最新2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（三）

1、2021年数学人教版九年级中考复习专题之圆：考察证明、长度与面积、动点问题等（三）1已知：四边形ABCD内接于O，连接AC、BD，BAD+2ACB180（1）如图1，求证：点A为弧BD的中点；（2）如图2，点E为弦BD上一点，延长BA至点F，使得AFAB，连接FE交AD于点P，过点P作PHAF于点H，AF2AH+AP，求证：AH：ABPE：BE；（3）在（2）的条件下，如图3，连接AE，并延长AE交O于点M，连接CM，并延长CM交AD的延长线于点N，连接FD，MNDMED，DF12sinACB，MN，求AH的长2在平面直角坐标系xOy中，有不重合的两个点Q（x1，y1）与P（x2，y2）若Q，

2、P为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x轴或y轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q与点P之间的“折距”，记做DPQ特别地，当PQ与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ的长即点Q与点P之间的“折距”例如，在图1中，点P（1，1），点Q（3，2），此时点Q与点P之间的“折距”DPQ3（1）已知O为坐标原点，点A（3，2），B（1，0），则DAO ，DBO 点C在直线yx+4上，请你求出DCO的最小值（2）点E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F是直线y3x+6上以动点请你直接写出点E与点F之间“折距”DEF的最小值3如图1，CD是O

3、的直径，且CD过弦AB的中点H，连接BC，过弧AD上一点E作EFBC，交BA的延长线于点F，连接CE，其中CE交AB于点G，且FEFG（1）求证：EF是O的切线；（2）如图2，连接BE，求证：BE2BGBF；（3）如图3，若CD的延长线与FE的延长线交于点M，tanF，BC5，求DM的值4如图所示，O是ABC的外接圆，AB为直径，BAC的平分线交O于点D，过点D作DEAC，分别交AC，AB的延长线于点E，F（1）求证：EF是O的切线（2）填空：当BAC的度数为 时，四边形ACDO为菱形；若O的半径为，AC3CE，则BC的长为 5已知，如图，AB是O的直径，点C为O上一点，OFBC于点F，交O于

4、点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且ODBAEC（1）求证：BD是O的切线；（2）求证：CE2EHEA；（3）若O的半径为，sinA，求BH的长6如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，BAF的平分线交O于点E，交O的切线BC于点C，过点E作EDAF，交AF的延长线于点D（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE3，CE2，求的值；若点G为AE上一点，求OG+EG最小值7已知，AB是O的直径，点C在O上，点P是AB延长线上一点，连接CP（1）如图1，若PCBA求证：直线PC是O的切线；若CPCA，OA2，求CP的长；（2）如图2，若点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，MN

5、MC9，求BM的值8解决问题：（1）如图，半径为4的O外有一点P，且PO7，点A在O上，则PA的最大值和最小值分别是 和 （2）如图，扇形AOB的半径为4，AOB45，P为弧AB上一点，分别在OA边找点E，在OB边上找一点F，使得PEF周长的最小，请在图中确定点E、F的位置并直接写出PEF周长的最小值；拓展应用（3）如图，正方形ABCD的边长为4；E是CD上一点（不与D、C重合），CFBE于F，P在BE上，且PFCF，M、N分别是AB、AC上动点，求PMN周长的最小值9如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，

6、PC，BC，设OPm（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形（2）连结PB，求tanBPC的值（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值（4）作点O关于PC的对称点O，在点P的整个运动过程中，当点O落在APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围10如图，AB是O的直径，点C为O外一点，连接OC交O于点D，连接BD并延长交线段AC于点E，CDECAD（1）求证：CD2ACEC；（2）判断AC与O的位置关系，并证明你的结论；（3）若AEEC，求tanB的值参考答案1（1）证明：连接OA、OB、OD，BAD+2ACB180，BAD+B

7、CD180，2ACBBCD，即ACBACD，AOD2ACD，AOB2ACB，AODAOB，即点A为弧AB的中点；（2）在HF上截取点Q，使HQAH，连接PQ、AE，PHAF，PH是AQ的垂直平分线，PAPQ，PAQPQA，AHHQ，QFAFAQAF2AH，又PQAPAF2AH，PQQF，FFPQPQAPAQ，ABDADBPAQ，FABD，EBEF，ABAF，EABF，FHBF，EAFPHF90，EAPH，又AFAB，EFBE，；（3）连接MD、MB，AMBAMD，MBDMAD，MEDAMB+MBD，MDNAMD+MAD，MEDMDN，MEDMND，MDNMND，MDMN，ABAD，ABAF，A

