人教版九年级上册《相似》2020秋广东茂名一中期末数学备考训练(附解析答案)

1、天雨轩教育2020茂名一中九年级上期末数学专题测验 相似参考答案与试题解析一选择题（共14小题）1如图，在ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么EF与CF的比是（）A1：2B1：3C2：1D3：1【分析】根据平行四边形的性质可以证明BEFDCF，然后利用相似三角形的性质即可求出答案【解答】解：由平行四边形的性质可知：ABCD，BEFDCF，点E是AB的中点，故选：A【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型2如果3a2b（ab0），那么比例式中正确的是（）ABCD【分析】先逆用比例的基本性质，把3a2b改写成比例的形式，使相乘的两个数a

2、和3做比例的外项，则相乘的另两个数b和2就做比例的内项；进而判断得解【解答】解：3a2b，a：b2：3，b：a3：2，即a：2b：3，故A，B均错误，C正确，D错误故选：C【点评】本题主要考查了比例的性质，解答此题的关键是比例基本性质的逆运用，要注意：内项之积等于外项之积本题也可以将各选项中的比例式化为等积式进行判断3已知xymn，则把它改写成比例式后，错误的是（）ABCD【分析】利用等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式，可判断各选项正确与否【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母ny得xymn，与原式相等；B、两边同时乘以最简公分母mx得xymn，与

3、原式相等；C、两边同时乘以最简公分母mn得xnmy，与原式不相等；D、两边同时乘以最简公分母my得xymn，与原式相等；故选：C【点评】解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同4如图，DE是ABC的中位线，则ADE与ABC的面积之比是（）A1：1B1：2C1：3D1：4【分析】由DE是ABC的中位线，可证得DEBC，进而推得两个三角形相似，然后利用相似三角形的性质解答即可【解答】解：DE是ABC的中位线，ADEABC，相似比为，面积比为故选：D【点评】三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形，因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面

4、积的5如图，ABCD，AEFD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中CEG相似的三角形有（）A2个B3个C4个D5个【分析】根据ABCD，AEFD可以判定图中所有的三角形相似，即可得出与CEG相似的三角形【解答】解：ABCD，AEFDCEGBAG，CEGCDH，BFHCDH，CEGBFH，与CEG相似三角形有3对故选：B【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形的传递性，本题中求证BFHCDH三角形相似是解题的关键6若，则的值是（）ABCD3【分析】根据比例的合比性质即可得出答案；亦可把变化为b3a，代入可求出式子的值【解答】解：原式故选：C【点评】主要考查的是对比例式合比性质

5、的掌握和灵活运用7已知O的半径为5cm，若OP3cm，则点P与O的位置关系是（）A点P在O外B点P在O上C点P在O内D不能确定【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外【解答】解：点到圆心的距离d35r，该点P在O内故选：C【点评】考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内8如图，在ABC中，ABAC，A36，BD平分ABC，DEBC，那么在图中与ABC相似的三角形的个数有（）A1个B2个C3个D4个【分

6、析】平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可判断AEDABC，再由两角对应相等的两个三角形相似可判断BCDABC【解答】解：DEBC，AEDABC，ABAC，A36，BD平分ABC，DBC36A，C72，BDCABC，有两个与ABC相似的三角形故选：B【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边对应成比例的两个三角形相似9若，则的值是（）ABCD【分析】若，则可以设a2k，则b3k将其代入分式求解【解答】解：，设a2k，则b3k，故选：C【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个

7、未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元10已知ABCDEF，相似比为3：1，且ABC的周长为18，则DEF的周长为（）A2B3C6D54【分析】因为ABCDEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长【解答】解：ABCDEF，相似比为3：1ABC的周长：DEF的周长3：1ABC的周长为18DEF的周长为6故选：C【点评】本题考查对相似三角形性质的理解（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比11如图，在ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DEB

