选修2-2阶段复习课第一章

1、阶段复习课 第一章,【答案速填】 _ _ _ _ _ _ _ _ _,导数及其应用,导数的运算,曲线的切线斜率,导数的四则运算法则,函数的单调性研究,曲线的切线,最优化问题,曲边梯形的面积,微积分基本定理的应用,类型 一 导数的概念与几何意义 导数的概念与导数的几何意义 (1)导数的概念：导数刻画的是函数值的增量相对于自变量的增量的比率的极限值，描述的是函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.,(2)导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数，是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率. 综上所述，k切线=f(x0)=,【典例1】(1)(2013佛山高二检测)已知点P在曲线 上

2、移动，在点P处的切线倾斜角为,则的取值 范围是( ) A.0, B. ,) C.0, ) ,)D.0, ) ,),(2)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A,B,C的坐标分 别为(0,4),(2,0)，(6,4),则f(f(0)=_; =_. (用数字作答),(3)已知函数y=x3-x，求函数图象 在点(1,0)处的切线方程. 过点(1,0)的切线方程.,【解析】(1)选C.由 得曲线在点P处的切线斜率 即 又由于0, )( ,),得曲线在点P处的切线倾斜角 的取值范围是0, ) ,).,(2)由图可知，f(x)= 所以f(f(0)=f(4)=2, 根据导数的定义与几何意义，得 答案

3、：2 2,(3)函数y=x3-x的图象在点(1,0)处的切线斜率为k=y|x=1=(3x2-1)|x=1=2, 所以函数的图象在点(1,0)处的切线方程为y=2x-2.,设函数y=x3-x图象上切点的坐标为P(x0,x03-x0)， 则切线斜率为 切线方程为y-(x03-x0)=(3x02-1)(x-x0)， 由于切线经过点(1,0)， 所以0-(x03-x0)=(3x02-1)(1-x0)，,整理，得2x03-3x02+1=0，即2(x03-1)-3(x02-1)=0， 所以2(x0-1)(x02+x0+1)-3(x0+1)(x0-1)=0, 所以(x0-1)2(2x0+1)=0, 解得x0

4、=1或x0=- . 所以P(1,0)或 所以切线方程为y=2x-2或,类型 二 由导数求函数的单调区间 求函数的单调区间的方法步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)计算函数f(x)的导数f (x). (3)解不等式f(x)0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f (x)0，得到函数f(x)的递减区间.,【典例2】若a1，求函数f(x)=ax(a+1)ln(x+1)的单调 区间. 【解析】由已知得函数f(x)的定义域为(-1,+)，且 (1)当-1a0时，f(x)0,函数f(x)在(-1,+)上单调递 减；,(2)当a0时，由f(x)=0,解得 f(x),f(x)随x的变化情况如下表

5、从上表可知，当 时，f(x)0,函数f(x)在(-1, ) 上单调递减;,当x 时，f(x)0,函数f(x)在 上单调递增. 综上所述，当-1a0时，函数f(x)在(-1,+)上单调递减. 当a0时，函数f(x)在 上单调递减，函数f(x)在 上单调递增.,类型 三 由导数求函数的极值 求函数的极值的方法步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数f(x). (2)求方程f(x)=0的根.,(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如

6、果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值.,【典例3】求 的极值. 【解析】 所以 令f(x)=0，得x1=-1,x2=1，,当x变化时，f(x),f(x)的变化情况为 所以当x=-1时，f(x)极小值=3；当x=1时，f(x)极大值=1.,类型 四 由导数求函数的最值 求函数的最值的方法步骤 (1)求f(x)在(a,b)内的极值. (2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值.,【典例4】设aR，函数f(x)=ax3-3x2. (1)若x=2是函数y=f(x)的极值点，求a的值. (2)若函数g(x)=f(x)+f(x),x0,2在x=

7、0处取得最大值，求a的取值范围.,【解析】(1)f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2). 因为x=2是函数y=f(x)的极值点， 所以f(2)=0，即6(2a-2)=0，因此a=1. 经验证，当a=1时，x=2是函数y=f(x)的极小值点.,(2)由题设，g(x)=ax3+3(a-1)x2-6x，g(0)=0. 当g(x)在区间0,2上的最大值为g(0)时， ax3+3(a-1)x2-6x0对一切x(0,2都成立，,方法一：即 对一切x(0,2都成立. 令(x)= ，x(0,2，则a(x)min. 由(x)= 可知(x)= 在x(0,2上单调递减， 所以(x)min=(2)= 故a的取值范