8、DAF，ADFAFD，由（1）知ABDBDA，BDFADF+ADB（ADF+AFD+ABD+BDA）18090，DF12sinACB12sinABD12，BF12，AFAB6，由（2）知MABMAF90，MB为直径，MDB90，MDB+BDF180，M、D、F共线，ABDAMD，sinABDsinAMD，即，DF1，DF210（舍去），BD，BMD+BAD180，PAH+BAD180，BMDPAH，tanBMDtanPAH，tanPFHtanEBA，设PH24k，则AH7k，FH32k，32k+7k6，k，AH7k2解：（1）DAO|30|+|20|5，同理DBO1，故答案为：5，1；设点C（

9、m，4m），则DCO|m|+|m4|，当0m4时，DCO最小，最小值为4；（2）如图2，过点E分别作x、y轴的平行线交直线yx+4于F1、F2，则EF1是“折距”DEF的最小值，即求EF1的最小值即可，当点E在y轴左侧于平行于直线yx+4的直线相切时，EF1最小，如图3，将直线yx+4向右平移与圆相切于点E，平移后的直线与x轴交于点G，连接OE，设原直线与x、y轴交于点M、N，则点M、N的坐标分别为（2，0）、点N（0，6），则MN2，则MONGEO，则，即，则GO，EF1MG23解：（1）连接OE，则OCEOEC，FEFG，FGEFEG，H是AB的中点，CHAB，GCH+CGH+90，FEO

10、FEG+CEO+90，EF是O的切线；（2）CHAB，CBACEB，EFBC，CBAF，故FCEB，FBEGBE，FEBEGB，BE2BGBF；（3）如图2，过点F作FRCE于点R，设CBACEBGFE，则tan，EFBC，FECBCG，故BCG为等腰三角形，则BGBC5，在RtBCH中，BC5，tanCBHtan，则sin，cos，CHBCsin53，同理HB4；设圆的半径为r，则OB2OH2+BH2，即r2（r3）2+（4）2，解得：r；GHBGBH54，tanGCH，则cosGCH，则tanCGH3tan，则cos，连接DE，则CED90，在RtCDE中cosGCH，解得：CE，在FEG

11、中，cos，解得：FG；FHFG+GH，HMFHtanF；CMHM+CH，MDCMCDCM2r4解：（1）如图，连接OD，OAOD，OADODA，AD平分EAF，DAEDAO，DAEADO，ODAE，AEEF，ODEF，EF是O的切线；（2）当BAC的度数为60时，四边形ACDO为菱形；BAC60，AOD120，OAOD，OADODA30，CAD30，连接CD，ODAE，OADADC30，CADADC30，ACCD，ADAD，ACDAOD（ASA），ACAO，ACAOCDOD，四边形ACDO为菱形；故答案为：60；设OD与BC交于G，AB为直径，ACB90，DEAC，四边形CEDG是矩形，DG

12、CE，DGC90，CGBG，又AOBO，OGAC，AC3CE，OGACCE，ODCE，CE1，AC3，ODAB2OD5，BC4，故答案为：45（1）证明：如图1中，ODBAEC，AECABC，ODBABC，OFBC，BFD90，ODB+DBF90，ABC+DBF90，即OBD90，BDOB，BD是O的切线；（2）证明：连接AC，如图2所示：OFBC，CAEECB，CEAHEC，CEHAEC，CE2EHEA；（3）解：连接BE，如图3所示：AB是O的直径，AEB90，O的半径为，sinBAE，AB5，BEABsinBAE53，EA4，BECE3，CE2EHEA，EH，在RtBEH中，BH6（1）

