哈理力十四章--虚位移原理的应用与技巧

1、理论力学,1,第十四章 虚位移原理,理论力学,中南大学土木建筑学院,2,在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系 的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质 点系平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗贝尔原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。,理论力学,中南大学土木建筑学院,3,一、约束及约束方程 限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。 将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。,平面单摆,

2、例如：,曲柄连杆机构,理论力学,中南大学土木建筑学院,4,根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型， 通常按如下分类：,二、约束的分类,1、几何约束和运动约束,限制质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件 都是几何约束。几何约束方程的一般形式为,当约束对质点系的运动情况进行限制时，这种约束 条件称为运动约束。运动约束方程的一般形式为,理论力学,中南大学土木建筑学院,5,例如：重物A由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t,几何约束：,运动约束：,理论力学,

3、中南大学土木建筑学院,6,在两个相对的方向上同时对质点系限制的约束称为 双面约束。双面约束的约束方程为等式。 只能限制质点系单一方向的约束称为单面约束。单面 约束的约束方程为不等式。,3、双面约束和单面约束,理论力学,中南大学土木建筑学院,7,如果在约束方程中显含坐标对时间的导数，并且不可以积分，这种约束称为非完整约束。,4、完整约束和非完整约束,例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， 是微分方程， 但经过积分可得到 ，该约束仍为完整约束。,几何约束或约束方程能够积分的运动约束称为完整约束。,本章只讨论质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目， n为质点系的

4、质点个数）,理论力学,中南大学土木建筑学院,8,确定自由质点在空间的位置： (x、y、z) 3个 确定自由质点系在空间的位置：( xi 、yi 、zi ) (i=1、2n) 3n个 确定受s个完整约束的非自由质点系： 需要(3n-s)个独立坐标。 确定一个受完整约束质点系的位置所需的独立参数的 数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。 前述曲柄连杆机构例子中，确定曲柄连杆机构位置的四个 坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程，因此有一个自由度。,三、自由度和广义坐标,理论力学,中南大学土木建筑学院,9,一般受到s个约束、由n个质点组成的质点系，其自由度为 k=3n-s,通常，n

5、与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的k 个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。 用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。 广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x、y、z、s 等）也可以取角位移（如、 等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。,理论力学,中南大学土木建筑学院,10,广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。,则,理论力学,中南大学土木建筑学院,11,两个自由度 取广义坐标，g,理论力学,中南大学土木建筑学院,12,一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度，取q1、q

6、2、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表为广义坐标的函数。,理论力学,中南大学土木建筑学院,13,某瞬时，质点系中的某质点发生的为约束所允许的、 任意的无限小位移，称为该质点（在该瞬时）的虚位移。,虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号表示虚位移，如dr，dx ，dy，dj 等。,四、虚位移,M,理论力学,中南大学土木建筑学院,14,虚位移与真正运动时发生的实位移不同 实位移是在一定的力作用下和给定的初始条件下运动而 实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。 实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向

7、。 实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，与时间无关，静止的质点系没有实位移，但可有虚位移。,在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。而在非定常约束下，微小实位移不再是虚位移之一。,理论力学,中南大学土木建筑学院,15,受定常约束的非自由质点系中各质点的虚位移之间存 在着一定的关系, 确定这些关系通常有两种方法： （注意：在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一）,(一) 几何法：定常约束的条件下，真实位移是虚位移中的 一个。因此可以用求实位移的方法来求各质点虚位移之间 的关系。由运动学知，质点的实位移与速度成正比，即 因此可以用分析速度的方法分析各力作用点虚位移之间的关

8、系。这种方法又称虚速度法。 即各质点虚位移之比等于各质点速度之比。,理论力学,中南大学土木建筑学院,16,曲柄连杆机构AB作平面运动，由速度投影定理,或者，由于C 为AB的瞬心，故,由正弦定理,同样可得,理论力学,中南大学土木建筑学院,17,设OA杆的角速度为w，虚转角为dj。滑块B的速度为vB，虚位移为drB。,则,由速度投影定理，有,理论力学,中南大学土木建筑学院,18,(二) 解析法：质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数( q1，q2 ,qk)，广义坐标分别有变分(dq1，dq2 ,dqk) ，各质点的虚位移dr 在直角坐标上的投影可以表示为,理论力学,中南大学土木建筑学院,19,

