高三数学教案：空间向量的直角坐标及其运算1

1、空间向量的直角坐标及其运算(1)教学目的：掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标；掌握空间向量坐标运算的规律；3. 会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4. 会用中点坐标公式解决有关问题教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算教学难点：空间向量的坐标的确定及运算教学过程：一、复习引入：1 平面向量的坐标表示分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i 、 j 作为基底 任作一个向量 a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、 y，使得 a xi yj把 ( x, y) 叫做向量 a 的（直角）坐标，记作a ( x, y)其中 x

2、叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在y 轴上的坐标，特别地， i (1,0) ， j (0,1) ， 0 ( 0,0)2平面向量的坐标运算若 a ( x1, y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，则 a b( x1 x2 , y1y2 ) ， a b ( x1x2 , y1y2 ) ， a ( x, y)a x1,y1)， b(x2 , y2 ) ，则 ab x2x1 , y2y1若 (3 a b( b 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=04 平面两向量数量积的坐标表示第 1页共 6页已知两个非零向量a( x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，试用 a 和

3、b 的坐标表示a b设 i 是 x 轴上的单位向量，j 是 y 轴上的单位向量，那么ax1 iy1 j ， bx2 iy 2 j所以 a b(x1iy1 j )( x2 iy2 j )x1 x2 i 2x1 y2 ijx2 y1ijy1 y2 j 2又 ii1， jj1， ijji0所以 a bx1 x2y1 y2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和5.平面内两点间的距离公式（1）设 a ( x, y) ，则 | a |2x2y 2 或 | a |x 2y2（2）如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，那么| a

4、 | ( x1 x2 ) 2( y1y2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)6.向量垂直的判定设 a ( x1, y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，则 a bx1x2y1 y207.两向量夹角的余弦（ 0）cos a, b= cos =aba1b1 a2b2| a | | b |a12a22 b12b228空间向量的基本定理：rr r是空间的一个基底，ur是空间任意一向量，若 a, b,cpurrrr存在唯一的实数组 x, y, z 使 pxaybzc 二、讲解新课：1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为 1，这个基底叫 单位正交基底 ，r r r用 i,

5、 j , k 表示；（2）在空间选定一点o 和一个单位正交第 2页共 6页r r rr r rx 轴、 y 轴、基底 i , j , k ，以点 o 为原点，分别以 i , j ,k 的方向为正方向建立三条数轴：z 轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系oxyz ，点 o 叫原点，向量r r rxoy 平面，i , j ,k 都叫坐标向量通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为yoz 平面， zox 平面；（3）作空间直角坐标系oxyz 时，一般使xoy135o （或 45o ），yoz90o ；（4）在空间直角坐标系中， 让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，z如

6、果中指指向 z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系a(x,y,z)规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系2空间直角坐标系中的坐标：kijyo如图给定空间直角坐标系和向量rr r ra ， x设 i , j , k 为坐标向量，rrrr则存在唯一的有序实数组 (a1, a2 , a3 ) ，使 aa1 ia2 ja3 k ，r有序实数组(a1, a2 , a3 ) 叫作向量 a 在空间直角坐标系oxyz中的坐标，记作ar(a1 , a2 , a3 ) 在空间直角坐标系 oxyz 中，对空间任一点a ，存在唯一的有序实数组 ( x, y, z) ，使uuurrroaxiyj zk ，有序实数

7、组 ( x, y, z) 叫作向量 a 在空间直角坐标系 oxyz 中的坐标，记作a(x, y, z) ， x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标3空间向量的直角坐标运算律：z（1）若 ar(a1, a2 , a3 ) ， br(b1,b2 ,b3 ) ，r rb2 ,a3 b3 ) ，则 a b ( a1b1 , a2r r,a3 b3 ) ，a b (a1 b1 , a2 b2rkr) ，a ( a1 , a2 , a3 )(oj zia(a1,a2,a3)b(b1,b2,b3)yrra2b2 a3b3 ，a b a1b1a(x1,y1,z1)rrxr) ，aba / ba1b1, a2

8、b2 ,a3b3 (kb(x2,y2,z2)第 3页共 6页ojyixrraba1b1a2 b2a3b30 （2）若 a( x1 , y1, z1 ) ， b( x2 , y2 , z2 ) ，uuur则 ab( x2x1 , y2y1, z2z1 ) 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若 ar( a1 ,a2 , a3 ) ， br(b1,b2 ,b3) ，rr r222rr r222则 | a |a aa1a2a3， | b |b bb1b2b3r rr ra1b1a2b2a3b3ra br5夹角公式： cos ab| a | |

9、 b |a12a2 2a32b12b2 2b326两点间的距离公式：z若 a( x1 , y1, z1 ) ， b( x2 , y2 , z2 ) ，uuuruuur 2a(x1,y1,z1)x1) 2y1) 2(z2 z1) 2 ，则 | ab |ab( x2( y2ab或 d a, b(x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1) 2kb(x2,y2,z2)ojyix三、讲解范例：r(2,rrrrrrr rr例 1 已知 a3,5) ， b( 3,1, 4) ，求 ab ， ab ， | a | ， 8a ， a b 例 2求点 a(2,3,1) 关于 xoy 平面， zox平面及原点

10、o 的对称点例 3在正方体 abcd a1 b1c1d1 中， e, f 分别是 bb1, cd 的中点，求证 d1f平面 ade 第 4页共 6页四、课堂练习：1已知 abcd a1b1c1d1 是棱长为 2 的正方体， e、 f 分别是 bb1 和 dc的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标2已知 a(2 ， 3,5) ，b( 3,1 ， 4) ，求 ab，ab，8a， a?b3在正方体要 abcda1b1c1d1 中， e、 f 分别为 bb1、 cd的中点，求证： d1f平面 ade本例中坐标系的选取具有一般性，在今后会常用到，这样选取可以使正方体各顶点的坐标均为非负，且易确定原点的坐标为 (0,0,0)，x 轴上的坐标为 (x,0,0)，y 轴上的坐标为 (0,y,0)，z 轴上的坐标为 (0,0,z).要使一向量a(x,y,z)与 z 轴垂直，只要 z0 即可 事实上， 要使向量 a 与哪一个坐标轴垂直，只要向量a 的相应坐标