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文档简介

1、5 两个随机变量的函数的分布,返回目录,(一) Z = X +Y 的分布,设 (X,Y) 的概率密度为,的分布函数为,同理,Z的密度函数为,若 X 与Y 相互独立,上述两式称为卷积公式.,例1 设 X N(1,2),Y N(3,4), 且X 和 Y 相互独立，,求Z 的概率密度函数.,解：,X 与Y 相互独立,X 与Y 相互独立,3. X1, X2, Xn相互独立,不全为零,a1,an不全为零,X2, Xn独立同正态分布,X, Y与Z 相互独立,例如:,例2 在一个简单的电路中,两电阻R1和R2串联联接,设 R1,R2相互独立,它们的概率密度都为,求总电阻 R = R1+R2 概率密度.,解:

2、,例3 X1, X2 相互独立,分别服从参数为 分布,X1, X2的概率密度分别为,X1, X2, Xn相互独立,(二) 及 的分布,设X,Y是两个相互独立的随机变量,分布函数分别是,1. 设X1, X2, Xn 相互独立,分别具有分布函数,的分布函数是,的分布函数是,推广,2. 当X1, X2, Xn 是独立同分布的n个随机变量，,分布函数是F (x),具有相同的概率密度f (x),是连续型随机变量,具有概率密度函数,3. 当X1, X2, Xn 是相互独立的n个随机变量，,例4 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2连接而成,已知L1,L2的寿命分别服从参数为1/, 1/的指数分布,连接

3、的方式 (1) 串联 ; (2) 并联 ; (3) 备用(当系统L1损坏时,系统L2开始工作),试分别用上述方法求系统 L的寿命Z 的概率分布.,(),解:,二项分布的卷积公式,X 与Y 相互独立,证: X + Y 的可能取值,Xi : 第i 次贝努里试验中成功出现的次数,Xi 服从0-1分布,例5 二维离散型随机变量(X,Y )的分布律是,求X +Y 的分布律,解:,思考题：,设X1, X2, Xn 相互独立,均在0,上服从均匀分布,设,求Y, Z 的概率密度.,思考题答案：,练习题：,1. 假设随机变量 X 服从指数分布,则随机变量,的分布函数( ),(1) 是连续函数; (2) 至少有两

4、个间断点; (3) 是阶梯函数; (4) 恰好有一个间断点.,2. 设相互独立的两个随机变量 X,Y 具有同一分布律, 且X的分布律为，,3. 设和是取值为0,1,n ,且相互独立的随机变量,求随机变量=+的分布律.,4. 设 X,Y 是两个相互独立的随机变量,都在0,1上均匀分布,求 Z = X + Y 的概率密度.,5. 设,是相互独立的随机变量,且都服从0,b上的均匀分布,求随机变量=/的概率密度函数.,6. 设随机向量(,) 服从二维正态分布,求随机变量 的概率密度函数.,7. 设二维随机变量 (X,Y) 在矩形,上服从均匀分布,试求边长为X 和 Y 的矩形面积S的概率密度 f (s).,8. 设随机变量 X与Y 独立，X 服从正态分布 ，Y 服从-,上的均匀分布，试求 Z = X +Y 的

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