最新2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（一）

1、2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（一）1定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角（1）如图1，E是ABC中A的遥望角，若A，请用含的代数式表示E（2）如图2，四边形ABCD内接于O，四边形ABCD的外角平分线DF交O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E求证：BEC是ABC中BAC的遥望角（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是O的直径求AED的度数；若AB8，CD5，求DEF的面积2如图，在RtABC中，ACB90，O是线段BC上一点，以O为圆心，OC为半径作O，AB

2、与O相切于点F，直线AO交O于点E，D（1）求证：AO是CAB的角平分线；（2）若tanD，求的值；（3）如图2，在（2）条件下，连接CF交AD于点G，O的半径为3，求CF的长3如图，O是ABC的外接圆，BC为O的直径，BAC的平分线交O于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P（1）求证：PD是O的切线；（2）求证：PBDDCA；（3）当AB2，AC4时，直接写出线段PB的长4如图，已知BCAC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与O的交点，点D是MB与O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且ADAOAMAP（1）连接OP，证明：ADMAPO；（2）证明：PD

3、是O的切线；（3）若AD12，AMMC，求PB和DM的值5如图，点P在y轴的正半轴上，P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰RtACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB（1）求证：ABAD；（2）若BF4，DF6，求线段CD的长；（3）当P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由6如图，已知AC，BD为O的两条直径，连接AB，BC，OEAB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF（1）设O的半径为1，若BAC30，求线段EF的长（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，求证：PEPF若DFEF，求BAC的

4、度数7如图，AB是半圆O的直径，AC是半圆内一条弦，点D是的中点，DB交AC于点G，过点A作半圆的切线与BD的延长线交于点M，连接AD点E是AB上的一动点，DE与AC相交于点F（1）求证：MDGD；（2）填空：当DEA 时，AFFG；若ABD30，当DEA 时，四边形DEBC是菱形8如图，ABC内接于O，AD平分BAC交BC边于点E，交O于点D，过点A作AFBC于点F，设O的半径为R，AFh（1）过点D作直线MNBC，求证：MN是O的切线；（2）求证：ABAC2Rh；（3）设BAC2，求的值（用含的代数式表示）9如图示，AB是O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦AD平分BAF

5、，过点D作DEAF交射线AF于点AF（1）求证：DE与O相切：（2）若AE8，AB10，求DE长；（3）若AB10，AF长记为x，EF长记为y，求y与x之间的函数关系式，并求出AFEF的最大值10如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC、BD相交于点F，AC是O的直径，延长CB到点E，连接AE，BAEADB，ANBD，CMBD，垂足分别为点N、M（1）证明：AE是O的切线；（2）试探究DM与BN的数量关系并证明；（3）若BDBC，MN2DM，当AE时，求OF的长参考答案1解：（1）BE平分ABC，CE平分ACD，EECDEBD（ACDABC），（2）如图1，延长BC到点T，四边形FBCD内接于

6、O，FDC+FBC180，又FDE+FDC180，FDEFBC，DF平分ADE，ADFFDE，ADFABF，ABFFBC，BE是ABC的平分线，ACDBFD，BFD+BCD180，DCT+BCD180，DCTBFD，ACDDCT，CE是ABC的外角平分线，BEC是ABC中BAC的遥望角（3）如图2，连接CF，BEC是ABC中BAC的遥望角，BAC2BEC，BFCBAC，BFC2BEC，BFCBEC+FCE，BECFCE，FCEFAD，BECFAD，又FDEFDA，FDFD，FDEFDA（AAS），DEDA，AEDDAE，AC是O的直径，ADC90，AED+DAE90，AEDDAE45，如图3，

7、过点A作AGBE于点G，过点F作FMCE于点M，AC是O的直径，ABC90，BE平分ABC，FACEBCABC45，AED45，AEDFAC，FEDFAD，AEDFEDFACFAD，AEGCAD，EGAADC90，EGAADC，在RtABG中，AB8，ABG45，AG，在RtADE中，AEAD，在RtADC中，AD2+DC2AC2，设AD4x，AC5x，则有（4x）2+52（5x）2，x，EDAD，CECD+DE，BECFCE，FCFE，FMCE，EMCE，DMDEEM，FDM45，FMDM，SDEFDEFM2（1）证明：连接OF，AB与O相切于点F，OFAB，ACB90，OCOF，OAFOA

8、C，即AO是ABC的角平分线；（2）如图2，连接CE，ED是O的直径，ECD90，ECO+OCD90，ACB90，ACE+ECO90，ACEOCD，OCOD，OCDODC，ACEODC，CAECAE，ACEADC，tanD，；（3）由（2）可知：，设AEx，AC2x，ACEADC，AC2AEAD，（2x）2x（x+6），解得：x2或x0（不合题意，舍去），AE2，AC4，AOAE+OE2+35，如图3，连接CF交AD于点G，AC，AF是O的切线，ACAF，CAOOAF，CFAO，ACOCGO90，COGAOC，CGOACO，OC2OGOA，OG，CG，CF2CG3解：（1）连接OD，BC是O的

9、直径，BAC90AD平分BAC，DACBAC45DOC2DAC，DOC24590，PDBC，DOCPDO90ODPD，OD为O的半径，PD是O的切线；（2）PDBC，PABC，ABCADC，PADC，PBD+ABD180，ACD+ABD180，PBDACD，PBDDCA；（3）ABC为直角三角形，BC2AB2+AC222+4220，OD垂直平分BC，DBDC，BC为O的直径，BDC90，在RtDBC中，DB2+DC2BC2，即2DC2BC220，DCDB，PBDDCA，则PB4（1）证明：连接OD、OP、CDADAOAMAP，AA，ADMAPO（2）证明：ADMAPO，ADMAPO，MDPO，

