概率论与数理统计期末考试试题及解答

1、;.概率论与数理统计期末试题一、填空题（每小题3 分，共 15 分）1 设事件 a, b 仅发生一个的概率为0.3，且 p( a)p(b)0.5 ，则 a, b 至少有一个不发生的概率为 _.答案： 0.9解：p( abab)0.3即0.3 p( ab ) p( ab)p(a)p( ab)p(b)p( ab) 0.5 2p( ab)所以p( ab)0.1p( ab )p( ab )1p( ab)0.9.2 设随机变量 x 服从泊松分布，且p ( x1)4 p( x2) ，则 p(x3)_.答案：1 e 16解答：2p( x1)p( x0)p( x1)ee,p( x2)e2 2e2由 p( x

2、1)4p( x 2) 知 ee即 2 21 0解得1，故1p(x3)e 163 设随机变量 x 在区间 (0,2)上服从均匀分布， 则随机变量 yx 2 在区间 (0,4)内的概率密度为 f y ( y)_.答案：11,0 y4,fy ( y)fy ( y)fx ( y )4 yy20, 其它 .解答：设 y 的分布函数为 fy ( y),x 的分布函数为fx ( x) ，密度为 f x ( x) 则fy ( y)p( yy)2xy)p(yx)yxf()yf()yp(x因为 x u (0,2) ，所以 fx (y )0 ，即 fy ( y)fx (y );.;.故11,0 y 4,fy ( y

3、) fy ( y)4 yfx ( y )2y0,其它 .另解在 (0, 2) 上函数 yx2 严格单调，反函数为h( y)y所以11,0 y 4,fy ( y) f x ( y)4 y2y,其它 .04 设随机变量x ,y 相互独立，且均服从参数为的指数分布，p( x 1) e 2 ，则_ ， pmin( x ,y)1 =_.答案：2 ， pmin( x ,y)1 1 e-4解答：p( x 1) 1 p( x 1) ee 2 ，故2pmin( x ,y ) 1 1pmin( x ,y )11p( x1)p(y1)1e 4.5 设总体 x 的概率密度为f ( x)(1) x , 0x1,0,其它

4、1.x1 , x 2 , , xn 是来自 x 的样本，则未知参数的极大似然估计量为 _.答案：111 nln xin i1解答：似然函数为n1)n ( x1 , , xn )l( x1 , , xn ; )(1)xi (i1nln ln ln(1)ln xii 1d ln lnnln xi 0d1i 1解似然方程得的极大似然估计为;.;.11.1nln xin i 1二、单项选择题（每小题3 分，共 15 分）1设 a, b,c 为三个事件，且a, b 相互独立，则以下结论中不正确的是（ a ）若 p(c )1，则 ac 与 bc 也独立 .（ b）若 p(c )1，则 ac 与 b 也独立

5、 .（ c）若 p(c )0 ，则 ac 与 b 也独立 .（ d）若 cb ，则 a 与 c 也独立 .（）答案：（ d） .解答：因为概率为1的事件和概率为0 的事件与任何事件独立，所以（a ），（ b），（c）都是正确的，只能选（d） .事实上由图s可见 a 与 c 不独立 .a bc2设随机变量x n (0,1),x 的分布函数为( x) ，则 p(| x |2) 的值为（ a ） 21(2) .（ b） 2(2)1 .（ c） 2(2) .（ d ） 12(2) .（）答案：（ a ）解答：x n (0,1)所以 p(| x |2) 1p(| x | 2)1 p( 2 x 2)1(

6、2 )(2 ) 1 2( 2 )1 2 1应选（ a） .3设随机变量x 和 y 不相关，则下列结论中正确的是（ a ） x 与 y 独立 .（ b） d ( xy)dxdy .（ c） d ( xy)dxdy .（ d） d ( xy )dxdy .（）;.;.答案：（ b）解答：由不相关的等价条件知，xy0cov（ x， y） 0d ( xy )dxdy +2cov（ x， y）应选（ b ） .4设离散型随机变量x 和 y 的联合概率分布为( x ,y ) (1,1)(1,2)(1,3)(2,1) (2, 2) (2,3)1111p91836若 x ,y 独立，则,的值为（ a ）2 ,

