九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（四）

1、2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（四）1如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其中A（4，0），B（2，0），C（0，4）（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，PDAC，当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；（3）将BOC沿直线BC平移，平移后的三角形为BOC（其中点O与点O不重合），点S是坐标平面内一点，若以A，C，O，S为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有符合条件的点O的坐标2如图，已知抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y

2、轴交于点C，且OCOB（1）求点C的坐标和此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC，求BCE面积的最大值；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90后，点A的对应点A恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标3抛物线yax2+bx5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A坐标为（1，0），一次函数yx+k的图象经过点B、C（1）试求二次函数及一次函数的解析式；（2）如图1，点D（2，0）为x轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线PD交线段CB于点Q，连接PC、DC，若SCPD3SCQD，求点P的坐标；（3）如图2，点E为抛物线位

3、于直线BC下方图象上的一个动点，过点E作直线EGx轴于点G，交直线BC于点F，当EF+CF的值最大时，求点E的坐标4如图，二次函数yx2+bx+c的图象交x轴于点A（3，0），B（1，0），交y轴于点 C点P（m，0）是x轴上的一动点，PMx轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由5如图，已知抛物线yax2过点A（3，）（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l过点A，

4、M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2MAMB；（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标6如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与OAB的边分别交于M，N两点，将AMN以直线MN为对称轴翻折，得到AMN，设点P的纵坐标为m当AMN在OAB内部时，求m的取值

5、范围；是否存在点P，使SAMNSOAB，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由7如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y（xm）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上（1）当m5时，求n的值（2）当n2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y2时，自变量x的取值范围（3）作直线AC与y轴相交于点D当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围8已知二次函数yax2+2x+c（a0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC

6、的距离取得最大值时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）9在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线l：线yx+m与该抛物线交于D、E两点，如图连接CD、CE、BE，当SBCE3SCDE时，求m的值；是否存在m的值，使得原点O关于直线l的对称点P刚好落在该抛物线上？如果存在，请直接写出m的值；如果不存在，请说明理由10已知抛物线yax2+bx+c（a0）过点A（1，0），B

7、（3，0）两点，与y轴交于点C，OC3（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由参考答案1解：（1）设抛物线解析式为ya（x+4）（x2），抛物线过C（0，4），8a4，此抛物线解析式为；（2）过点P作PEy轴交AC于点E，如下图所示，A（4，0），C（0，4），AC解析式为yx4，设P（），E（m，m4），则PE，当时，PE最大，此时PD最大，P（2，4）；（3）A（4，0），C（0，4），O（a，2a），A

8、C232，CO25a2+16a+16，AO25a2+8a+16，CA2CO2即5a2+16a+1632，O1（4，8），AC2AO2即5a2+8a+1632，CO2AO2即5a2+8a+165a2+16a+16，a0，O5（0，0）（舍），综上所述，满足条件的点O坐标有O1（4，8），答：（1）此抛物线解析式为；（2）P（2，4）；（3）点O坐标有O1（4，8），2解：（1）抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），OB3，OCOB，OC3，c3，解得：，所求抛物线解析式为：yx22x+3，C（0，3）（2）如图2，连接BC，过点E作EFx轴于点F，设E（a，a

9、22a+3）（3a0），EFa22a+3，BFa+3，OFa，SBECS四边形BOCESBOCBFEF+（OC+EF）OFOBOC（a+3）（a22a+3）+（a22a+6）（a）a2a（a+）2+，当a时，SBEC最大，且最大值为（3）抛物线yx22x+3的对称轴为x1，点P在抛物线的对称轴上，设P（1，m），线段PA绕点P逆时针旋转90后，点A的对应点A1恰好也落在此抛物线上，当m0时，PAPA1，APA190，如图3，过A1作A1N对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，NPA1+MPANA1P+NPA190，NA1PNPA，在A1NP与PMA中，A1NPPMA（AAS），A1NPMm，PN

10、AM2，A1（m1，m+2），代入yx22x+3得：m+2（m1）22（m1）+3，解得：m1，m2（舍去），当m0时，要使P2AP2A2，由图可知A2点与B点重合，AP2A290，MP2MA2，P2（1，2），满足条件的点P的坐标为P（1，1）或（1，2）3解：（1）抛物线yax2+bx5的图象与y轴交于点C，C（0，5），一次函数yx+k的图象经过点B、C，k5，B（5，0），设抛物线的解析式为ya（x+1）（x5）ax24ax5a，5a5，a1，二次函数的解析式为yx24x5，一次函数的解析式为yx5（2）当点P在直线BC的上方时，如图21中，作DHBC交y轴于H，过点D作直线DT交y轴

11、于T，交BC于K，作PTBC交抛物线于P，直线PD交抛物线于QSCPD3SCQD，PD3DQ，PTDHBC，3，D（2，0），B（5，0），C（5，0），OAOB5，ODOH2，HC3，TH9，OT7，直线PT的解析式为yx+7，由，解得或，P（，）或（，），当点P在直线BC的下方时，如图22中，当点P与抛物线的顶点（2，9）重合时，PD9DQ3，PQ3DQ，SCPD3SCQD，过点P作PPBC，此时点P也满足条件，直线PP的解析式为yx11，由，解得或，P（3，8），综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（2，9）或（3，8）（3）设E（m，m24m5），则F（m，m5），EF（m