8、C若DE：BC2：3，则SADE：SABC为（）A4：9B9：4C2：3D3：2【分析】根据相似三角形的面积比等于对应边长的平方比【解答】解：ADEABC，DE：BC2：3SADE：SABC4：9故选：A【点评】熟练掌握三角形的性质12若ABCDEF，相似比为1：2，且ABC的面积为4，则DEF的面积为（）A16B8C4D2【分析】设DEF的面积为x，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可【解答】解：设DEF的面积为x，ABCDEF，相似比为1：2，ABC的面积为4，（）2，解得x16故选：A【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比

9、的平方13已知2x3y（x0），则下列比例式成立的是（）ABCD【分析】根据等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母等式仍成立即可解决【解答】解：根据等式性质2，可判断出只有B选项正确，故选：B【点评】本题考查的是等式的性质：等式性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；等式性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等14如图，在ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DEBC，若AD：DB3：2，则AE：AC等于（）A3：2B3：1C2：3D3：5【分析】由DECB，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE、AC的比例关系【解答】解：DEBC，AD：

10、DB3：2，AE：EC3：2，AE：AC3：5故选：D【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据已知得出AE与EC的关系是解题关键二填空题（共11小题）15若2m3n，那么m：n3：2【分析】逆用比例的性质：内项之积等于外项之积即可求解【解答】解：2m3n，m：n3：2故答案为：3：2【点评】考查了比例的性质：内项之积等于外项之积若，则adbc16如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播，现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段AB为其倒立的像，如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像AB的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到AB的距离为10cm【分析

11、】由相似三角形判定可得ABOABO，利用对应边成比例可得点O到AB的距离【解答】解：ABAB，ABOABO，是相似比，点O到AB的距离，故答案为：10【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例17如图，在ABC中，DEBC，AD2，AE3，BD4，则AC9【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，得出CE的长度即可得出AC的长【解答】解：DEBC，AD2，AE3，BD4，CE6，ACAE+EC3+69故答案为：9【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出是解决问题的关键18如图，已知ABC，P为AB上一点，连接CP，要使ACPABC，只需添加条件ACP

12、B（答案不唯一）（只要写出一种合适的条件）【分析】要判定两三角形相似，已知有一组公共角，则再添加一组角或夹公共角的两组边对应成比例，即可证明两个三角形相似【解答】解：ACPB，PACCAB，ACPABC；APCACB，PACCAB，ACPABC；PACCAB，AP：ACAC：AB，ACPABC（答案不唯一）【点评】本题利用了相似三角形的判定，答案不唯一19两个相似三角形对应边的比是3：2，那么这两个相似三角形面积的比是9：4【分析】已知了相似三角形的对应边的比即可得出相似三角形的相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解【解答】解：两个相似三角形对应边的比是3：2，它们的相似比为3

13、：2；故它们的面积比为9：4【点评】此题考查了相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应高、对应中线、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方20如图，D，E两点分别在ABC的边AB，AC上，DE，BC不平行，若使ADEACB，需要添加的条件是ADEC（写出一个即可）【分析】由图可得，两三角形已有一组角对应相等，再加一组角对应相等即可【解答】解：由图可得，DAECAB，要使ADEACB，根据两角对应相等，两三角形相似，可添加条件：ADEC或AEDABC；根据两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可添加条件：AB：ACAE：AD【点评】相似三角形的判定：（1）两

14、角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似21已知四条线段a、b、c、d之间有如下关系：a：bc：d，且a12，b8，c15，则线段d10【分析】由线段之间的比例以及对应线段的长，代入求解即可【解答】解：a：bc：d，且a12，b8，c15，即，解得d10故答案为：10【点评】本题主要考查了比例之间的问题，应能够进行一些简单的计算22我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”已知：在RtABC中

15、，C90，AC6，BC3（1）如图1，四边形CDEF是ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1是2；（2）如图2，四边形DGHI是（1）中EDA的内接正方形，则第2个正方形DGHI的边长a2；继续在图2中的HGA中按上述方法作第3个内接正方形；以此类推，则第n个内接正方形的边长an（n为正整数）【分析】（1）由正方形的性质可以得出BFEBCA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形CDEF的边长表示出来，从而得出结论（2）由正方形的性质可以得出EIHEDA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形IDGF的边长表示出来，从而得出结论，通过计算得出的结论寻找其中的变化规律就可以得出第n个内接正方

