2020届高考数学一轮复习课时训练：第13章 推理与证明、算法、复数 66(含解析).doc

1、【课时训练】第66节数学归纳法一、选择题1.(2018德州模拟)用数学归纳法证明“12222n2=2n31”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为()A.1B.12C.1222D.122223答案为：D解析：当n=1时，左边=122223.2.(2018常德一模)数列an中，已知a1=1，当n2时，anan1=2n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()A.3n2B.n2C.3n1D.4n3答案为：B解析：计算出a1=1，a2=4，a3=9，a4=16.可猜想an=n2.3.(2018沈阳调研)用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n

2、=k1时，只需展开()A.(k3)3B.(k2)3C.(k1)3D.(k1)3(k2)3答案为：A解析：假设n=k时，原式k3(k1)3(k2)3能被9整除，当n=k1时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k3)3展开，让其出现k3即可.4.(2018太原质检)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A.n1B.2nC.D.n2n1答案为：C解析：1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)=4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)=7个区域；n条直线最多可将平面分成1(123n)=1=个区域.5.(201

3、8山东菏泽模拟)对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n=1时，11，不等式成立.(2)假设当n=k(kN*且k1)时，不等式成立.即k1，则当n=k1时，=(k1)1，所以当n=k1时，不等式成立，则上述证法()A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k1的推理不正确答案为：D解析：在n=k1时，没用n=k时的假设，不是数学归纳法.从n=k到n=k1的推理不正确.二、填空题6.(2018合肥检测)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1=2时，若已假设n=k(k2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n=_时等式成立.答案为：

4、k2解析：n=k(k2，且k为偶数)的下一个偶数为k2，根据数学归纳法的步骤可知，应填k2.7.(2018淮北三校联考)设数列an的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：2=anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn=_.答案为：解析：由(S11)2=S得：S1=；由(S21)2=(S2S1)S2得：S2=；由(S31)2=(S3S2)S3得：S3=.猜想Sn=.8.(2018三亚模拟)用数学归纳法证明123n2=，则当n=k1时左端应在n=k的基础上加上的项为_.答案为：(k21)(k22)(k1)2解析：当n=k时，左端为123k(k1)(k2)k2，则当n=k1时，左端为123k2(

5、k21)(k22)(k1)2，故增加(k21)(k22)(k1)2.三、解答题9.(2018秦皇岛模拟)设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan=0有一根为Sn1(nN*).(1)求a1，a2的值；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明.(1)【解】当n=1时，方程x2a1xa1=0有一根为S11=a11，(a11)2a1(a11)a1=0，解得a1=.当n=2时，方程x2a2xa2=0有一根为S21=a1a21=a2，2a2a2=0，解得a2=.(2)【证明】由题意知(Sn1)2an(Sn1)an=0，当n2时，an=SnSn1，代入上式整理得SnSn12Sn1=0，解得Sn=.由

6、(1)得S1=a1=，S2=a1a2=.猜想Sn=(nN*).下面用数学归纳法证明这个结论.当n=1时，结论成立.假设n=k(kN*，k1)时结论成立，即Sk=，当n=k1时，Sk1=.即当n=k1时结论成立.由知Sn=对任意的正整数n都成立.10.(2018长春三校联考)已知f(n)=1，g(n)=，nN*.(1)当n=1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明.(1)解析：当n=1时，f(1)=1，g(1)=1，所以f(1)=g(1)；当n=2时，f(2)=，g(2)=，所以f(2)g(2)；当n=3时，f(3)=，g(3)=，所以

7、f(3)g(3).(2)【证明】由(1)猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给出证明.当n=1,2,3时，不等式显然成立.假设当n=k(k3，kN*)时不等式成立.即1，那么，当n=k1时，f(k1)=f(k)，因为=0，所以f(k1)=g(k1).由可知，对一切nN*，都有f(n)g(n)成立.11.(2018江苏南通模拟)数列xn满足x1=0，xn1=xxnc(nN*).(1)证明：xn是递减数列的充分必要条件是c0；(2)若0c，证明数列xn是递增数列.【证明】(1)充分性：若c0，由于xn1=xxncxncxn，数列xn是递减数列.必要性：若xn是递减数列，则x2x1，且x1=0.又x2=xx1c=c，c0.故xn是递减数列的充分必要条件是c0.(2)若0c，要证xn是递增数列.即xn1xn=xc0，即证xn对任意n1成立.下面用数学归纳法证明：当0c时，xn对任意n1成立.当n=1时，x1=0，结论成立