最新2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（三）

1、2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（三）1已知抛物线yx2bx+c（b，c为常数，b0）经过点A（1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点（1）当b2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D（b，yD）在抛物线上，当AMAD，m3时，求b的值；（3）点Q（b+，yQ）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值（说明：yD表示D点的纵坐标，yQ表示Q点的纵坐标）2如图甲，直线yx+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使

2、以C、P、M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所符合条件的点M的坐标；着不存在，请说明理由；（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），求出E点的坐标3综合与实践如图，抛物线y与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C点D从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点E同时从点B出发以相同的速度向点C运动，设运动的时间为t秒（1）求点A，B，C的坐标；（2）求t为何值时，BDE是等腰三角形；（3）在点D和点E的运动过程中，是否存在直线DE将BOC的面积分成1：4两份，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由4在平面直角坐标系中，点

3、A（1，0），已知抛物线yx2+mx2m（m是常数），顶点为P（1）当抛物线经过点A时，求顶点P坐标；（2）等腰RtAOB，点B在第四象限，且OAAB当抛物线与线段OB有且仅有两个公共点时，求m满足的条件；（3）无论m取何值，该抛物线都经过定点H当AHP45，求此抛物线解析式5如图，抛物线ya（x）（x+3）交x轴于点A、B，交y轴于点C，tanCAO（1）求a值；（2）点P为第一象限内抛物线上一点，点P的横坐标为t，连接PA，PC，设PAC的面积为S，求S与t之间的关系式；（3）在（2）的条件下，点Q在第一象限内的抛物线上（点Q在点P的上方），过点P作PEAB，垂足为E，点D在线段AQ上，点

4、F在线段AO上连接ED、DF，DE交AP于点G，若QDF+QDE180，DFA+AED90，PGPE，PG：EF3：2，求点P的坐标6如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且AOB是等腰直角三角形，AOB90，点A（2，1）（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由7已知二次函数yax2+bx3a经过点A（1，0）、C （0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：BCD是直角三角形；

5、（3）在对称轴右侧抛物线上找一点P，使得P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积8如图，抛物线C1的图象与x轴交A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）点D为抛物线的顶点（1）求抛物线C1的解析式；（2）将抛物线C1关于直线x1对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C3，点E为抛物线C3的顶点，在抛物线C2的对称轴上是否存在点F，使得BEF为等腰三角形？若存在请求出点F的坐标，若不存在请说明理由9如图，直线ykx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过点A，B（1）求k的值和抛物线的

6、解析式（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，连接BN若BPN是直角三角形，求点N的坐标当PBN45时，请直接写出m的值（注：当k1k21时，直线yk1x+b1与直线yk2x+b2垂直）10如图，抛物线C的顶点坐标为（2，8），与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点D（0，6）（1）求抛物线C的函数表达式以及点B的坐标；（2）平移抛物线C，使平移后的抛物线C的顶点P落在线段BD上，过P作x轴的垂线，交抛物线C于点Q，再过点Q作QEx轴交抛物线C于另一点E，连接PE，若PQE是等腰直角三角形，请求出所有满足条件的抛物线C的函

7、数表达式参考答案1解：（1）抛物线yx2bx+c经过点A（1，0），1+b+c0，即cb1，当b2时，yx22x3（x1）24，抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）由（1）知，抛物线的解析式为yx2bxb1，点D（b，yD）在抛物线yx2bxb1上，yDb2bbb1b1，由b0，得b0，b10，点D（b，b1）在第四象限，且在抛物线对称轴x的右侧，如图1，过点D作DEx轴，垂足为E，则点E（b，0），AEb+1，DEb+1，得AEDE，在RtADE中，ADEDAE45，ADAE，由已知AMAD，m3，3（1）（b+1），b21；（3）点Q（b+，yQ）在抛物线yx2bxb1上，yQ（b+）2b

8、（b+）b1，可知点Q（b+，）在第四象限，且在直线xb的右侧，AM+2QM2（AM+QM），可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由GAM45，得AMGM，则此时点M满足题意，过点Q作QHx轴于点H，则点H（b+，0），在RtMQH中，可知QMHMQH45，QHMH，QMMH，点M（m，0），0（）（b+）m，解得，m，AM+2QM，（）（1）+2（b+）（），b62解：（1）直线yx+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，B（3，0），C（0，3），解得，抛物线解析式为yx24x+3；（2）yx24x+3（x2）21，对称轴为直线x2，顶点坐标为P