16、形的边长的值【解答】解：（1）四边形CDEF是正方形，EFFC，EFFC，BFEBCA，设EFFCa，a2，故答案是：2（2）如图（2）四边形DGHI是正方形，IHID，IHAD，EIHEDA，设IHIDb，AD4，DE2，b，故答案是：，如图（3）由以上同样的方法可以求得正方形PGQS的边长为：，第4的个正方形的边长为：第n个内接正方形的边长an故答案为：【点评】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用及规律的探索23如图，在ABC中，点D、E分AB、AC边上，DEBC，若AD：AB3：4，AE6，则AC等于8【分析】由DEBC，根据平行线分线段成比例定理，即可求

17、得，又由AD：AB3：4，AE6，即可求得AC的值【解答】解：DEBC，AD：AB3：4，AE6，AC8故答案为：8【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用24已知ABCDEF，相似比为2：1，若DEF的面积为4，则ABC的面积为16【分析】已知相似三角形的相似比，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出答案【解答】解：DEF与ABC的相似，且相似比为1：2，DEF与ABC的面积比为1：4，DEF的面积为4，则ABC的面积为16，故答案为：16【点评】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答本题的关键25已

18、知，则【分析】根据比例的性质变形即可求解【解答】解：，故答案为：【点评】考查了比例的性质，是基础题型三解答题（共25小题）26如图，在ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且ADEACB（1）求证：ADEACB；（2）如果E是AC的中点，AD8，AB10，求AE的长【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证（2）由于点E是AC的中点，设AEx，根据相似三角形的性质可知，从而列出方程解出x的值【解答】解：（1）ADEACB，AA，ADEACB；（2）由（1）可知：ADEACB，点E是AC的中点，设AEx，AC2AE2x，AD8，AB10，解得：x2，AE2【点评】本题考查相似三角

19、形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型27如图是边长为1的正方形网格，A1B1C1的顶点均在格点上（1）在该网格中画出A2B2C2（顶点均在格点上），使A2B2C2A1B1C1；（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明A2B2C2和A1B1C1相似的依据【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可；（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得【解答】解：（1）如图所示，A2B2C2即为所求；（2）先取一格点A2，在水平方向上取A2C22，再在网格中取一格点B2，使C2A2B2135，且A2B2，则A2B2C2

20、A1B1C1；A1C14，C1A1B1135，A1B12，C2A2B2C1A1B1，A2B2C2A1B1C1【点评】本题主要考查作图相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理28如图，ABC是等边三角形，D，E分别是AC，BC边上的点，且ADCE，连接BD，AE相交于点F（1）BFE的度数是60；（2）如果，那么1；（3）如果时，请用含n的式子表示AF，BF的数量关系，并证明【分析】（1）易证ABDACE，可得DAFABF，根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题（2）如图1中，当时，由题意可知：ADCD，BECE利用等腰三角形

21、的性质即可解决问题；（3）设AFx，BFy，ABBCACnADCE1，由ABDCAE，推出BDAE，设BDAEm，利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题；【解答】解：（1）ABC是等边三角形，ABAC，BADC60，在ABD和ACE中，ABDACE（SAS）DAFABD，BFEABD+BAFDAF+BAFBAD60，故答案为：60（2）如图1中，当时，由题意可知：ADCD，BECEABC是等边三角形，BEEC，ADCD，BAEBAC6030，ABDABC30，FABFBA，FAFB，1故答案为1（3）设AFx，BFy，ABBCACnADCE1，ABDCAE，BDAE，DAFABD，设BD

22、AEm，ADFBDA，ADFBDA，FBECBD，BFEC60，BFEBCD，得到：，【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题29如图，ABC中，DEBC，如果AD2，DB3，AE4，求AC的长【分析】根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答【解答】解：DEBC，即，解得：EC6，ACAE+EC4+610；【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟记平行线分线段成比例定理30已知：如图，12，ABACADAE求证：CE【分析】先根据ABACADAE可得出，

