？ 解 都等于 180 说明 解答星型n边形顶角和的问题关键是根据“三角形的内角和为 180及其推论” ，设法将分散的

33、角归结到某个三角形或四边形中，这是解答此类题目的金钥匙 244 弧长和扇形面积 题目题目 如图，从一个直径是 1 m 的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 90 的扇形，求被 剪掉的部分的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少？（人 教课本P1259 题） 解解 连结BC，因为扇形的圆心角为 90，所以BC过圆心O （即BC是直径） ，于是在等腰直角三角形ABC中， ，扇形的面积为， 2 2 2 2 BCAB 84 1 2 AB 扇形的弧长为 ，因此被剪掉的部分的面积为 4 2 2 4 1 AB （m2） 88 ) 2 1 ( 2 BC 将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆

34、的半径r满足 ，得 4 2 2 r （m） 8 2 r 点评点评 求解图形（阴影部分）的面积时，通常是利用等积变换，分割、重叠等，把求 图形（阴影部分）的面积转化为求圆，扇形，弓形，三角形或多边形等基本图形的面积 演变演变 变式 1 求所围成的圆锥的高h和体积V 解 ， 8 30 ) 8 2 () 2 2 ( 2222 rABh 768 30 8 30 ) 8 2 ( 3 1 3 1 22 hrV 变式 2 如图，AC，BD是O中两条互相垂直的直径，以A为圆心AB为半径画弧 ，求证：月牙形阴影部分的面积等于ABD的面积 BD 解 设圆的半径为R，则 2 2 2 1 RRRS ABD C B A

35、 D E l r h C A B O C D A B O E 可编辑 精品文档 以A为圆心，AD为半径画出的扇形ABED的面积，弓形 2 2 2 1 360 290 R R S ）（ 扇形 BED的面积为，所以月牙形阴影部分的面积等于，即 22 2 1 RR 2222 ) 2 1 ( 2 1 RRRR 与ABD的面积相等 变式 3 如图，从一个半径是r的圆形铁皮中剪出一个圆心角为 的扇形，求扇形的 面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥底面圆的半径 解 连结OA，OB，OC，则OA = OB = OC = r，BOC = 2BAC，OA平分 BAC，即，BOC = 2过O作ODAB于D，

36、则OD平分AB，于是 2 OAB AB = 2AD 在 RtADO中， 2 coscos rOABOAAD 2 cos2 rAB 因此，扇形ABC的面积为， 2 cos 90360 222 rABS 扇形 BC弧长为 90 2 360 2r r 所对的圆心角为 2， BC 将扇形围成圆锥，则圆锥底面圆的半径r1 满足 2r1 =，得 BC 90 r 180 1 r r 251 概率 题目题目 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为 3:7如果宇宙中飞来一块陨石落 在地球上， “落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？（人教课本P1391 题） 解解 落在海洋里的可能性更大 点评点评 可能性

37、是指能成为事实的属性然而世界上有很多事情具有偶然性，人们不能 事先判断这些事情是否会发生概率就是从数量上用来描述（刻画）随机事件发生的可能性 的大小对这一问题，需要充分把陨石抽象成随机地散落，地球也是必须抽象成平辅的面， 与生活中通常所看到的质点只能正面地落在面上（不可能弯曲行进而落在背面上） 我们生 活的地球，脚下大地的形状并不是无边无际的辽阔平面，而是大致接近于球面 演变演变 变式 1 已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为 3:7如果宇宙中飞来一块陨石 落在地球上，则“落在海洋里”与“落在陆地上”的概率各是多大？ 解 落在海洋里的概率为，落在陆地上的概率为 10 7 73 7 10 3

38、73 3 变式 2 小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针 扎到正三角形的内切圆（即阴影部分）区域的概率为（ ） A B C D 2 1 6 3 9 3 33 解 设正三角形的边长为单位 1，则正三角形的面积为，正三角形的内切圆半径 4 3 O C A B D 可编辑 精品文档 ，内切圆的面积为，针扎到正三角形的内切圆（即阴影 6 3 30tan 2 1 r 12 ) 6 3 ( 2 部分）区域的概率为，选 C 9 3 4 3 12 变式 3 甲、乙两人约定在 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个 人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率 解 以x和y分别表

39、示甲、乙两人到达约会地点的时间，则两人 能够会面的条件是xy15在平面直角坐标系中，点（x，y） 的所有可能结果是边长为 60 的正方形，而可能会面的时间由图中的 阴影部分所表示，所以两人能会面的概率为 16 7 60 4560 2 22 P 说明 把上述问题抽象成如下模型是：设在面积为S的区域中有任意一个小区域A， 小区域的面积为SA，则任意投点，点落入A中的可能性大小与SA成正比，而与A的位置 及形状无关，为 S S P A 注意，如果是在一个线段上投点，那么面积则改为长度；如果是一个立方体内投点，则 面积就改为体积 25.2 用列举法求概率 题目题目 在 6 张卡片上分别写有 16 的整

40、数随机地抽取一张放回，再随机地抽取一 张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？（P154练习第 1 题） 解解 设第一次随机地取出的数字为a，第二次随机地取出的数字为b，则（b，a）共 有 36 种情况 a b 123456 1 （1，1 ） （1，2 ） （1，3 ） （1，4 ） （1，5 ） （1，6 ） 2 （2，1 ） （2，2 ） （2，3 ） （2，4 ） （2，5 ） （2，6 ） 3 （3，1 ） （3，2 ） （3，3 ） （3，4 ） （3，5 ） （3，6 ） 60 x y O 60 15 15 可编辑 精品文档 4 （4，1 ） （4，2 ） （

41、4，3 ） （4，4 ） （4，5 ） （4，6 ） 5 （5，1 ） （5，2 ） （5，3 ） （5，4 ） （5，5 ） （5，6 ） 6 （6，1 ） （6，2 ） （6，3 ） （6，4 ） （6，5 ） （6，6 ） 从上表可知，b能够整除a的情况有（1，1） ， （2，1） ， （3，1） ， （4，1） ， （5，1） ， （6，1） ， （2，2） ， （4，2） ， （6，2） ， （3，3） ， （6，3） ， （4，4） ， （5，5） ， （6，6） ，共 14 种 因此，所求的概率为 18 7 36 14 点评点评 用列表或画树状图的方法，可以不重不漏的列举事件发生的所有结果，我们把 这两种方法统称为列举法；列举法只适用于等可能事件；等可能事件的特点是：出现的结果 是有限多个，各结果发生的可能性相等 用列举法求概率的一般步骤是：（1）用列表或画树状图的方法，列举出事件所有可能 出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否相等；（2）如果都相等，再确定所有可能 出现的结果个数n及所求事件出现的结果个数m；（3）利用公式计算所求事件A的概率， 即 n m AP)( 列表或画树状图都可以清晰地、不