9、（2，1），CP2，设点M的坐标为（2，m），则PM|m+1|，CM，若CPPM2，则|m+1|2，m12，点M（2，12）或（2，1+2）；若CPCM2，则2，m7，点M（2，7）；若PMCM，如图，过点C作CHPM于H，CH2，PH4，CH2+HM2CM2，4+HM2（4HM）2，HM，点M（2，）满足条件的点M分别为M1（2，7），M2（2，1+2），M3（2，），M4（2，21）；（4）当0x3时，在此抛物线上任取一点E，连接CE、BE，过点E作x轴的垂线FE，交直线BC于点F，设点F（x，x+3），则点E（x，x24x+3），EFx2+3x，SCBESCEF+SBEFEFOB，x2+

10、x（x）2+，a0，0x3，当x时，SCBE有最大值，此时，yx24x+3，E（，）3解：（1）令y0，可得0x2x3，解得：x11，x24，点A（1，0），点B（4，0），令x0，可得y3，点C（0，3）；（2）点A（1，0），点B（4，0），点C（0，3），AB5，OB4，OC3，BC5，当BDBE时，则5tt，t，当BEDE时，如图1，过点E作EHBD于H，DHBHBD，cosDBC，t，当BDDE时，如图2，过点D作DFBE于F，EFBFBEt，cosDBC，t，综上所述：t的值为，和；（3）SBOCBOCO6，SBOC，SBOC，如图1，过点E作EHBD于H，sinDBC，HEt，当

11、SBDESBOC时，则（5t）t，t11，t24，当SBDESBOC，时，则（5t）t，t25t+160，方程无解，综上所述：t的值为1或44解：（1）抛物线经过点A，01+m2m，m1，抛物线解析式为：yx2x+2（x+）2+，顶点P坐标（，）；（2）点A（1，0），OAAB，点B（1，1）直线OB解析式为：yx，抛物线与线段OB有且仅有两个公共点，xx2+mx2m，（m+1）28m0，m2+3，或m2+3，抛物线与线段OB有且仅有两个公共点，m0，m2+3，（3）当x2时，y4+2m2m4，抛物线都经过定点H（2，4），若点P在AH的左侧，如图1，过点A作ABPH，过点B作BDOA，过点H

12、作HCBD于C，AHP45，ABPH，BAHAHB45，ABBH，DBA+CBH90，DBA+DAB90，DABCBH，且ABBH，ADBBCH90，DABCBH（AAS）ADBC，BDCH，BC+BD4，CHAD1，BDCH，BCAD，点B（，）设直线BH解析式为：ykx+b，解得：直线BH解析式为：yx，点P（，）在直线BH上，m14，m2，当m4时，点P（2，4）与点H重合，m抛物线解析式：yx2+x，若点P在AH的右侧，如图2，同理可求：直线BH解析式为：yx，点P（，）在直线BH上，m14，m2，抛物线解析式：yx2+x，综上所述，抛物线解析式为yx2+x或yx2+x5解：（1）抛物

13、线ya（x）（x+3）交x轴于点A、B，0a（x）（x+3）x1，x23，点A（3，0），点B（，0），AO3，tanCAO，CO4，点C（0，4）4a（0）（0+3），a（2）y（x）（x+3）yx2x+4，点P的横坐标为t，点P（t，t2t+4），S4+（t2x+4）t+34（t+3）（t2t+4）t2+t；（3）如图3，延长AQ，EP交于点H，连接GF，QDF+QDE180，且QDE+ADE180，ADEQDF，ADFQDE，DFA+AED90，AED+DEP90，AFDDEP，HAEAHE，且HEAE，HAEAHE45，AEEHt+3，PEPG，PGEPEG，PGEAFDAGD，点A，

14、点D，点G，点F四点共圆，ADFAGF，QDEAFG，AGFAFG，AFAG，设PGPE3a，EF2a，AFt+32aAG，APt+32a+3at+3+a，AP2PE2+AE2，（t+3+a）29a2+（t+3）2，a，3a点P（t，）t2t+4，t1，t3（不合题意舍去）点P（1，3）6解：（1）如图1，过A作ACx轴于点C，过B作BDx轴于点D，A（2，1），AC1，OCBD，AOB为等腰直角三角形，AOBO，AOB90，AOC+DOBDOB+OBD90，AOCOBD，在ACO和ODB中，ACOODB（AAS），ODAC1，BDOC2，B（1，2）；（2）抛物线过O点，可设抛物线解析式为y