8、围是,方法二:ax3+3(a-1)x2-6x0对一切x(0,2都成立，也即 ax2+3(a-1)x-60对一切x(0,2都成立， (1)当a=0时，3x60在(0,2上成立. (2)当a0时，抛物线h(x)=ax2+3(a-1)x-6的对称轴为,当a0时,因为h(0)=60,所以要使h(x)0在x(0,2上恒 成立,只需h(2)0成立即可,解得 综上所述，a的取值范围为,类型 五 导数在优化问题中的应用 解决优化问题的步骤 (1)首先要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域. (2)其次要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，

9、在这个过程中，导数是一个有力的工具. (3)最后验证数学问题的解是否满足实际意义.,【典例5】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销 售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式 其中3x6,a为常数.已知销售价格为 5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值. (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商 场每日销售该商品所获得的利润最大.,【解析】(1)因为x=5时,y=11,所以 +10=11,a=2. (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)= =2+10(x-3)(x-6)2(3x6).

10、从而,f(x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6) =30(x-4)(x-6).,于是,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如表: 由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42. 答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.,类型 六 导数的综合应用 解决恒成立问题的方法 (1)若关于x的不等式f(x)m在区间D上恒成立，则转化为f(x)maxm. (2)若关于x的不等式f(x)m在区间D上恒成立，则转化为f(x)minm. (3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问

11、题的有力工具.,【典例6】(2013泰安高二检测)已知函数f(x)=x2- mln x,h(x)=x2-x+a， (1)当a=0时，f(x)h(x)在(1,+)上恒成立，求实数m的取值范围. (2)当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间1,3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.,【解析】(1)由f(x)h(x)在(1,+)上恒成立， 得 在(1,+)上恒成立， 令g(x)= ,则 故g(e)=0, 当x(1,e)时，g(x)0， 故g(x)在(1,e)上单调递减，在(e,+)上单调递增， 故当x=e时，g(x)的最小值为g(e)=e. 所以me.,(2)由已知可知k(x)=x

12、-2ln x-a， 函数k(x)在1，3上恰有两个不同零点，相当于函数 (x)=x-2ln x与直线y=a有两个不同的交点, (x)= 故(2)=0， 所以当x1,2)时,(x)0,所以(x)单调递增.,所以(1)=1,(3)=3-2ln 3,(2)=2-2ln 2, 且(1)(3)(2)0, 所以2-2ln 2a3-2ln 3. 所以实数a的取值范围(2-2ln 2,3-2ln 3.,类型 七 导数与微积分基本定理的应用 由定积分求曲边梯形面积的方法步骤 (1)画出函数的图象，明确平面图形的形状. (2)通过解方程组，求出曲线交点的坐标. (3)确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算. (

13、4)对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”求各部分的面积之和.,【典例7】设y=f(x)是二次函数，方程f(x)=0有两个相等的实根，且f(x)=2x+2. (1)求y=f(x)的表达式. (2)若直线x=-t(0t1)把y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.,【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a0), 则f(x)=2ax+b, 又已知f(x)=2x+2,所以a=1,b=2, 所以f(x)=x2+2x+c. 又方程f(x)=0有两个相等实根. 所以判别式=4-4c=0,即c=1. 故f(x)=x2+2x+1.,(2)依题意有 = 所以 即 所以2t3-6t2+

14、6t-1=0, 所以2(t-1)3=-1,所以,【跟踪训练】 1.(2013西安高二检测)若曲线 有一切线与直线 2x-y+1=0垂直，则切点可以为( ) A.( , )B.(- , ) C.( ,- )D.(- , ),【解析】选A.方法一:由于切点必在曲线 上，故选A. 方法二:设曲线 上的切点为 则曲线斜率为 由题意，得 所以x= ，即切点为 ( , )或(- ,- )，故选A.,2.定义n!=n(n-1)(n-2)321(nN*)，已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-2 014)，则f(2 014)=( ) A.0B.2 013! C.2 014!D.2 015!,【解析】选

