有限元基本理论及工程应用：第六章 非协调单元

1、11第六章 非协调单元第二章至第五章的讨论以最小势能原理为基础，要求在单元内假设的位移场（试探函数）满足协调条件（在不同的单元内可以假设不同的的位移场）。满足协调条件的单元，它们的收敛性等问题已在第四章中做了研究。等参数单元就是目前处理二阶问题时应用最广的一种协调单元。此外，还有一些单元，它们不满足协调条件，但仍可以收敛到真实解，这类单元称为非协调单元，可以看成是对等参数单元的一种改进，目的在于：在计算量增加不多的情况下，使单元的实际精度有所改善。对于四阶问题（例如板、壳），协调条件要求单元之间位移和位移的一阶导数（转角）连续。在第七章中将会看到，实现上述协调条件不是件容易的事，而且为此要增加

2、相当大的计算量，因而人们在自编程序中常常对非协调单元感兴趣。本章只讨论二阶问题，主要包括：非协调元的构造和分析方法，非协调元的理论基础（显然不能再利用最小势能原理），收敛判别方法。这些结论对四阶问题同样适用。从关于非协调元的讨论中，读者可以看到，有限元方法有了坚实的数学基础以后，在构造方法时思路可以开阔很多。6-1Wilson 非协调元图（-1,1）（1, 1）（1,-1）（-1,-1）Wilson 非协调元可以看成是由等参数单元演变来的单元，现以二维情况为例。、 母体单元形函数母体单元：边长为的正方形自然坐标：、取四个角点为节点，在单元内的序号为4。形函数、 实际单元e可看成母体单元经变换F

3、得到利用上面定义的形函数，坐标的变换可写成y,vx,u0e4321(x4, y4)(x3, y3)(x2, y2)(x1, y1)图其中（xi, yi）为实际单元中节点的坐标。至此，还看不出Wilson非协调单元与上一章介绍的等参数单元之间的差别。、 单元内假设位移场(6-1-1)同四节点等参元相比，单元内假定的位移场多了四项：它们有如下特性：（） 不影响节点处的位移值，故称l为非节点自由度或单元的“内自由度”。在计算单元变形能和单元体积力做功时计入这些位移；但在计算边界外力做功（为了将边界力化为等效节点力）时不计这些位移。即在计算边界外力做功时只计Niui、Nivi各项。y,vx,u0e43

4、21图3（,-1）u2v2v1u1（） 补充这些项后，单元内的位移场是、的完全二次多项式。当实际单元e为矩形时，单元内位移场将是x、y的完全二次多项式。（） 协调性分析沿单元的一边，例如节点、所在的边，。u,v是的二次函数，完全被u1, v1,1, 和u2, v2,3所决定。但由于不同单元的14彼此独立，故不能保证单元之间位移的协调性。对于不满足协调条件的单元，显然不能再用最小势能原理。尽管如此，人们仍然照搬协调单元的一些具体做法（这样，对协调元编制的程序基本上可以照搬）。至于能否保证收敛到真实解等问题，留待下面几节加以讨论。现假如我们研究某个具体的平面应力问题。节点总数为n，单元总数为m。则

5、总的自由度可区分为：节点自由度单元内自由度系统的总势能定义为(6-1-2)其中号单元的变形能；号单元体积力做功；为各边界外力在位移上做的功之和。我们将把由(6-1-3)求得的ui, vi, l(j)以及由此求得的应力做为非协调单元的的有限元解。在（6-1-3）中共有2n+4m个未知量。比四节点等参元多了m个未知量。但是1(j)、2(j)、3(j)、4(j)仅属于第j号单元，故有(6-1-4)这样，就可以在单元分析时先消去l(j)（这一步骤称为静凝聚），只剩下ui, vi进入总体平衡方程。、单元分析静凝聚在单元分析中，节点仍取它在单元内的序号，并约定：单元的外自由度为：单元的内自由度为：（6-1

6、-1）所定义的单元位移场可写成(6-1-5)（） 几何矩阵应变其中B为几何矩阵。(6-1-6)（） 单元刚度矩阵和体积力载荷向量单元刚度矩阵，该矩阵为一 阶的方阵(6-1-7)单元变形能由于k为对称阵，必有(6-1-8)以及(6-1-9)体积力 做功(6-1-10)其中体积力载荷向量(6-1-11)（） 静凝聚略去（6-1-4）中的单元编号j，以（6-1-9），（6-1-10）代入，（变形能对内部自由度取偏导）并注意到则有(6-1-12)解得将（6-1-12）代入（6-1-9）和（6-1-10）有(6-1-13)（6-1-13）右端第三项与u无关，不影响Ph取驻值。第一项为u的二次型，k为凝聚