7、1.（ a ）99（ c）1,1（ d ）66答案：（ a ）解答：若 x ,y 独立则有1 ,2.995 ,1.（）1818y123p( x2, y 2)p(x2)p(y 2)x11111( 1)( 12 ( 169183)21139393321111，992918故应选（ a ） .5设总体x 的数学期望为, x1 , x 2 , x n 为来自 x 的样本，则下列结论中正确的是（ a ） x1 是的无偏估计量.（ b） x1 是的极大似然估计量.（ c） x1 是的相合（一致）估计量.（ d） x1 不是的估计量 . （）答案：（ a ）解答：ex 1，所以 x1 是的无偏估计，应选（a

8、 ） .三、（ 7 分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，;.;.求（ 1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（ 2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解： 设 a任取一产品，经检验认为是合格品b 任取一产品确是合格品则（ 1）p( a)p( b)p(a | b)p( b)p( a | b)0.90.950.10.020.857.（ 2） p( b | a)p( ab)0.90.950.9977 .p( a)0.857四、（ 12 分）从学校乘汽车到火车站的途中有3 个交通岗，假设在各个

9、交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设 x 为途中遇到红灯的次数，求 x 的分布列、分布函数、数学期望和方差.解： x 的概率分布为k2k3 3 kp( xk ) c3(5) (5)k0,1,2,3.x0123即p2754368125125125125x 的分布函数为0 ,x0,27 ,0x1,125f ( x)81 ,1x2,125117 ,2x3,1251 ,x3.ex326 ,55dx3231 855.2 5五、（ 10 分）设二维随机变量(x , y) 在区域 d( x, y) | x0,y0, x y 1 上服从均匀分布 . 求（ 1） ( x ,y) 关于 x

10、的边缘概率密度； （ 2） zxy 的分布函数与概率密度 .;.;.解： y（1） ( x ,y ) 的概率密度为2,( x, y)d1f ( x, y)其它 .x+y=10,dd1xf x ( x)22x,0 x 10z1f ( x, y)dy0 ,其它x+y=z（ 2）利用公式 fz (z)f (x,zx)dx其中 f (x, z2,0 x1,0zx1x2,0x1, xz1.x)其它0,其它.0,当 z0 或 z 1时 fz (z) 0zz=xzz0 z 1时 fz ( z) 22z0 dx 2x 0故 z 的概率密度为xf z ( z)2z,0z1,0 ,其它.z 的分布函数为0,z00

11、 ,z0,zzf z (z)2ydy, 0z1z2 ,0z1,fz ( y)dy01 ,z1.1,z1或利用分布函数法0,z0 ,fz ( z)p( z z)p( xy )z2 d x d, y 0z1 ,d11,z1.0,z0,z2,0z1,1,z1.fz ( z)fz (z)2z,0z1,0,其它.六、（ 10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标x 和纵坐标 y 相互独立， 且均服从 n (0, 22 ) 分布 . 求（ 1）命中环形区域 d ( x, y) |1x2y22 的;.;.概率；（ 2）命中点到目标中心距离zx 2y 2 的数学期望 .解： y（ 1） p

12、 x ,y)df (x, y) dxdyd1x2 y212r 2edxdy280e 8 rdrdd 2481012xr 2 2r 22112r )e 8e 8e 2 ；e 8 d (181x 2y 2 )x2y 21x2y2（ 2） eze(e8 dxdy812r 21r 2re 8 rdrde8 r 2dr80040r 2r 221r 2re8e 8 dr8 dr2 .2e020七、（ 11 分）设某机器生产的零件长度（单位：cm） x n ( ,2 ) ，今抽取容量为16 的样本，测得样本均值x 10 ，样本方差 s20.16. （ 1）求的置信度为 0.95的置信区间；（ 2）检验假设 h 0 :20.1（显著性水平为0.05） .（附注） t0.05 (16)1.746, t0.05 (15) 1.753,t0.025 (15)2.132,2(16)26.296,2(15)24.996,2(15)27.488.0.050.050.025解：（ 1）的置信度为 1下的置信区间为( xt /2 (n1)