高三数学教案：函数的极值(1)

1、课题： 3 7 函数的极值 (1)教学目的：1.理解极大值、极小值的概念.2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.3.掌握求可导函数的极值的步骤教学重点： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.教学难点： 对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析 ：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、 极小值的方法 .判断极值点的关键是这点两侧的导数异号教学过程 ：一、复习引入：1. 常见函数的导数公式：

2、c 0； ( x n )nx n 1 ； (sin x)cos x ； (cos x)sin x2.法则 1u( x)v(x) u ( x)v ( x) 法则 2u(x)v( x)u ( x)v(x) u( x)v (x) ,cu (x) cu ( x)u vuv 法则 3u(v0)vv23.复合函数的导数： 设函数 u=(x)在点 x 处有导数 u = (x)，函数 y=f(u)x在点 x 的对应点 u 处有导数 y u=f (u)，则复合函数 y=f(x)在点 x 处也有导数，且 yxyu u x或 f x( x)= f(u) ( x)4.复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代5. 对

3、数函数的导数： (ln x)11log a ex(log a x)x6.指数函数的导数：(ex ) ex(a x )a x ln a7. 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数，第 1页共 5页如果在这个区间内y / 0，那么函数 y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 y / f (x1 )（）函数的极值点一定出现在区间的内部， 区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点yf(x 5 )f(x 3 )f(x 1)f(x 4 )ax1x 2x3x4x5bxof(b)f(x 2 )f(a)4. 判别

4、 f(x0)是极大、极小值的方法:第 2页共 5页若 x0 满足 f ( x0 )0 ，且在 x0 的两侧f ( x) 的导数异号， 则 x0 是 f (x) 的极值点，f ( x0 ) 是极值，并且如果f ( x) 在 x0 两侧满足“左正右负” ，则 x0 是f ( x) 的极大值点，f ( x0 ) 是极大值；如果f ( x) 在 x0 两侧满足“左负右正” ，则 x0 是 f ( x) 的极小值点，f ( x0 ) 是极小值5. 求可导函数 f(x)的极值的步骤 :(1)确定函数的定义区间，求导数f (x)(2)求方程 f (x)=0 的根(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定

5、义区间分成若干小开区间，并列成表格 .检查 f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值三、讲解范例：例 1 求 y=解： y =(1313x3 4x+4 的极值x3 4x+4) =x2 4=( x+2)( x 2)令 y=0，解得 x1 = 2， x2=2当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表x,2-2(-2,2)22,y+00+y极大值 28极小值433当 x= 2 时， y 有极大值且 y 极大值 =283当 x=2 时， y 有极小值且y 极小值

6、= 43第 3页共 5页y1f(x)= 3 x3 -4x+42-2ox例 2 求 y=( x2 1)3+1 的极值解： y =6x(x2 1)2=6x(x+1)2 (x 1)2令 y=0 解得 x1=1， x2=0， x3=1当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表x, 1-1(-1,0)0(0,1)11,y00+0+y无极值极小值 0无极值当 x=0 时， y 有极小值且 y 极小值 =0yf x = x2 -13 +1-1o1x求极值的具体步骤：第一，求导数f (x).第二，令 f (x)=0 求方程的根，第三，列表，检查f (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这

7、个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值 .如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点四、课堂练习 ：1求下列函数的极值.(1)y=x2 7x+6(2)y=x3 27x第 4页共 5页(1)解： y =(x2 7x+6) =2x 77令 y=0，解得 x=.2当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表.xyy777,2,220+极小值254当 x= 7 时， y 有极小值，且y 极小值 = 25 .24(2)解： y =(x3 27x)=3x2 27=3( x+3)( x 3)令 y=0，解得 x1 = 3， x2=3.当 x 变化时， y， y 的变化情况如下表.x,3-3(-3,3)33,y+00+y极大值54极小值 -54当 x= 3 时， y 有极大值，且y 极大值 =54.当 x=3 时， y 有极小值，且y 极小值 =54五、小结：函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤 .还有要弄清函数的极值是就函数在某一