高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程达标训练.doc

1、四 柱坐标系与球坐标系简介更上一层楼基础巩固1如图1-3-5，极坐标方程=asin(a0)所表示的曲线的图形是( )图1-3-5思路解析：如果没有记住它的图形，不妨化其为直角坐标方程:=asin，2=asin,x2+y2=ay,x2+(y-)2=,图形显然是以(0,)为圆心，为半径的圆.选C.答案:C2极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是( )A.2 B. C.1 D.思路解析：本题有两种解法.第一种解法是直接在极坐标系中,根据给定的方程判断出两圆心的极坐标分别是(,0)和(,),这两点间的距离是.第二种解法是将方程化为直角坐标方程,因为不恒为0,可以用分别乘方程两边,得2=c

2、os和2=sin,极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2=x和x2+y2=y,它们的圆心分别是(,0),(0,),圆心距是.答案:D3在极坐标系中，点P(2,)到直线sin(-)=1的距离等于( )A.1 B.2 C.3 D.1+思路解析：可化为直角坐标，利用点到直线的距离公式求解.xP=2cos=，yP=2sin=-1,P点的直角坐标为(,-1).又直线sin(-)=1化为直角坐标方程为y-x-1=0,点P到直线的距离d=|-+(-1)-1|=1+.答案：D4下列方程各表示什么曲线?(1)y=a,答_;(2)=a,答_;(3)=a,答_.思路解析：方程表示什么样的曲线,主要看清楚方程的形式,

3、找到方程中的变量之间的关系.首先得熟悉直角坐标系下的特殊曲线的方程.答案：(1)在直角坐标系下,y=a表示与x轴平行的直线(2)在极坐标系下,=a表示圆心在极点,半径为a的圆(3)在极坐标系下,=a表示过极点,倾斜角为a的射线5画出极坐标方程(-)+(-)sin=0的图形.思路解析：若所给曲线的极坐标方程比较复杂时,可将其方程分解因式,分解成几个常见曲线方程连乘积的形式,然后分别作出图形,放在一起即为所求方程的曲线.答案：如图,将原方程分解因式得(-)(-sin)=0,-=0,即=为一条射线,或-sin=0为一个圆.6证明过A(1,1)和B(2,2)两点的直线l的极坐标方程是.思路分析：虽然所

4、证明的方程看起来比较复杂,但是,只要理清求曲线方程的步骤,问题是不难解决的.证明：设M(,)为直线AB上一点,SAOB=12sin(2-1),SAOM=1sin(-1),SBOM=2sin(2-),又SAOB =SAOM+SBOM,12sin(2-1)=1sin(-1)+2sin(2-),即.7在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2+y2=1上一个动点，且AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹的极坐标方程.思路分析：先建系,再由面积求.解：以圆心O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(,),P(1,2).SOAQ+SOQP=SOAP.3sin+sin=31sin2.整理得=

5、cos.8从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M，P为OM上一点，已知|OP|OM|=1，求P点的极坐标方程.思路分析：先把直线化为极坐标方程,由于P点的运动与M点有关,可以利用转移法来解决问题.解：以O为极点,x轴正方向为极轴建立坐标系后,直线的方程化为2cos+4sin-1=0.设M(0,0),P(,),则20cos+40sin-1=0.又.代入cos+sin-1=0,=2cos+4sin,这是一个圆(0).综合应用9点A、B在椭圆=1上，O为原点，OAOB.(1)求证：为定值；(2)求AOB面积的最大值和最小值.思路解析：此题看起来与极坐标方程没有什么关系,但是当把椭圆方程化为极坐标方程后,就可以发现OA与OB长度的关系了；在AOB中利用正弦定理的面积公式也容易找到其面积的最大值和最小值.(1)证明：椭圆半长轴长为a,半短轴长为b,以O为极点,长轴一端与点O的射线为极轴,建立坐标系,将x=cos,y=sin代入椭圆方程,得b22cos2+a22sin2=a2b2.2=即2=.设OA的极角为,则OB的极角为+.为定值.(2)解：设A的极坐标为(1,),则B(2,+).点A、B满足方程12=,22=.OAOB,SOAB=12.而1222=,这里1