13、证明：连接OEOAOEOAEOEAAE平分BAFOAEEAFOEAEAFOEADEDAFD90OED180D90OEDEDE是O的切线（2）解：连接BEAB是O直径AEB90BEAD90，BAE+ABE90BC是O的切线ABCABE+CBE90BAECBEDAEBAEDAECBEADEBECDE3，CE2过点E作EHAB于H，过点G作GPAB交EH于P，过点P作PQOG交AB于QEPPG，四边形OGPQ是平行四边形EPG90，PQOG设BC2x，AE3xACAE+CE3x+2BECABC90，CCBECABCBC2ACCE 即（2x）22（3x+2）解得：x12，x2（舍去）BC4，AE6，A

14、C8sinBAC，BAC30EGPBAC30PEEGOG+EGPQ+PE当E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PEEH最短EHAE3OG+EG的最小值为37（1）证明：如图1中，OAOC，AACO，PCBA，ACOPCB，AB是O的直径，ACO+OCB90，PCB+OCB90，即OCCP，OC是O的半径，PC是O的切线CPCA，PA，COB2A2P，OCP90，P30，OCOA2，OP2OC4，（2）解：如图2中，连接MA点M是弧AB的中点，ACMBAM，AMCAMN，AMCNMA，AM2MCMN，MCMN9，AM3，BMAM38解：（1）如图，圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，

15、最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离PA的最大值PA2PO+OA27+411，PA的最小值PA1POOA1743，故答案为 11和3；（2）如图，以O为圆心，OA为半径，画弧AC和弧BD，作点P关于直线OA的对称点P1，作点P关于直线OB的对称点P2，连接P1、P2，与OA、OB分别交于点E、F，点E、F即为所求连接OP1、OP2、OP、PE、PF，由对称知识可知，AOP1AOP，BOP2BOP，PEP1E，PFP2FAOP1+BOP2AOP+BOPAOB45P1OP245+4590，P1OP2为等腰直角三角形，P

16、1P2，PEF周长PE+PF+EFP1E+P2F+EFP1P2，此时PEF周长最小故答案为4；（3）作点P关于直线AB的对称P1，连接AP1、BP1，作点P关于直线AC的对称P2，连接P1、P2，与AB、AC分别交于点M、N由对称知识可知，PMP1M，PNP2N，PMN周长PM+PN+MNPM1+P2N+MNP1P2，此时，PMN周长最小P1P2由对称性可知，BAP1BAP，EAP2EAP，AP1APAP2，BAP1+EAP2BAP+EAPBAC45P1AP245+4590，P1AP2为等腰直角三角形，PMN周长最小值P1P2，当AP最短时，周长最小连接DFCFBE，且PFCF，PCF45，A

17、CD45，PCFACD，PCAFCD又，在APC与DFC中，PCAFCDAPCDFC，BFC90，取BC中点O点F在以BC为直径的圆上运动，当D、F、O三点在同一直线上时，DF最短DFDOFO，AP最小值为此时，PMN周长最小值P1P29解：（1）COA90PC是直径，PBC90A（0，4）B（3，4）ABy轴当A与P重合时，OPB90四边形POCB是矩形（2）连结OB，（如图1）BPCBOCABOCABOBOCBPCBOCABOtanBPCtanABO（3）PC为直径M为PC中点如图2，当OPBM时，延长BM交x轴于点NOPBMBNOC于NONNC，四边形OABN是矩形NCONAB3，BNO

18、A4设M半径为r，则BMCMPMrMNBNBM4rMN2+NC2CM2（4r）2+32r2解得：rMN4M、N分别为PC、OC中点mOP2MN如图3，当OMPB时，BOMPBOPBOPCO，PCOMOCOBMBOMMOCMCO在BOM与COM中BOMCOM（AAS）OCOB5AP4mBP2AP2+AB2（4m）2+32ABOBOCBPC，BAOPBC90ABOBPCPCPC2BP2（4m）2+32又PC2OP2+OC2m2+52（4m）2+32m2+52解得：m或m10（舍去）综上所述，m或m（4）点O与点O关于直线对称POCPOC90，即点O在圆上当O与O重合时，得m0当O落在AB上时，则m24+（4m）2，得m当O与点B重合时，得m0m或m10（1）证明：CDECAD，CC，CDECAD，CD2CACE；（2）AC与O相切，证明：AB是O的直径，ADB90，BAD+B90，OBOD，BODB，ODBCDE，CDECAD，BCAD，BACBAD+CADB+BAD90，BAA