人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数的概念教案

1、5.2.1 三角函数的概念（第一课时）教学设计教学目标1了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系；2经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养教学重难点教学重点：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义教学难点：理解三角函数的对应关系，包括影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解；对符号sina，cosa和tana的认识课前准备PPT课件教学过程（一）创设情境图1引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表如图1，O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转在把角的范

2、围推广到任意角后，我们可以借助角的大小变化刻画点P的位置变化又根据弧度制的定义，角的大小与O的半径无关，因此，不失一般性，我们可以先研究单位圆上点的运动现在的任务是：如图1，单位圆O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况问题1：根据已有的研究函数的经验，你认为我们可以按怎样的路径研究上述问题？预设的师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流、讨论预设答案：明确研究背景对应关系的特点分析下定义研究性质设计意图：明确研究的内容、过程和基本方法，为具体研究指明方向（二）新知探究引导语：下面我们利用直角坐标系来研究上述问题如图2，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为

3、x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y)射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角，终止位置为OP问题2：当=时，点P的坐标是什么？当=或时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？预设的师生活动：在学生求出=时点P的坐标后追问以下问题追问：（1）求点P的坐标要用到什么知识？（2）求点P的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确定吗？（3）如何利用上述经验求=时点P的坐标？（4）利用信息技术，任意画一个角，观察它的终边OP与单位圆交点P的坐标，你有什么发现？你能用函数的语言刻画这

4、种对应关系吗？预设答案：（1）直角三角形的性质；（2）画出的终边OP，过点P作x轴的垂线交x轴于M，在RtOMP中，利用直角三角形的性质可得点P的坐标是； （3）可以发现，MOP=，而点P在第二象限，可得点P的坐标是；（4）对于R中的任意一个角，它的终边OP与单位圆交点为P(x，y)，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的这里有两个对应关系：f：实数a（弧度）对应于点P的纵坐标y，g：实数a（弧度）对应于点P的横坐标x根据上述分析，f：R1，1和g：R1，1都是从集合R到集合1，1的函数设计意图：以函数的对应关系为定向，从特殊到一般，使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆

5、交点的横、纵坐标都是圆心角（弧度）的函数，为给出三角函数的定义做好准备问题3：请同学们先阅读教科书第178179页，再回答如下问题：（1）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？（2）符号sin a，cos a和tan a分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？（3）为什么说当ak时，tan a的值是唯一确定的？（4）为什么说正弦函数、余弦函数的定义域是R？而正切函数的定义域是xR|xk，kZ ？预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题预设答案：（1）正弦函数的对应关系：sina 点P的纵坐标y；余弦函数的对应关系：cosa 点P的横坐标x；正

6、弦函数的对应关系：tana （2）分别表示y，x，；引入符号logab表示ax=b中的x（3）当ak时，如果确定，那么a的终边确定，终边与单位圆的交点P确定，P 点的横、纵坐标x、y就会唯一确定，因此的值也是唯一确定的，所以tan a的值也是唯一确定的（4）当ak时，a的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以tan a无意义除此之外，对于任意角a，P点的横、纵坐标的值x，y都是存在且唯一确定的设计意图：在问题引导下，通过阅读教科书、辨析关键词等，使学生明确三角函数的“三要素”；引导学生类比已有知识（引入符号logab表示ax=b中的x），理解三角函数符号的意义问题5：在初中我们学了锐角三

7、角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数设x，把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为y1，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为z1y1与z1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？预设的师生活动：教师引导，学生作图并得出结论预设答案：作出RtABC，其中A=x，C=90，再将它放入直角坐标系中，使点A与原点重合，AC在x轴的正半轴上，可得出y1=z1的结论对于余弦、正切也有相同的结论设计意图：建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性例1 利用三角函数的定义求的正弦、余弦和正切值预设的师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步

8、骤，并得出答案预设答案：在直角坐标系中，作AOB=（图3）图3易知AOB的终边与单位圆的交点坐标为所以，sin，cos，tan设计意图：通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵练习：在例1之后进行课堂练习：（1）利用三角函数定义，求，的三个三角函数值（2）说出几个使cos 1的的值预设的师生活动：由学生逐题给出答案，并要求学生说出解答步骤，最后可以总结为“画终边，找交点坐标，算比值（对正切函数）”预设答案：（1）sin 0，cos 1，tan 0；sin1，cos0，tan不存在（2）0，2，2等设计意图：检验学生对定义的理解情况例2 如图4，设是一个任意角，

9、它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r求证：sin =，cos =，tan =师生活动：给出问题后，教师可以引导学生思考如下问题，再让学生给出证明：（1）你能根据三角函数的定义作图表示出sin ，cos 吗？（2）在你所作出的图形中，各表示什么，你能找到它们与做任意角的三角函数的关系吗？图4 预设答案：如图5，设角的终边与单位圆交于点P0 (x0，y0)分别过点P，P0作x轴的垂线PM，P0M0，垂足分别为M，M0，则|P0M0|=|y0|，|PM|=|y|，|OM0|=|x0|，|OM|=|x|，OMPOM0P0于是，即|y0|=因为y0与y同号，所以

10、y0=，即sin =同理可得cos =；tan =设计意图：通过问题引导，使学生找到OMP，OM0P0，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明追问：例2实际上给出了任意角三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的你能用严格的数学语言叙述一下这种定义吗？预设的师生活动：可以由几个学生分别给出定义的表述，在交流的基础上得出准确的定义预设答案：设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则、分别叫做角的正弦、余弦、正切设计意图：加深学生对三角函数定义的理解练习：在例2之后进行课堂练习：（3）已知点P在半径为2的圆上按顺时针方

11、向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s求2 s时点P所在的位置预设的师生活动：由学生独立完成后，让学生代表展示作业预设答案：以坐标原点为圆心O，OP所在直线为x轴正方向建立平面直角坐标系2 s时点P所在位置记为Q因为点P是在半径为2的圆上按顺时针方向作匀速圆周运动，角速度为1rad/s，所以圆心角POQ2 rad所以2 s时，点P在该坐标系中的位置为（2cos 2，2sin 2）设计意图：三角函数是刻画匀速圆周运动的数学模型，通过练习使学生从另一个角度理解三角函数的定义（三）布置作业（四）目标检测设计（1）利用三角函数定义，求的三个三角函数值（2）已知角的终边过点P(12，5)，求角的三角函数

12、值预设答案：（1）sin，cos，tan；（2）sin ，cos ，tan 设计意图：考查学生对三角函数定义的理解情况亲爱的用户：烟雨江南，画屏如展。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。1、最困难的事就是认识自己。20.10.2710.27.202021:1021:10:1110月-2021:102、自知之明是最难得的知识。二二二二年十月二十七日2020年10月27日星期二3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。21:1010.27.202021:1010.27.202021:1021:10:1110.27.202021:1010.27.20204、与肝胆人共事，无字句处读书。10.27.202010.27.202021:1021:1021:10:1121:10:115、三军可夺帅也。星期二, 十月 27, 2020十月 20星期