7、掉内自由度后的单元刚度矩阵。r为凝聚内自由度后的载荷向量。它们的计算式为(6-1-14)(6-1-15)为了避免对一个 的方阵k求逆，静凝聚可以分四次进行，每次只凝聚一个内自由度。（）边界外载荷 的等效节点力(6-1-16)积分沿单元受到载荷的边界SP进行。其中 为作用在单位面积上的边界载荷。、组装及求解总体方程由k组装总体刚度矩阵k。由r、rs组装总体载荷向量F。在上述组装过程中可以引入强制位移约束条件。求解总体平衡方程可得到节点位移ui、vi(i=1n)具体作法与协调单元作法相同。最后强调一点：静凝聚与非协调元是两个不同的概念。静凝聚的目的是消去内自由度，以减少总体平衡方程的规模。不论是协

8、调元还是非协调元，只要存在内自由度，都可以在单元分析过程中将内自由度凝聚掉；不进行静凝聚，除了增加解总体方程的工作量外不会有其它任何（好的或不好的）影响。静凝聚方法也广泛地用于组合单元和子结构，是一项很有价值的技术。至此，我们对非协调元的印象是：（i）分单元假设的位移场（即试探函数）不完全满足协调条件；（ii）形式上套用了协调元的具体作法。至于能否收敛到真实解，到目前为止并不清楚。实际情况是：有时能保证收敛性，有时则不能。为了明确回答这些问题，必须涉及有关非协调元的数学理论。6-2非协调元的基本理论为了简单，以泊松方程为例，基本未知量只有一个，变形能的表达式也比较简单。、 有限元空间Wilso

9、n 非协调元的基函数中与四节点等参元的基函数相同者记作i (i=1n)。与单元内自由度有关的形函数记作l(l=12m)。其中i满足协调条件。l不满足协调条件，穿过单元边界时l有有限跳跃量。即为一函数。试探函数(6-2-1)在穿过单元边界时也可能有有限跳跃量。故i、l所张成的有限元空间h仅是L2的一个子空间（函数自身平方可积）。不是H1（协调单元的有限元空间）的子空间（一阶导数平方可积）。基函数l，j-1、l,j仅在第j号单元内的非零，且(6-2-2)对一般的非协调元来说，它的基函数或者一部分不满足协调条件。或者全部不满足协调条件。这些基函数张成的有限元空间Sh均不是容许空间（二阶问题的容许空间

10、为H1）的子空间。、 内积和模泊松方程(6-2-3)在整个求解域内其变形能为(6-2-4)由于当Sh不是H1()的子空间时，试探函数u在穿过单元边界时为函数。积分（6-2-4）在整个求解域内积分不存在。但是，在单元e内积分存在。根据上述事实，我们定义如下：内积：当u、vSh时，u、v的内积定义为（6-2-5）“变形能”：（6-2-6）(6-2-7)能量模：、 有限元解若在（6-1-2）中以表示变形能。以(f, u)表示体积力的功，以（p, u）表示边界外力的功，则有(6-2-8)对于Wilson非协调元，我们曾约定：计算边界力做功时，位移中不包括单元内自由度的位移成份，即不包括基函数j的分量。

11、当所有边界条件均为位移边界条件时，（p, u）项不出现。(6-2-9)Sh中使 取驻值的元素即为非协调元的有限元解uh。或者换个提法：找一个元素uhSh，使得对任何uSh都有(6-2-10)由于u为i、l的线性组合，非协调元的解还可以定义为：找一个元素uhSh，使得（6-2-11）从上面的一系列定义中可以看到：（i）巧妙地避开了试探函数不满足协调条件所带来的困难。（ii）不满足协调条件的位移场（试探函数）在工程实际中是不存在的（现实中位称场总是协调的），但在进行理论讨论时却可以不受这种限制，因为最后要用的只是节点处的函数值。而节点处的位移值总是连续的。（iii）对于Wilson非协调元，在计算