10、DOPMDO，POCDMO，ODOM，DMOMDO，DOPPOC，OPOP，ODOC，ODPOCP（SAS），ODPOCP，BCAC，OCP90，ODAP，PD是O的切线（3）解：连接CD由（1）可知：PCPD，AMMC，AM2MO2R，在RtAOD中，OD2+AD2OA2，R2+1229R2，R3，OD3，MC6，AP18，DPAPAD18126，O是MC的中点，点P是BC的中点，PBCPDP6，MC是O的直径，BDCCDM90，在RtBCM中，BC2DP12，MC6，BM6，BCMCDM，即，DM25（1）证明：OABC，且OA过圆心点P，OBOC，在AOB和AOC中，AOBAOC（SAS

11、），ABAC，以AC为直角边作等腰RtACD，ADAC，ABAD；（2）如图1，过点A作AMBD于M，由（1）知，ABAD，DMBD，BF4，DF6，BD10，DM5，AMD90DAF，ADMFDA，ADMFDA，AD，在等腰直角三角形ADC中，CDAD2；（3）的值是不发生变化，理由：如图2，过点D作DHy轴于H，作DQx轴于Q，AHD90COA，ADH+DAH90，CAD90，CAO+DAH90，ADHCAO，ADAC，ADHACO（AAS），DHAO，AHOC，OHDQOHOQD90，四边形OQDH是矩形，DHOQ，DQOH，又HOAH+AOOC+DHOB+DHOB+OQBQ，DQBQ，

12、DBQ为等腰直角三角形，DBQ45，DEHBEO45，sinDEH，6（1）解：OEAB，BAC30，OA1，AOE60，OEOA，AEEBOE，AC是直径，ABC90，C60，OCOB，OCB是等边三角形，OFFC，BFAC，AFB90，AEEB，EFAB（2）证明：过点F作FGAB于G，交OB于H，连接EHFGAABC90，FGBC，OFHOCB，同理，FHOE，OEABFHAB，OEFH，四边形OEHF是平行四边形，PEPFOEFGBC，1，EGGB，EFFB，DFEF，DFBF，DOOB，FOBD，AOB90，OAOB，AOB是等腰直角三角形，BAC457证明：（1）如图，连接BCD是

13、的中点，DACABD，MA是半圆O的切线，MAAB，AB是半圆O的直径，ADDB，ADM90，M+MADMAD+BAD90，MBADDAC+BAGABD+BAGAGD，AGAM，ADMG，MDGD；（2）若AFFG，ADG90，AFFGDF，DAFADF，ADFABD，ADF+EDB90，ABD+EDB90，DEA90，故答案为：90；若四边形DEBC是菱形，DBADBC30，DEBC，AEDABC30+3060，故答案为：608解：（1）如图1，连接OD，AD平分BAC，BADCAD，又OD是半径，ODBC，MNBC，ODMN，MN是O的切线；（2）如图2，连接AO并延长交O于H，连接BH，

14、AH是直径，ABH90AFC，又AHBACF，ACFAHB，ABACAFAH2Rh；（3）如图3，过点D作DQAB于Q，DPAC，交AC延长线于P，连接CD，BAC2，AD平分BAC，BADCAD，BDCD，BADCAD，DQAB，DPAC，DQDP，RtDQBRtDPC（HL），BQCP，DQDP，ADAD，RtDQARtDPA（HL），AQAP，AB+ACAQ+BQ+AC2AQ，cosBAD，AD，2cos9（1）证明：连接OD，如图1所示：ODOA，OADODA，AD平分BAF，OADFAD，ODAFAD，ODAF，DEAF，DEOD，又OD是O的半径，DE与O相切：（2）解：连接BD，

15、如图2所示：AB是O的直径，ADB90，DEAF，AED90ADB，又EADDAB，AEDADB，AD：ABAE：AD，AD2ABAE10880，在RtAED中，由勾股定理得：DE4；（3）连接DF，过点D作DGAB于G，如图3所示：在AED和AGD中，AEDAGD（AAS），AEAG，DEDG，FADDAB，DFDB，在RtDEF和RtDGB中，RtDEFRtDGB（HL），EFBG，ABAG+BGAF+EFAF+EF+EFAF+2EF，即：x+2y10，yx+5，AFEFx2+5x（x5）2+，AFEF有最大值，当x5时，AFEF的最大值为10（1）证明：AC是O的直径，ADC90，ADB

16、+BDC90，BACBDC，BAEADB，BAE+BAC90，即CAE90，AEAC，AE是O的切线；（2）解：DMBN，理由如下：ANBD，CMBD，ADC90，ANDANBDMCADC90，ADN+MDCMCD+MDC90，ADNMCD，DMCAND，ABNACD，ANBADC90，ADCANB，即，DMBN；（3）解：由（2）知DMBN，则BMDN，设DMBNa，MN2DM，BDBC，MN2a，BMDN3a，BDBC4a，BMC90，CMa，AC是O的直径，ANBD，ABCAND90，ADBACB，ADNACB，设AN3b，AB4b（b0），ANBABC90，BNa，AN2+BN2AB2

17、，即（3b）2+a2（4b）2，解得：ba，ANa，ABa，BC4a，ACa，cosACBcosADBcosEAB，AE，ABAEcosEABa，a，AC，OCAC，ANFCMF90，AFMMFC，ANFCMF，CFAC，OFCFOC亲爱的用户：烟雨江南，画屏如展。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。1、最困难的事就是认识自己。20.10.2810.28.202000:0300:03:4710月-2000:032、自知之明是最难得的知识。二二二二年十月二十八日2020年10月28日星期三3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。00:0310.28.202000:0310.28.202000:0300:03:4710.28.202000:0310.28.20204、与肝胆人共事，无字句处读书。