12、5）（m24m5）5mm2，CFm，EF+CFm2+6m（m3）2+9，10，m3时，EF+CF的值最大，此时E（3，8）4解：（1）把A（3，0），B（1，0）代入yx2+bx+c中，得，解得，yx2+2x3（2）设直线AC的表达式为ykx+b，把A（3，0），C（0，3）代入ykx+b得，解得，yx3，点P（m，0）是x轴上的一动点，且PMx轴M（m，m3），N（m，m2+2m3），MN（m3）（m2+2m3）m23m（m+）2+，a10，此函数有最大值又点P在线段OA上运动，且30，当m时，MN有最大值如图21中，当点M在线段AC上，MNMC，四边形MNQC是菱形时MNm23m，MCm，

13、m23mm，解得m3+或0（舍弃）MN32，CQMN32，OQ3+1，Q（0，31）如图22中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CNMNCQ2，可得Q（0，1）如图23中，当点M在CA延长线上时，MNCM，四边形MNQC是菱形时，则有，m2+3mm，解得m3或0（舍弃），MNCQ3+2，OQCQOC31，Q（0，31）综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，31）或（0，1）或（0，31）5解：（1）把点A（3，）代入yax2，得到9a，a，抛物线的解析式为yx2（2）设直线l的解析式为ykx+b，则有，解得，直线l的解析式为yx+，令x0，得到y，C（0，），由，解得或，B

14、（1，），如图1中，过点A作AA1x轴于A1，过B作BB1x轴于B1，则BB1OCAA1，即MC2MAMB（3）如图2中，设P（t，t2）OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，PDOC，PDOC，D（t，t+），|t2（t+）|，整理得：t2+2t60或t2+2t0，解得t1或1+或2或0（舍弃），P（1，2+）或（1+，2）或（2，1）6解：（1）抛物线yax2+bx+c的顶点是A（1，3），抛物线的解析式为ya（x1）2+3，OA绕点O顺时针旋转90后得到OB，B（3，1），把B（3，1）代入ya（x1）2+3可得a1，抛物线的解析式为y（x1）2+3，即yx2+2x+2，

15、（2）如图1中，连接OA，ABB（3，1），直线OB的解析式为yx，A（1，3），C（1，），P（1，m），APPA，A（1，2m3），由题意32m3，3m当点P在x轴上方时，直线OA的解析式为y3x，直线AB的解析式为y2x+5，P（1，m），M（，m），N（，m），MN，SAMNSOAB，（m2m+3）|2m3+|3，整理得m26m+9|6m8|解得m6+（舍去）或6，当点P在x轴下方时，同法可得（3m）（+3m）（2m3）3，整理得：3m212m10，解得m或（舍去），满足条件的m的值为6或7解：（1）当m5时，y（x5）2+4，当x1时，n42+44（2）当n2时，将C（1，2）代入函

16、数表达式y（xm）2+4，得2（1m）2+4，解得m3或1（舍去），此时抛物线的对称轴x3，根据抛物线的对称性可知，当y2时，x1或5，x的取值范围为1x5（3）点A与点C不重合，m1，抛物线的顶点A的坐标是（m，4），抛物线的顶点在直线y4上，当x0时，ym2+4，点B的坐标为（0，m2+4），抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置前，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，当点B与O重合时，m2+40，解得m2或2（不合题意舍去），当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，点B（0，4），m2+44，解得m0，当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，B

17、点在线段OD上时，m的取值范围是：0m1或1m28解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入yax2+2x+c则有，解得，二次函数的解析式为yx2+2x3，令y0，得到x2+2x30，解得x3或1，A（3，0）（2）如图1中连接AD，CD点D到直线AC的距离取得最大，此时DAC的面积最大，设直线AC解析式为：ykx+b，A（3，0），C（0，3），解得，直线AC的解析式为yx3，过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x3），则G（x，x3），点D在第三象限，DGx3（x2+2x3）x3x22x+3x23x，SACDDGOA（x23x）3x2x（x+）2+，当x时，S最大，

18、点D（，），点D到直线AC的距离取得最大时，D（，）（3如图2中，当OB是平行四边形的边时，OBMN1，OBMN，可得N（2，3）或N（0，3），当OB为对角线时，点N的横坐标为2，x2时，y4+435，N（2，5）综上所述，满足条件的点N的坐标为（2，3）或（0，3）或（2，5）9解：（1）把A（1，0）、B（3，0）两点代入yx2+bx+c可得：，解得：，抛物线的解析式为yx2+x+（2）如图1中，对于yx2+x+，令x0，可得y，C（0，），B（3，0），OC，OB3，tanCBO，CBO30，直线l：yx+m与x轴交于N（m，0）与y轴交于M（0，m），tanMNO，MNO30CBO，

19、lBC，SBCE3SCDE，BC3DE，直线l应该在BC的上方，在BC上取一点F，使得BC3BF，BFDE，四边形BEDF是平行四边形，C（0，），B（3，0），BC3BF，F（2，），设D（n，n+m），则E（n+1，（n+1）+m），将它们代入抛物线的解析式得到：，解得，m的值为如图2中，过点O作OMBC交抛物线于M或M则直线OM的解析式为yx，由，解得或，M（，），M（，），由题意直线l经过OM或OM的中点，+m或+m，解得m10解：（1）函数的表达式为：ya（x1）（x3）a（x24x+3），即：3a3，解得：a1，故抛物线的表达式为：yx24x+3，则顶点D（2，1）（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ymx+n并解得：直线BC的表达式为：yx+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x24x+3），则点H（x，x+3），则SPBCPHOB（x+3x2+4x3）（x2+3x），0，故SPBC有最大值，此时x，故点P（，）（3）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30的直线CH，作QHCH，垂足为H，则HQCQ，AQ+QC最小值AQ+HQAH，直线HC所在表达式中的k