23、再由12可得出ABEADC，由相似三角形的对应角相等即可得出结论【解答】证明：在ABE和ADC中，ABACADAE，（2分）又12，（3分）ABEADC（4分）CE（5分）【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键31如图，设点D、E分别为ABC的外接圆的弧AB、弧AC的中点，弦DE交AB于点F，交AC于点G求证：AFAGDFEG【分析】根据相似三角形的判定定理AA证得ADFEAG，然后由相似三角形的对应边成比例求得，即AFAGDFEG【解答】证明：D、E分别是AB、AC的中点，ADBD，AECE，BADE，（等弧所对的圆周角相等）CAED，ADFEA

24、G（两对应角相等，两三角形相似），AFAGDFEG（说明：不填写理由共扣（1分）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理在证明ADFEAG时，利用等弧所对的弦相等证明ADBD，AECE是关键32已知：RtOAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把RtOAB分割成两部分问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与RtOAB相似（注：在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标）【分析】按照公共锐角进行分类，可以分为两种情况：当BOA为公共锐角时，只存在PCO为直角的情况；当B为公共锐角时，存在PCB和BPC为直角两种情况

25、如图，C1（3，0），C2（6，4），C3（6，）【解答】解：过P作PC1OA，垂足是C1，则OC1POAB点C1坐标是（3，0）（2分）过P作PC2AB，垂足是C2，则PC2BOAB点C2坐标是（6，4）（4分）过P作PC3OB，垂足是P（如图），则C3PBOAB，（6分）易知OB10，BP5，BA8，（8分）（9分）符合要求的点C有三个，其连线段分别是PC1，PC2，PC3（如图）（10分）【点评】本题实质上就是画直角三角形OAB的相似三角形，只不过所画的相似三角形点P已经确定了，所以就要根据网格找出三边的长，再利用对应边相似比相等，画出相似三角形33如图，梯形ABCD中，ABCD，F是D

26、C的中点，BF的延长线交射线AD于点G，BG交AC于点E求证：【分析】欲证，可证GDFGAB，FCEBAE，得到，又已知DFCF，即证结论【解答】证明：ABCD，GDFGAB，FCEBAE，（2分），（4分）DFCF，（5分）【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，相似三角形中对应线段成比例34如图，ABC内接于O，过点A的直线交O于点P，交BC的延长线于点D，AB2APAD（1）求证：ABAC；（2）如果ABC60，O的半径为1，且P为的中点，求AD的长【分析】（1）根据AB2APAD，可以连接BP，构造相似三角形根据相似三角形的性质得到APBABD，再根据圆周角定理得到APBACB，

27、即ABCACB，再根据等角对等边证明结论；（2）根据有一个角是60的等腰三角形是等边三角形，发现等边三角形ABC，再根据点P为弧的中点，连接BP，发现30的直角三角形，且BP是直径，从而求得AP的长，AB的长再根据已知中的条件求得AD的长【解答】（1）证明：连接BP，AB2APAD，又BADPAB，ABDAPB，ABCAPB，APBACB，ABCACB，ABAC；（2）解：由（1）知ABAC，ABC60，ABC为等边三角形，BAC60，P为的中点，ABPPACABC30，BAPBAC+PAC90，BP为直径，BP过圆心O，BP2，APBP1，AB2BP2AP23，AB2APAD，AD3【点评】

28、掌握相似三角形的性质和判定，能够结合已知条件发现等边三角形和30的直角三角形，根据它们的性质分析求解，属中等难度35如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB3，BFBP，垂足是B请在射线BF上找一点M，使以点B、M、C为顶点的三角形与ABP相似（请注意：全等图形是相似图形的特例）【分析】此题有两种情况，（1）当CBMABP时，全等图形是相似图形的特例，此时BP和BM为一组对应边且相等，BMBP3；（2）当MBCABP时，有MB：ABBC：BP，从而求出BM的值【解答】解：在射线BF上截取线段，连接M1C，ABPCBM1，M1BCABP在射线BF上截取线段BM2BP3，连接M2C，