9、解析法是利用对约束方程或坐标表达式进行变分以求出虚位移之间的关系。例如,椭圆规机构如图，坐标xB ， yA有约束方程:,对上式进行变分运算得,坐标的变分，表示坐标的微小增加， 以向坐标的正向为正，反之为负。,理论力学,中南大学土木建筑学院,20,因为,作变分运算,所以,比较以上两种方法，可以发现，几何法直观，且较为简便，而解析法比较规范。,或者把直角坐标xB， yA表示成广义坐标j 的函数， 也可求出虚位移之间的关系。,由上式可知，取广义坐标增加的方向为正，即dj 0，杆AB顺时钟转动。B点虚位移向左，A点虚位移向上。,理论力学,中南大学土木建筑学院,21,解： 1、几何法,P为BC杆的速度瞬

10、心。,建立图示坐标，设OA有虚位移dj，先按几何法求出各点的虚位移，然后将几何法求得的虚位移在坐标轴上投影。,理论力学,中南大学土木建筑学院,22,对广义坐标 求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：,此为一个自由度系统，建立图 示坐标，取OA杆与x 轴夹角为广 义坐标。将C、A、B点的坐标表示 成广义坐标 的函数，得,必须强调指出，解析法中广义坐标的变分是增加的方向！,能否建立图示Oxy坐标系，取j为广义坐标求各点的虚位移？,不能建立图示Oxy坐标系！,理论力学,中南大学土木建筑学院,23,力F 在其作用点发生的虚位移dr 上所作的功称为虚功， 记为dW。,五、虚 功,以解析法表示的虚功,

11、显然，虚功也是假想的，它与虚位移是同阶无穷小量。,六、理想约束,如果在质点系的任何虚位移上，质点系的所有约束力的 虚功之和等于零，则称这种约束为理想约束。,理论力学,中南大学土木建筑学院,24,理想约束的典型例子如下：,质点系受理想约束的条件：,理论力学,中南大学土木建筑学院,25,一、虚位移原理 具有定常、理想约束的质点系，平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即,或用解析式表示为：,几何法和解析法也可联合应用。,这些方程统称为虚功方程,理论力学,中南大学土木建筑学院,26,证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有,质点系处于平衡 选取任一

12、质点Mi也平衡。,对质点Mi 的任一虚位移 ，有,由于是理想约束,所以,对整个质点系：,理论力学,中南大学土木建筑学院,27,(2) 充分性：即当质点系满足 ，质点系一定平衡。,若 ，而质点系不平衡，则至少有第i个质点不平衡。,在 方向上产生实位移 ，取 ，则,对质点系,与前题条件矛盾,故 时质点系必处于平衡。,理想约束下,理论力学,中南大学土木建筑学院,28,二、虚位移原理的应用 1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束力； 4、求平衡构架二力杆的内力。,理论力学,中南大学土木建筑学院,29,求主动力之

13、间的关系,理论力学,中南大学土木建筑学院,30,1、几何法：使A发生虚位移 ，B的虚位移 ，则由虚位移原理，得虚功方程：,由 的任意性，得,解：研究整个机构。系统的所有约束都是完整、定常理想的。,理论力学,中南大学土木建筑学院,31,2、解析法 由于系统为单自由度，可取为广义坐标。,由于dj 是任意的，故,虚功方程为：,即,解析法计算虚功不要另外考虑功的正负，功的正负由解析式自动计算得出。但必须注意每个力投影的正负！,理论力学,中南大学土木建筑学院,32,解1：以系统为研究对象，给系统一组虚位移如图。,AB作平面运动，瞬心在C点，则,将 代入虚功方程得,由于 ，于是得,理论力学,中南大学土木建

14、筑学院,33,亦可由速度投影定理求虚位移之间的关系：,由速度投影定理,解2：解析法。建立如图坐标。,因为,对上两式作变分，得,即,由于 ，于是得,理论力学,中南大学土木建筑学院,34,解： 取系统为研究对象,由运动学关系可知：,即：,虚功方程为：,即：,无法用解析式表达点的坐标时，不能用解析式计算虚位移。,理论力学,中南大学土木建筑学院,35,解：几何法：以系统为研究对象， 给系统一组虚位移如图。,其中,由虚位移原理得,式中,故有,由于 dj 0，于是得,理论力学,中南大学土木建筑学院,36,主动力作用点的坐标及其变分为,解析法：建立如图坐标。,主动力在坐标方向上的投影为,由,得,即,由于 d