15、ax2+bx，抛物线的图象经过点A，点B，解得：，经过A、B、O原点的抛物线解析式为yx2x；（3）存在，理由如下：四边形ABOP，可知点P在线段OA的下方，过P作PEy轴交AO于点E，如图2，设直线AO解析式为ykx，A（2，1），k，直线AO解析式为yx，设P点坐标为（t，t2t），则E（t，t），PEt（x2t）t2+t（t1）2+，SAOPPE2PE（t1）2+，由A（2，1）可求得OAOB，SAOBAOBO，S四边形ABOPSAOB+SAOP（t1）2+（t1）2+，0，当t1时，四边形ABOP的面积最大，此时P点坐标为（1，），综上可知存在使四边形ABOP的面积最大的点P，其坐标为

16、（1，）7解：（1）二次函数yax2+bx3a经过点A（1，0）、C （0，3），抛物线的解析式为yx2+2x+3；（2）由yx2+2x+3（x1）2+4得，D点坐标为（1，4），yx2+2x+3与x轴交于另一点B，令y0，x2+2x+30，解得x1或3，A（1，0），B（3，0），CD，BC3，BD2，CD2+BC2（）2+（3）220，BD2（2）220，CD2+BC2BD2，BCD是直角三角形；（3）如图，P、D、C构成以PC为底边的等腰三角形，点D在PC的垂直平分线上，点C与点P关于对称轴直线x1对称，点P的坐标为（2，3），S四边形PBCDSDCP+SCBP，S四边形PBCD2（43

17、）+2348解：（1）设解析式ya（x1）（x+3）将C（0，3）代入得 a1抛物线C1的解析式为yx22x+3；（2）抛物线C1的解析式为yx22x+3；抛物线C1的顶点为（1，4）将抛物线C1关于直线x1对称后的抛物线记为C2，将抛物线C1关于点B对称后的抛物线记为C3，抛物线C2解析式为：y（x3）2+4，抛物线C3解析式为：y（x3）24，点E为抛物线C3的顶点，点E（3，4），BE2，点F抛物线C2的对称轴上，点F横坐标为3，若BEEF2，则点F坐标为（3，4+2）或（3，42），若BEBF时，则点F与点E关于x轴对称，点F（3，4），若BFEF时，则22+（4EF）2BF2，BFE

18、F，点F（3，），综上所述：当点F为（3，4+2）或（3，42）或（3，4）或（3，）时，使得BEF为等腰三角形9解：（1）把A（3，0）代入ykx+2中得，03k+2，k，直线AB的解析式为：yx+2，B（0，2），把A（3，0）和B（0，2）代入抛物线yx2+bx+c中，则，解得：，二次函数的表达式为：yx2+x+2；（2）当BNP90时，且AMN90，BNPAMN，BNAO，点N的纵坐标为2，2x2+x+2，x0（舍去），x，点N坐标（，2）；当NBP90时，直线BN的解析式为：yx+2，x+2x2+x+2，x0（舍去），x，点N（，）有两解，N点在AB的上方或下方，如图2，过点B作BN

19、的垂线交x轴于点G，过点G作BA的垂线，垂足为点H由PBN45 得GBP45，GHBH，设GHBHt，则由AHGAOB，得AHt，GAt，由ABAH+BHt+t，解得t，AG，从而OGOAAG3，即G（，0），由B（0，2），G（，0）得：直线BG：y5x+2，直线BN：y0.2x+2则，解得：x10（舍），x2，即m；则，解得：x10（舍），x2；即m；故m 与m为所求10解：（1）抛物线C的顶点坐标为（2，8），可以假设抛物线C的解析式为ya（x2）2+8，把（0，6）代入ya（x2）2+8，得a，抛物线C的解析式为y（x2）2+8，即yx2+2x+6，令y0，则有x2+2x+60，解得x2或6，A（2，0），B（6，0）（2）设直线BD的解析式为ykx+b，则，解得，直线BD的解析式为yx+6，设P（t，t+6），则0t6，Q（t，t2+2t+6），E，Q关于x2的长，E（t+4，t2+2t+6），QPt2+2t+6（t+6）t2+3t，QE|2t4|，QPx轴，QEx轴，PQE90，当QEPQ时，