29、CBM2ABP（全等必相似）在射线BF上取或BM23时，M1，M2都为符合条件的M（说明：其他解法请参照给分）【点评】此题主要是考查三角形相似的判定，属中等难度36已知：如图，在ABC中，DEBC，EFAB，试判断成立吗？并说明理由【分析】首先由DEBC，得，根据EFAB，得，根据等式的传递性即可证明结论【解答】解：成立理由如下：DEBC，EFAB，【点评】此题主要是运用了平行线分线段成比例定理37已知：如图，等腰ABC中，ABBC，AEBC于点E，EFAB于点F，若CE1，求EF的长【分析】RtABE中，EFAB，易得AEFB，即cosB，由此可求得BE、AB的比例关系，即BE、BC的比例关

30、系，根据ECBCBE，即可求出BE、AE的长；然后根据AEF的余弦值，即可在RtAEF中，求出EF的长【解答】解：AEBC，AEF+190；EFAB，1+B90；BAEF；（1分）在RtABE中，AEB90；（2分）设BE4k，AB5k，BCAB，ECBCBEBABEk；EC1，k1；（3分）BE4，AB5；AE3；（4分）在RtAEF中，AFE90，（5分）（6分）【点评】此题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的应用等知识38如图，已知：在O中，直径AB4，点E是OA上任意一点，过E作弦CDAB，点F是上一点，连接AF交CE于H，连接AC、CF、BD、OD（1）求证：

31、ACHAFC；（2）猜想：AHAF与AEAB的数量关系，并说明你的猜想；（3）探究：当点E位于何处时，SAEC：SBOD1：4，并加以说明【分析】（1）根据垂径定理得到弧AC弧AD，再根据圆周角定理的推论得到FACH，根据两个角对应相等证明两个三角形相似；（2）连接BF，构造直角三角形，把要探索的四条线段放到两个三角形中，根据相似三角形的判定和性质证明；（3）根据三角形的面积公式，得到两个三角形的面积比即为AE：OB，进一步转化为AE：AO的比，再根据半径的长求得OE的长【解答】（1）证明：直径ABCD，FACH，又CAFFAC，ACHAFC（2）解：AHAFAEAB证明：连接FB，AB是直径

32、，AFBAEH90，又EAHFAB，RtAEHRtAFB，AHAFAEAB（3）解：当时，SAEC：SBOD1：4理由：直径ABCD，CEED，SAECAEEC，SBODOBED，O的半径为2，84OE2，OE即当点E距离点O时SAEC：SBOD1：4【点评】能够综合运用垂径定理和圆周角定理的推论得到有关的角相等掌握相似三角形的判定和性质39矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，AC两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线与BC边相交于点D（1）求点D的坐标；（2）若上抛物线yax2+bx（a0）经过A，D两点，试确定此抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线AD

33、交点M，点P为对称轴上一动点，以P、A、M为顶点的三角形与ABD相似，求符合条件的所有点P的坐标【分析】（1）有题目所给信息可以知道，BC线上所有的点的纵坐标都是3，又有D在直线上，代入后求解可以得出答案（2）A、D，两点坐标已知，把它们代入二次函数解析式中，得出两个二元一次方程，联立求解可以得出答案（3）由题目分析可以知道B90，以P、A、M为顶点的三角形与ABD相似，所以应有APM、AMP或者MAP等于90，很明显AMP不可能等于90，所以有两种情况【解答】解：（1）四边形OABC为矩形，C（0，3）BCOA，点D的纵坐标为3直线与BC边相交于点D，x2，故点D的坐标为（2，3）（2）若抛

34、物线yax2+bx经过A（6，0）、D（2，3）两点，解得：抛物线的解析式为（3）抛物线的对称轴为x3，设对称轴x3与x轴交于点P1，BAMP1，BADAMP1AP1MABD90，ABDMP1AP1（3，0）当MAP2ABD90时，ABDMAP2AP2MADBAP1AB，AP1P2ABD90，AP1P2ABDP1P2BD4点P2在第四象限，P2（3，4）答：符合条件的点P有两个，P1（3，0）、P2（3，4）【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，以及三角形的性质等相关知识，属于综合类题目40已知：如图，在梯形ABCD中，ABDC，AB2，DC5，BC3，AC与BD相交于点M，且（1）求证：