15、j 0，于是得,理论力学,中南大学土木建筑学院,37,解3：综合法。,本题用解析法计算F2 的虚功，用几何法计算F1 的虚功，此时虚功方程可以写为,解析法中，广义坐标的增量总是取增加的方向。 本例中dj 取为增加的方向，即为逆时钟转向。,理论力学,中南大学土木建筑学院,38,解：解除绳的约束，代之以约束力FT。,取坐标系Axy，虚功方程为：,取q 角为广义坐标，则,代入虚功方程得,理论力学,中南大学土木建筑学院,39,例 在压缩机的手轮上作用一矩为M的力偶。手轮轴的两端各有螺距同为h、但螺纹方向相反的螺母A和B，这两个螺母分别与长为a的杆相铰接，四杆形成菱形框。此菱形框的点D固定不动，而点C连

16、接在压缩机的水平压板上。求当菱形框的顶角等于2 时，压缩机对被压物体的压力。P359，14-2,解1：取整体系统为研究对象，设手轮转动dj。,虚功方程为,理论力学,中南大学土木建筑学院,40,为何是与力偶转向相反？,因为广义坐标dq 0，所以dx 0。即图示dj 旋转手轮是卸载，与加载转向相反。,解2：建立图示坐标，q为广义坐标，设手轮转动dj。,即,理论力学,中南大学土木建筑学院,41,解：特别要指出的是，系统中弹簧的弹性力虽然属于内力， 但当系统有虚位移时，弹性力要作虚功。因此系统中若有弹 簧，必须解除弹簧约束，将一对弹性力计入主动力，系统简 化为理想约束系统，才可以用虚位移原理求解。,选

17、择AB杆、CD杆和滑套D的系统为研究对象。,AB杆水平q =0时，弹簧原长l0=0.6-0.3=0.3(m),理论力学,中南大学土木建筑学院,42,表明dq 0时，BD距离减小，弹性力作负功。,弹性力的大小为,一对弹性力的虚功为,对于弹性力而言，必须考虑是拉力还是压力，同时考虑作用点是离开还是靠近，最终确定弹性力是作正功还是负功，具体值为多少。有没有方便的方法呢？,理论力学,中南大学土木建筑学院,43,设质点系内A、B之间有刚度系数为k，原长为l0的弹簧连接。,所以,这时不要再考虑 虚功dWk的正负。 且是一对力的虚功。,理论力学,中南大学土木建筑学院,44,或：一对弹性力的虚功为,由虚位移原

18、理：,所以,理论力学,中南大学土木建筑学院,45,解：解除弹簧的约束，用一对弹性力代 替弹簧的作用，画出系统受力图。,其中C点的虚位移为rC =aq ，方向垂直于天窗DC。,弹簧原长为ED，在任意q 角时， 弹簧的变形及弹性力的大小为,例图中所示为一天窗开启及支承机构，天窗重P，重心在C点，当q =0时， 弹簧为原长，其它尺寸如图所示。不计支承机构本身的重量，求能使天窗 在任意q 角平衡的弹簧刚度系数k。,虚功方程为：,弹簧现长为,理论力学,中南大学土木建筑学院,46,将 rC =aq ， rEBl0 = l ， rEB 均代入上式虚功方程得,即,因为dq 0，为使上式在任意q 角都能成立，必

19、须有：,虚功方程,理论力学,中南大学土木建筑学院,47,解：解除弹簧的约束，用弹性力代替弹簧的作 用，画出系统受力图，建立图示坐标系。,力P 作用点的坐标为：,弹簧现长设为rCB，则,上式两边取变分得,坐标的变分为,理论力学,中南大学土木建筑学院,48,虚功方程为：,将 yD 、 rCB 代入上式虚功方程得,即,考虑在关门位置q =0时，此位置B 端若有微小扰动使dq 0，门不会自动弹起。应有：重力作功 弹性力作功，所以代入q =0时rCB= r +a，得,在任意位置q 平衡 时弹簧的刚度系数,理论力学,中南大学土木建筑学院,49,求系统的平衡位置,解：以系统为研究对象，解除弹簧约束， 代 之

20、弹性力。建立如图所示的坐标。,弹簧现长为,主动力作用点的坐标及其变分为,由虚功方程得：,即,理论力学,中南大学土木建筑学院,50,得,由于 dq 0，于是得,也可分别列出D、E的水平坐标，再用解析法计算D、E处的弹性力虚功，求和后得到一对弹性力的虚功和。但较麻烦！,理论力学,中南大学土木建筑学院,51,解：以系统为研究对象，解除弹簧约束，代 之弹性力。建立如图所示的坐标系，以x为广义坐标。,由虚功方程得：,设弹簧原长为l0 ,则,弹簧现长为rDE ,则,即,dx0，可得,理论力学,中南大学土木建筑学院,52,解：解除弹簧，代之以一对弹性力，建立图示坐标。,弹簧原长为 l0=GD，在 任意q 角

