dsp课下报告20161215重复信号的dft特点

1、 提高 DFT 分辨率的方法比较20144363蒋承知电子信息工程 1401 班1 问题背景我们知道 DFT 本身并不区分周期信号和非周期信号，它只是对时域采样信号 的集合进行运算，从而得到信号的频率分量。但 DFT 有助于揭示信号是否具有周 期性，即非周期信号的 DFT 幅度谱包络呈现大小变化以及间隔变化的许多凸起； 而周期信号表现在幅度谱中固定间隔上有确定的窄的尖峰，对于周期信号，这些 尖峰位于谐波频率上。2 问题提出基于第十一章课后题 11.6 的三种信号的 DFT 幅度频谱的特点，我们来分析 其中的原因。3 问题推导x1n = 4由题 11.6 的三种数字信号: x2n = 4x3n

2、=4333222114321143214321我们能很明显的看到 x2 是 x1 的两次重复， x3 是 x1 的三次重复，它们的 DFT 幅度频谱也极具特点，如下：|X1k| 我们看到，三者的 DFT 频谱存在着明显的联系：首先， x1 、 x2 、 x3 的 DFT 频谱都只在四个点上有值，在采样频率 f s 一定的 fsfsfs情况下，三者频谱的分辨率分别为、 、 。对于 x1 ，频谱值只存在 k=0,1,2,3；4812fs对于 x ，频谱值只存在 k=0,2,4,6；对于 x ，频谱值只存在 k=0,3,6,9；由 f = k，23N我们易得出结论：虽然三个频谱图非零值对应的标号 k

3、 值不同，但对应 k 值所表示的模拟频率分量是相同的；其次，剩下的点的值均为零值，且 X 2 (k) 呈现出“一个零值，一个非零值”， X 3(k) 呈现出“两个零值，一个非零值”的规律性那么为什么会呈现这种规律性的现象呢？一、对于第一个现象，很好理解， x2 、x3 仅是 x1 的重复，虽然信号的长度增 加了，但并没有引入新的信号变化，即没有引入新的频率分量，所以 DFT 幅度谱 中的非零点数也不会有变化。二、对于第二个现象，就不是那么的直观，我们从 DFT 的定义式入手： x1 的 DFT 表达式为：- j 2pnk43X1(K ) = x1n en=0 x2 的 DFT 表达式为：7-

4、j 2pnkX2 (K ) = x2 ne8n=0- j 2p0 k- j 2p1k- j 2p2 k- j 2p3k= 4 * e+ 3*e+ 2 * e+ 1* e8888- j 2p4 k- j 2p5k- j 2p6 k- j 2p7 k+ 4 * e+ 3*e+ 2 * e+ 1* e8888我们从表达式中能看到幅值对应相等的项都相差e- jpk ，即是说它们的相位相差 k，则当 k 为奇数时，对应项相位相反，相互抵消，和为零；而当 k 为偶数时，对应项同向相加，得到 DFT 值。 由于这样的原因，使得 x2 的 DFT 幅度谱呈现出“一个零值，一个非零值” 的规律性现象。 x3 的

5、 DFT 表达式为：- j 2pn k1211X3(K ) = x3n en=0- j2p 0 k12- j2p 1 k12- j2p 2 k12- j 2p 3 k12= 4 * e+ 3*e+ 2 * e+ 1* e- j2p 4 k12- j 2p 5 k12- j2p 6 k12- j2p 7 k12+ 4 * e+ 3*e+ 2 * e+ 1* e- j2p 8 k12- j2p 9 k12- j 2p10k12- j 2p11k12+ 4 * e+ 3*e+ 2 * e+ 1* e- j 2p k同样，我们从表达式能看出幅值对应相等的项都相差e，即是说只3有当 k 为 3 的倍数时，对应项才会相位相同，同相相加得到非零值；而其他 的情况（如，k=1 或 k=2）的情况时，对应项平分 2，相加后相互抵消得 到零值。这也就解释了 x3 的 DFT 幅度谱呈现出“一个零值，一个非零值”的规律 性现象。 4 问题总结上述分析解释了重复信号的 DFT 幅度谱的规律性特点的原因，对于第二个特 点我们很容易得到拓展，若有 x4n = 432143214321