35、ABMCMD；（2）求BCD的正弦值【分析】（1）ABDC，AC、BD相交于点M，即可证明DFEDAB（2）由AMBCMD，利用对应边成比例，将已知数值代入即可求得答案【解答】（1）证明：ABDC，AC、BD相交于点M，AMBCMD（2）解：AMBCMD，MBDBDM+MB4BC2+BD2DC2DBC为直角三角形（DBC90）sinBDC【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握，难度适中41如图，在56的网格图中，ABC的顶点A、B、C在格点（每个小正方形的顶点）上，请你在网格图中画一个A1B1C1，使A1B1C1ABC（相似比不为1），且点A1，B1，C1必须在格点上【

36、分析】根据位似的定义，先确定位似中心点，然后确定位似比即可画出位似图形【解答】解：所作图形如下所示：说明：A1B1C1ABC，相似比为；A2B2C2ABC，相似比为；A3B3C3ABC，相似比为2：1【点评】本题考查位似作图的知识，属于开放型，因为位似中心及位似比没有确定，同学们可以自己选择作图42如图，在ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，ABCADE，AB7，AD3，AE2.7，求AC的长【分析】已知ABCADE，AA，则可推出ABCADE，根据相似三角形的相似比即可求得AC的长【解答】解：在ABC和ADE中，ABCADE，AAABCADE（2分）（3分）6.3（5分）【点评】此题

37、主要考查学生对相似三角形的判定及性质的理解及运用能力43在RtABC中，ACB90，ACBC，CDAB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EGBE交AB于点G，（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是EFEG；（2）如图2，当，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；（3）如图3，当，线段EF与EG的数量关系是【分析】（1）根据全等三角形的证明方法利用ASA得出EFMEGN，即可得出EFEG；（2）根据已知首先求出ENGFEM，再得出ENGEMF，即可得出EFMEGN，再利用相似三角形的性质得出答案即可【解答】解：（1）证明：如图1，过E作EMAB于M，

38、ENCD于N，ACB90，ACBC，AABC45，ADCD，点E为AC的中点，CDAB，ENDC，ENAD，EMCD，ENEM，GEB90，MEN90，NEFGEM，EGMEFN，（ASA）EGEF（2）证明如图（2）：过点E作EMCD于点M，作ENAB于点N，ENACMEEMF90CDAB于点D，CDA90EMADACEMEMCANEEMAD，NEM90即1+290EGBE，3+290，MEFGENEFMEGNACB90，ACBC，A45，ANEN，（3） 证明如图（3）：过点E作EMCD于点M，作ENAB于点N，ENACMEEMF90CDAB于点D，CDA90EMADACEMEMCANEE

39、MAD，NEM90即2+390EGBE，3+290，MEFGENEFMEGNACB90，ACBC，A45，ANEN，故答案为：（1）EFEG，（3）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质的运用44以AB为直径作半圆O，AB10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，并延长BC至点D，使DCBC，过点D作DEAB于点E、交AC于点F，连接OF（1）如图，当点E与点O重合时，求BAC的度数；（2）如图，当DE8时，求线段EF的长；（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段AB上，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与ABC相似？若存在，请直接写出此时线段OE的长

40、；若不存在，请说明理由【分析】（1）连接OC根据直角三角形的性质和圆的性质可得OBC是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到BAC的度数；（2）连接DA根据垂直平分线的性质可得ABAD10，根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长，通过AA证明AEFDEB，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；（3）分两种情况：当交点E在O、A之间时；当交点E在O、B之间时；讨论即可求得线段OE的长【解答】解：（1）连接OCC为DB中点，OCBCOB，OBC是等边三角形，B60，AB为直径，ACB90，BAC30；（2）连接DAAC垂直平分BD，ABAD10，DE8，DEAB，