21、时，弹簧的变 形l及现长rGE分别为,力F作用点的坐标为：,虚功方程为：,即,由于 dq 0，于是得,理论力学,中南大学土木建筑学院,53,解：建立图示坐标，由几何关系有,asing +2asinq =2asinb （1） acosg +2acosq +2acosb=3a （2）,式（1）两边变分得， cosg dg+2cosqdq =2cosbdb （5）,代入（3）得,(4),理论力学,中南大学土木建筑学院,54,式（2）两边变分得， sing dg+2sinqdq +2sinbdb =0 （8）,理论力学,中南大学土木建筑学院,55,解1：静定结构必须要解除约束才可能有虚位移。将支座B去

22、掉，代之以相应的约束力FB ，并使结构发生图示虚位移。,求静定结构的约束力,虚功方程为,理论力学,中南大学土木建筑学院,56,理论力学,中南大学土木建筑学院,57,由几何关系得：,所以,代入虚功方程可得同样的结果，但计算更加简单。,解2：结构发生图示虚位移。将作用在各刚体上的力系向本刚体上不动的点简化，由力系简化理论及虚位移原理可得：,虚功方程为,理论力学,中南大学土木建筑学院,58,解：（1）求A端约束力偶,以梁为对象，解除A处 限制转动的约束，代之以相 应的约束力偶矩 MA ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,由虚位移原理有,由几何关系得：,即,所以,理论力学,中南大学土木建筑学

23、院,59,由虚位移原理有,解除A处铅垂的约束，代之 以相应的约束反力FAy，并 视为主动力。给系统一组 虚位移，如图所示。,由几何关系得：,所以虚功方程为,所以,理论力学,中南大学土木建筑学院,60,解：解除1杆约束，代之以约束力。,AB作平移，设其虚位移为dr。,虚功方程为,所以,理论力学,中南大学土木建筑学院,61,解(1) 解除B水平约束，求FBx。,设AC绕A有一虚转角dq，于是,由虚功方程有,或用力系简化理论得到虚功方程,理论力学,中南大学土木建筑学院,62,(2) 解除B竖直约束，求FBy,虚功方程为,或用力系简化理论得到虚功方程,理论力学,中南大学土木建筑学院,63,解：以刚架为

24、研究对象，解除D处的水平约束，代之以相应的约束力FDx ，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,由虚位移原理有,由运动学关系,理论力学,中南大学土木建筑学院,64,于是支座D的水平约束力为,故,于是有,代入虚功方程,用力系简化理论和虚位移原理联合求解,即,方程简单明了，得到同样结果！,虚功方程为,理论力学,中南大学土木建筑学院,65,解：解除C处约束， 代之以约束力FC。,设E有虚位移drE，其它点的虚位移见图示。,由运动分析可知，AE、 DH作定轴转动，BEG 作平面运动，瞬心为P，CGH作瞬时平移。,设BEG绕瞬心P有虚位移(转动)dj。,则：,虚功方程为：,即：,理论力学,中南大学

25、土木建筑学院,66,解：解除D处约束，代之以约束力FD。,由运动分析可知，的瞬心在A点，设其虚转角为dj ；的瞬心在E点，设其虚转角为dq 。显然有 dj =dq,虚功方程为,即,解得,其他支座的约束力可用静力学方法求解。也可用虚位移原理求解！但支座E处的约束力用虚位移原理求解不出，为什么？,理论力学,中南大学土木建筑学院,67,D为的瞬心，为瞬时平移。,解得,D为的瞬心，G为的瞬心。,解得,理论力学,中南大学土木建筑学院,68,求桁架杆件及组合结构的轴力,解：解除1杆的约束，代之以相应的约束力，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,由几何关系可知：dq = dj,虚功方程可写为,即,解得,理论力学,中南大学土木建筑学院,69,解除2杆的约束，代之以相应的约束力，并 视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,(的瞬心),由几何关系可知,于是由以上关系求得：dq = dj,虚功方程可写为,即,解得,理论力学,中南大学土木建筑学院,70,解：解除1杆的约束，代之以相应的约束力，并视为主动力。给系统一组虚位移，如图所示。,(的瞬心),由几何关系可知： dq = dj = db,虚功方程可写为,即,解得,理论力学,中南大学土木建筑学院,71,解:截断1杆代之一对内力F1，画虚位移图。,B为BC的瞬心。,由虚位移图得:,rC