高三数学教案：直线和平面垂直2

1、课题： 9 4 直线和平面垂直(二)教学目的：1 对直线与平面垂直的判定定理进一步加深理解，并应用此判定定理去处理有关垂直的问题；2 掌握直线与平面垂直的性质定理，并会应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题；能解决“当 a时，直线 a 与平面的距离问题” ；教学重点： 直线与平面垂直的性质定理教学难点： 判定定理和性质定理的运用授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1 直线和平面的位置关系观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（ 1）直线在平面内（无数个公共点） ；（ 2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（ 3）直线和平面平行（没有

2、公共点）用两分法进行两次分类它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a， a ia ， a /aaaa2 线面平行的判定定理： 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式： l, m,l / ml /3 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式： l /,l,iml / mlm4 线面垂直定义： 如果一条直线和一个平面相交， 并且和这个平面内的任意一条直线都垂直， 我们就说这条直线和这个平面 互相垂直 其中直线叫做平面的 垂第1页共6页线，平面叫做直线的垂面 交点叫做 垂足

3、直线与平面垂直简称线面垂直 ，记作： a5 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面讲解新课：1直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面, 那麽这两条直线平行已知：如图， a, b求证： a / b证明：（反证法）假定b 不平行于 a ，则 b 与 a 相交或异面；（ 1）若 a 与 b 相交，设 a i ba ， a,b过点 a 有两条直线与平面垂直，此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾， a 与 b 不相交；（ 2）若 a 与 b 异面，设 b io ，过 o 作 b / a ， a b又 b且 b i b

4、o ，过点 o 有直线 b 和 b 垂直于与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾， b 与 a 不异面，综上假设不成立， a / b 2点到平面的距离的定义： 从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离3直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离二、讲解范例：例 1已知直线 l平面，垂足为 a ，直线 apl ，求证： ap 在平面内证明：设 ap 与 l 确定的平面为，如果 ap 不在内，则可设 iam ，l l， lam ，又 apl ，p于是在平面内过点 a 有两条直线垂直于 l ，am这

5、与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，所以 ap 一定在平面内例 2已知一条直线l 和一个平面平行，求证直线l 上各点到平面的距离第2页共6页相等证明：过直线 l 上任意两点a、b 分别引平面的垂线aa , bb , 垂足分别为a , b aa, bb aa / bb设经过直线aa , bb 的平面为，a b l /l / a b四边形 aa b b 为平行四边形 aabb由 a、 b 是直线 l 上任意的两点，可知直线l 上各点到这个平面距离相等例 3已知： a， b 是两条异面直线，a，b， = l ， ab是 a， b 公垂线，交 a 于 a，交 b 于 b求证： ab l证明方法

6、一： （利用线面垂直的性质定理）过 a 作 b b，则 a， b 可确定一平面 ab 是异面垂线的公垂线，即 ab a， ab b ab b ab a， b ， = l la， lb lb l ab l证明方法二： （利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行） ab 是异面直线 a，b 的公垂线，过 ab与 a 作平面， =m a a m又 a ab， ab m ab又过 ab作平面 g， g =n同理： nab m n，于是有m又=l m l ab l三、课堂练习：1选择题（ 1）直线 l 与平面 内的两条直线都垂直，则直线（ a）平行（ b）垂直 （ c）在平面 内lb gbmnaa

7、l 与平面的位置关系是（d ）无法确定第3页共6页（ 2）对于已知直线a，如果直线b 同时满足下列三个条件：与 a 是异面直线；与 a 所成的角为定值；与 a 距离为定值 d 那么这样的直线 b 有（ ）（ a） 1 条（ b）2 条（c） 3 条（d ）无数条答案：（ 1）d ；（ 2） d2求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直分析： 用反证法，假设这两条异面直线同时和一个平面垂直，由直线和平面垂直的性质定理, 那麽这两条直线平行，此与条件矛盾因此两条异面直线不能同时和一个平面垂直3地面上有两根相距c 米的直立旗杆，它们的长分别是a 米， b 米（ ba），求它们上端间的距离分析： 如图

8、所示， abc 为直角三角形| ab |(ba) 2c24平行四边形abcd 所在平面外有一点p，且 pa=pb=pc=pd ，求证：点p与平行四边形对角线交点o 的连线 po 垂直于 ab、 adp分析： 由条件知， po 分别为等腰三角形 pac、 pbd 底边上的高，所以 po 与 ac 、bd 都垂直，从而 po 与平面垂直 由于 ab、 ad 都在 内，所以 po 垂直于 ab、 adcdoab5如图，已知 e， f 分别是正方形 abcd边 ad， ab 的中点， ef 交 ac于垂直于 abcd所在平面（ 1）求证： ef平面 gmc（ 2）若 ab 4， gc 2，求点 b 到

9、平面 efg的距离分析： 第 1 小题，证明直线与平面垂直，常用的方法是判定定理；第 2 小题，如果用定义来求点到平面的距离，因为体现距离的垂线段无法直观地画出，因此，常常将这样的问题转化为直线到平面的距离问题解：（ 1）连结 bd交 ac于 o， e， f 是正方形 abcd边 ad， ab 的中点， acbd， ef acm， gcgdcem ac gcc，afb第4页共6页 ef平面 gmc（ 2）可证 bd平面 efg，由例题2，正方形中心o到平面 efg6求证：空间四边形的四个内角不可能全是直角证明：（用反证法）假设空间四边形abcd 的四个内角都是直角a过 d 作 de / ab

10、，则 adde , addc , bcdc , bc de设 de,dc 确定的平面为，则 ad, bc,cd ad / bc ， ad,bc 共面，此与 abcd 是空间四边形b矛盾e空间四边形的四个内角不可能全是直角四、小结：我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及两个距离的定义定理的证明用到反证法， 证明几何问题常规的方法有两种： 直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法直线与平面垂直的性质定理，应用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题五、课后作业 ：1已知矩形 abcd的边长 ab 6cm， bc4cm，在 cd上截取 ce 4cm，以 be为棱将矩形折起，使bc e 的高 c f平面 abed，求：c（ 1）点 c到平面abed的距离；d（ 2） c到边 ab 的距离；ce（ 3） c到 ad的距离f参考答案：ab（ 1）作 fh ab于 h，作 fg ad于 g，则 c hab， c g ad , 可算得 be=4 2 cm， hb=2cm， c 到平面 abed的距离为 c f2 2 cm c 到平面 ab的距离为 c 到平面 ad的距离为c h2 3 c