41、AE6，BE4，FAE+AFE90，CFD+CDF90，CDFEAF，AEFDEB90，AEFDEB，EF3；（3）当交点E在O、A之间时，若EOFBAC，此时，OEAE，则OE；若EOFABC，此时，则OE；当交点E在O、B之间时，OE综上所述，OE或或【点评】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度45已知抛物线上有不同的两点E（k+3，k2+1）和F（k1，k2+1）（1）求抛物线的解析式；（2）如图，抛物线与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和B，M为AB

42、的中点，PMQ在AB的同侧以M为中心旋转，且PMQ45，MP交y轴于点C，MQ交x轴于点D设AD的长为m（m0），BC的长为n，求n和m之间的函数关系式；（3）当m，n为何值时，PMQ的边过点F？【分析】（1）求抛物线的解析式关键是求出b的值，根据E、F的坐标可发现，E、F关于抛物线的对称轴对称，由此可求出抛物线的对称轴方程，进而可求出b的值及抛物线的解析式；（2）根据抛物线的解析式可求出A、B的坐标，可得到OABOBAPMQ45，可证BCMAMD，根据相似三角形得到的比例线段求出m、n的函数关系式；（3）将点F的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出F点的坐标，进而可由待定系数法求出直线MF的解

43、析式，然后根据直线MF与坐标轴的交点坐标求出m、n的值（需注意的是此题要分MP、MQ过F的两种不同情况分类讨论）【解答】解：（1）抛物线的对称轴为；抛物线上不同两个点E（k+3，k2+1）和F（k1，k2+1）的纵坐标相同，点E和点F关于抛物线对称轴对称，则，且k2；抛物线的解析式为；（2）抛物线与x轴的交点为A（4，0），与y轴的交点为B（0，4），AB，AMBM；在PMQ绕点M在AB同侧旋转过程中，MBCDAMPMQ45，在BCM中，BMC+BCM+MBC180，即BMC+BCM135，在直线AB上，BMC+PMQ+AMD180，即BMC+AMD135；BCMAMD，BCMAMD；，即，；

44、故n和m之间的函数关系式为（m0）；（3）F（k1，k2+1）在上，将F代入函数解析式得：，化简得，k24k+30，k11，k23；即F1（2，0）或F2（4，8）；MF过M（2，2）和F1（2，0），设MF为ykx+b，则，解得；直线MF的解析式为；直线MF与x轴交点为（2，0），与y轴交点为（0，1）；若MP过点F（2，0），则n1413，m1；若MQ过点F（2，0），则m24（2）6，n2；MF过M（2，2）和F2（4，8），设MF为ykx+b，则，解得；直线MF的解析式为；直线MF与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，）；若MP过点F（4，8），则n34（），m3；若MQ过点F（4，

45、8），则m44，n4；故当，或时，PMQ的边过点F【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、函数图象与坐标轴交点坐标的求法等知识，需注意的是（3）题中，MP、MQ都有可能经过F点，要分类讨论，以免漏解46如图，P为ABC内一点，连接PA、PB、PC，在PAB、PBC和PAC中，如果存在一个三角形与ABC相似，那么就称P为ABC的自相似点（1）如图，已知RtABC中，ACB90，ABCA，CD是AB上的中线，过点B作BE丄CD，垂足为E试说明E是ABC的自相似点；（2）在ABC中，ABC如图，利用尺规作出ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；若ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数【分析】（1）根据已知条件得出BECACB，以及BCEABC，得出BCEABC，即可得出结论；（2）根据作一角等于已知角即可得出ABC的自相似点；根据PBCA，BCPABC2PBC2A，ACB2BCP4A，即可得出各内角的度数【解答】解：（1）在RtABC中，ACB90，CD是AB上的中线，CDAB，CDBD，BCEABC，BECD，BEC90，BECACB，BCEABC，E是ABC的自相似点；（2）如图所示，作法：在ABC内，作CBDA，在ACB内，作BCEABC，BD交CE于点P