15、C.由导数的意义，得 f(x)=f(x+x)-f(x) =(x+x)(x+x-1)(x+x-2)(x+x-2 014)- x(x-1)(x-2)(x-2 014)， 所以f(2 014)=f(2 014+x)-f(2 014) =(2 014+x)(2 013+x)(2 012+x)(1+x)x，,所以f(2 014)= = (2 014+x)(2 013+x)(2 012+x)(1+x) =2 0142 0132 012321=2 014!.,3.若定义在R上的函数f(x)的导数为f(x)，且满足 f(x)f(x)，则 与1的关系为( ) A.a1B.a0，故f(x)f(x)，则 故,4.(

16、2013太原高二检测)对于三次函数f(x)=ax3+bx2 +cx+d(a0)，定义f(x)是y=f(x)的导函数y=f(x)的导函数，若方程f(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”. 有的同学发现“任何三次函数都有拐点；任何三次函数都有对称中心；且对称中心就是拐点”.请根据这一发现判断下列命题:,(1)任意三次函数都关于点 对称. (2)存在三次函数，f(x)=0有实数解x0,(x0,f(x0)点为函数 y=f(x)的对称中心. (3)存在三次函数有两个及两个以上的对称中心.,(4)若函数 则 其中正确命题的序号为( ) A.(1)(2)(4)B.(1)

17、(2)(3)(4) C.(1)(2)(3)D.(2)(3),【解析】选A.由题意，f(x)=(ax3+bx2+cx+d)=3ax2+2bx+c, f(x)=(3ax2+2bx+c)=6ax+2b. 由于f(x)=0 x=- 故(- ,f(- )为三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)图象的对称中心，(1)正确.存在三 次函数f(x)=x3,f(x)=3x2=0有实数解x=0,且(0,0)为y=x3的 对称中心，(2)正确.,由于f(x)=6ax+2b(a0)有唯一零点x=- 故三次函数图 象有唯一的对称中心，(3)不正确. 对于(4), 故函数g(x)图象的对称中心为P0,从而点

18、 与 关于P0对称， 与 关于P0对称， 与 关于P0对称，,所以 = =-1(i=1,2,1 006)， 所以 (4)正确.,5.已知函数f(x)= 若存在x0，使f(x0)=0，且 f(x0)=0, 则a的值为_. 【解析】由f(x)=3x2+2ax，f(x0)=0，f(x0)=0, 得3x02+2ax0=0，所以x0=0或x0=- 分别代入x03+ax02- =0， 得a=0或a=3. 经验证，a=0或a=3均满足题意. 答案：0，3,6.下列关于函数f(x)=xex的说法： f(x)有唯一的零点；f(-1)=0； f(x)f(x)；f(x)有最大值. 其中，所有正确的序号是_.,【解析

19、】由于方程xex=0的解为x=0，所以f(x)有唯一的零点，正确；由于f(x)=ex(x+1)，f(-1)=0，正确；由于f(x)-f(x)=-ex0 x-1，所以f(x)有唯一极小值点，也就是最小值点，且函数f(x)没有最大值，不正确. 答案：,7.如图，在半径为6的圆内，作内接等腰三角形，则三角形面积的最大值为_.,【解析】设OBD=，则OD=6sin ，BD=6cos ， 得AD=6+6sin ,BC=2BD=12cos ， SABC= BCAD=36(1+sin )cos =18(2cos +sin 2),(0, ), 因为SABC=18(-2sin +2cos 2) =36(-sin

20、 +1-2sin2),令SABC=0，得sin = ，或sin =-1(舍)， 故cos = 由于SABC有唯一的极值点，即为最值点， 故当= 时，(SABC)max= 答案：,8.(2013浏阳高二检测)已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1，4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直. (1)求实数a,b的值. (2)若函数f(x)在区间m,m+1上单调递增，求m的取值范围.,【解析】(1)因为f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4), 所以a+b=4 f(x)=3ax2+2bx,则f(1)=3a+2b. 由条件f(1)(- )=-1,即3a+2b=9 由式解得a=1,b=3.,(2)由