拉氏变换在电路分析中的应用

1、第第十十 三三章章 拉拉氏氏变变换换在在电电路路分分析析中中的的应应用用 重点：重点： 1元件的复频域模型元件的复频域模型 2拉氏变换及其在电路分析中的意义拉氏变换及其在电路分析中的意义 3应用拉氏变换分析线性电路应用拉氏变换分析线性电路 在第七章与第八章中，我们看到含有线性元件（RLC 等）的电路的时域方程为线性常系数微分方程， 而这类电路的分析最终变成了一系列线性常系数微分方程的求解问题。当微分方程的阶数大于 2 或者输 入函数比较复杂时，方程的求解就变得比较复杂起来了。 拉氏变换正是简化这类计算得有效方法之一。通过拉氏变换，用电压、电流对应的复频域象函数代 替相应的时间函数，即可将原线性

2、微分方程变换为相应的线性代数方程，从而大大简化电路方程的求解。 13-1 有有关关知知识识的的复复习习 13.1.1 拉氏变换的定义拉氏变换的定义 一、拉氏变换 定义在区间内的函数，其拉氏变换的定义为)0，)(tf)(sF 0 0 )()(dtetfsF st 其中为复频率，为的象函数，为的原函数。sjs)(sF)(tf)(tf)(sF 二、拉氏反变换 jc st jc dsesF j tf 0 )( 2 1 )( 三、表示 L ，L )()(sFtf)()( 1 tfsF 注意：我们用大写的字母表示频域量，如、等，用小写字母表示时域量，如、。)(sU)(sI)(tu)(ti 13.1.2 拉

3、氏变换的基本性质拉氏变换的基本性质 一、唯一性：原函数与象函数一一对应。)(tf)(sF 二、线性性：，则：)()( 11 sFtf)()( 22 sFtf)()()()( 22112211 sFAsFAtfAtfA 三、时域导数特性：L )0()()( fssFtf 四、时域积分特性：L ssFdf t / )()( 0 五、卷积定理：L )()()()( 2121 sFsFtftf 13.1.3 常用时间函数及其象函数常用时间函数及其象函数 见书中 P294。一般在电路中不要求多余的计算技巧，只需要可以将最后结果化成表中所示的形 式，然后通过查表得到结果。AtA )( s A tA )(

4、s A Ae t 13.1.4 线性动态电路方程的拉氏变换解法线性动态电路方程的拉氏变换解法 以一个典型的二阶电路为例： ，800R200L1000C)()(ttusVuC1)0( mAi2)0( R uC(t) C + + - + iL(t) us (t) _ _ L i 该电路的电路方程为：)(554 2 2 tu dt du dt ud C CC 其中且：，VuC1)0( Vi C uC2)0( 1 )0( 两边同时拉氏变换：ssUussUususUs CCCCCC /5)(5)0()( 4)0( )0()( 2 6/5)()54( 2 sssUss C )54( 56 )54( 6/5

5、 )( 2 2 2 sss ss ss ss sUC 13.1.5 拉氏反变换的计算拉氏反变换的计算 一般不再使用原始定义式，而采用部分分式展开，然后查表的方法。 电路响应往往为两个实系数的 s 的多项式之比。即，而在电路分析中，该式一般为真分 )( )( )( sD sN sF 式。 （如果计算式不为真分式，可以将其化成多项式与一个真分式的和） 下面我们来看一看真分式的部分分式展开。 一、当有 n 个不同的实根，时0)(sD 1 p 1 p n p n n ps k ps k ps k sD sN sF 2 2 1 1 )( )( )( 其中： )( )( )(lim sD sN psk i

6、 ps i i 例题： 已知： 65 54 )( 2 ss s sF 求：)(tf 32)3)(2( 54 65 54 )( 21 2 s k s k ss s ss s sF 而： 3 )3( 54 )3)(2( 54 )2( 22 1 ss s s ss s sk 7 )2( 54 )3)(2( 54 )3( 33 2 ss s s ss s sk 因此： 3 7 2 3 )( ss sF 所以： tt eetf 32 73)( 二、当有 m 个重实根时0)(sD n i i i m mm ps k ps k ps k ps k sD sN sF 2 1 11 2 1 11 1 1 )()

7、()( )( )( 其中： 1 )( )( )( 111 ps m sD sN psk 1 )( )( )( 112 ps m sD sN ps ds d k 1 )( )( )( 2 1 1 2 2 13 ps m sD sN ps ds d k 1 )( )( )( )!1( 1 1 1 1 1 ps m m m m sD sN ps ds d m k 例题： 已知： 12167 54 )( 23 sss s sF 求：)(tf 解： 3)2(2)3()2( 54 12167 54 )( 2 2 1112 223 s k s k s k ss s sss s sF 那么：3 )3( 54

8、)3()2( 54 )2( 22 2 2 11 ss s s ss s sk 7 )3( 7 )3( )54(1)3(4 )3()2( 54 )2( 2 2 2 2 2 2 2 12 s ss s s ss ss s s ds d k 7 )2( 54 )3()2( 54 )3( 33 2 2 ss s s ss s sk 因此： 3 7 )2( 3 2 7 )( 2 sss sF 所以： ttt eteetf 322 737)( 三、当有两个共轭的复根，时0)(sDjp1jp2 )cos(|2 )()( )( 11 21 tek js k js k sF t 其中：， js js sD SN

9、 sFjsk )( )( )()( 1 js js sD SN sFjsk )( )( )()( 2 而：， js js sD SN sFjsk )( )( )()( 111 k 例题：P297 再以 13.1.4 中的例题为例： ，即：， ) 12() 12()54( 56 )( 321 2 2 js k js k s k sss ss sUC 0sjjs12 ，1| )( 01 sC ssUk * 3 12 2 2 12 2 1 583 56 )( )( kj ss ss sD sN k jsjs Vtetetu tt C sin21)901cos(121)( 22 13-2 应应用用拉拉

10、氏氏变变换换分分析析线线性性电电路路 13.2.1 元件的复频域模型元件的复频域模型运算电路运算电路 各种基本元件的 VCR，即元件的电压象函数与电流象函数之间的关系。 一、电阻 因为：，两边同时取拉氏变换：L = L 。这样)()(tiRtu RR )(tuR)(tiR R )()(sIRsU RR 即： iR(t) R IR(s) R + uR(t) - + UR(s) - 二、电容 因为： t CCC dtti C utu 0 )( 1 )0()( 两边同时取拉氏变换：L = L )(tuC t CC dtti C u 0 )( 1 )0( 这样： s u sI sC sU C CC )

11、0( )( 1 )( 即： iC(t) C IC(s) 1/sC + uC(t) - + sC sIC)( - + s u)0( - 根据源变换的原则： + UC(s) - iC(t) C IC(s) 1/sC + - uC(t) CuC(0-) 当电容的初始储能为零时： iC(t) C IC(s) sC 1 + uC(t) - + UC(s) - 三、电感 因为： dt tdi Ltu L L )( )( 两边同时取拉氏变换：L = L )(tuL )( dt tdi L L 这样 )0()()( LLL LisIsLsU 即： iL(t) L IL(s) sL + uL(t) - + sL

12、IL(s) - + LiL(0-) - 根据源变换的原则： + UL(s) - iL(t) L IL(s) sL + - uL(t) iL(0-)/s 当电容的初始储能为零时： iL(t) L IL(s) sL + uL(t) - + sLIL(s) - 四、耦合电感 i1 M i2 + + L1 L2 u1 M u2 _ _ I1(s) I2(s) + + U1(s) U2(s) _ _ L1i1(0-) L2i2(0-) + + _ _ Mi2(0-) Mi1(0-) _ + + _ dt di M dt di Lu 21 11 dt di M dt di Lu 12 22 两边同时取拉氏

13、变换有： )0()()0()()( 2211111 MissMIiLsIsLsU )0()()0()()( 1122222 MissMIiLsIsLsU 这样其运算等效电路为图所示。 五、独立电源 直接将独立源的函数进行拉氏变换。 常用稳恒电源（电压源、电流源）：A s A 六、受控源 直接加上系数即可。 13.2.2 线性电路的分析线性电路的分析 一、分析步骤 1根据换路前一瞬间的工作状态，计算及；)0( C u)0( L i 2将各个元件转换为复频域模型，绘出电路的运算电路（复频域模型） ； 3根据一般的电路分析方法如节点法、回路法、戴维南-诺顿等效法等等对原电路的运算电路进 行分析，计算

14、出响应的象函数 4借助拉时变换表及部分分式展开，对响应的象函数进行反变换，得出时域响应。 二、例题 1已知： 0.1H 1 + i(t) US=0.1e -5t _ 2 0.5F 0.1s 1 + I(s) _ 2 5 1 . 0 s s 2 求：电路的零状态响应 解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路） 2 321 2 2 )5()5()6()5)(6( 1 )6)(5)(5( 1 )3011)(5( 1 2 2 2 2 2 2 2 1 . 01 1 5 1 . 0 )( s k s k s k sssss sss s s s s s s sI 其中：1 )5( 1 6 2 1 s s k

15、1 )6( 1 6 1 5 2 5 2 s s ssds d k 1 )6( 1 5 3 s s k 所以： 2 )5( 1 )5( 1 )6( 1 )( sss sI )( )()()( 556 Atteeeti ttt 2已知： 0.05 + + iC2(t) 10V 1 _ uR(t) 0.05 - 20/s IC2(s) + + 10/s 1 _ UR(s) 20/s - 求：，)(tuR)( 2 tiC 解：，0)0( 1 C u0)0( 2 C u 因此可以绘出原电路对应的复频域模型 所以 10 5 1 20 1 20 20 1 20 1 20 10 )( s s s s s s

16、s sUR 10 5 . 2 25 . 0 40420 1 1 20 1 20 1 20 10 )( 2 ss s s s s s s sIC 所以：，Vtetu t R )(5)( 10 Atetti t C )(5 . 2)(25 . 0 )( 10 2 3已知：，VtuC3)(AtiL2)( iL(t) + (t) 0.02 0.5 1/6 uC(t) _ 1/s IL(s) + sL 0.5 - 1/6 + UC(s) 0.06 2/s + - _ 求：电路的零状态响应 解：绘出电路对应的复频域模型（运算电路） 。 根据节点电压法： s s s s s s sUC 02 . 0 06 . 0 2 2 1 )5 . 0 02 . 0 1 6)( 22222 8)6( 16 8)6( )6(2 1001