12、边界力做功时，有意识地扣除了l的位移分量。后面讨论收敛性时将会看到这样做的用意，但从（6-2-11）的第二组方程已能初步看到它的效果（边界力p在这组方程中不出现）。、 分片检验（考查单元能否描述常应变状态）一个非协调元的有限元解能否收敛到真实解，就看所使用的单元能否通过“分片检验”。对Wilson非协调元而言，只有单元形状为矩形（或平行四边形）时才能通过分片检验。我们先建立“片”的概念。一个“片”由若干被检验的单元组成，但至少要有一个节点被组成“片”的单元所包围。进行分片检验的基本步骤是：选择一个片；(6-2-12)在这个片上施加适当的载荷和边界条件，使得片内的真实解为常应变状态。对二阶问题，

13、常应变状态的真实解u可以为x、y的任何完全一次多项式若有限元解uh与真实解u完全相同，则认为被检验的单元通过了分片检验。下面以矩形Wilson非协调元为例加以说明。(图6-4)15131411121016图6-4设我们所研究的片由九个矩形Wilson非协调单元组成。总节点个数为16。单元个数m=9在片的边界上施加适当的边界条件，使片内的真实解为（6-2-12）所示。由于u为真实解，在各单元内应有(6-2-13)显然，这时f只能为零。不过我们只打算利用（6-2-13），而不打算直接利用f为零的结论。为了证明有限元解uh与真实解u一致，只需验证（6-2-12）满足（6-2-11）即可。进一步可以发

14、现，对协调的基函数i无需进行检验（协调单元能精确地再现常应变状态在第四章已作了证明。我们仅需对基函数l (l=118) 进行检验。利用（6-2-13）则只需验证(6-2-14)其中j为单元ej的边界，n为边界的外法线方向。如果注意到仅在j号单元内l，j-1、l,j不恒为零，则（6-2-14）可等价地化为(6-2-15)为了证明（6-2-15）成立，现取出j号单元加以分析y,vx,u0DCBA图5DCBA1n2n3n4n1-1j注意到：再设：沿AB：=1，沿CD：=1，沿BC：=1，沿DA：=1。则(6-2-16)注意到对矩形单元（或平行四边形单元），n1与n3方向相反，AB与CD长度相等，（6

15、-2-16）恒为零。同样可以证明这样就证明了当单元为矩形（更一般地说是平行四边形）情况下Wilson非协调元能够通过分片检验。（当外法线方向非反向、或对边不等时，）还可以用数值方法进行分片检验。若在所研究的片上施加图6-6中所示的三种典型的边界条件。则可将求得的有限元解与真实解在数值上进行比较，看它们是否一致。pq图6-6ejkei图6-7、 收敛性只要单元通过了分片检验。在广义解u的可微性不是很差的情况下（二阶问题要求uH2()），可以证明在单元无限细分的过程中有u-uhh0。证明从略。6-3一种非协调三角单元、 单元和位移场单元形状为一般三角形，取各边中点i、j、k为节点，单元内的位移场（

16、试探函数）为x、y的完全一次多项式n1n2图6-8沿单元e的一边，例如节点i所在的边，u按线性变化，它的平均值取决于ui，但变化的斜率却还依赖uj和uk。故在相邻的单元e、e之间不满足协调条件。、 分片检验仍以泊松方程为例。取六个三角形单元组成的一个片（图6-8）。在片的边界上施加适当的u或 的边界条件，使片内的真实解为：现在验证这样的解满足（6-2-10）。利用（6-2-13）可将要验证的等式化为利用分部积分，则可等价地化为(6-3-1)其中在片的边界的一部分/上施加了u的边界条件。在另一部分/上施加了的边界条件。（6-3-1）左端第一个积分的j为单元j的边界，现把这些边界分为三类与重合的部

17、分上，由于强制边界条件u=0与/重合的部分。沿这部分边界的积分将与（6-3-1）左边第二个沿/的积分抵消。不与重合的部分，将成为片内单元之间的分界线。对任何一段这类边界积分将进行两次。例如，对AB段来说，积分为（6-3-2）由于（i）n1和n2的指向相反（ii）u是s的一次函数。尽管在边界两侧不协调，但沿边界平均值却相等，这是由于我们恰好在边界中点上配置了一个节点。故（6-3-2）恒为零（6-3-1）得证。、 两点说明本节介绍的非协调三角元的应用不及协调的常应变三角元广泛，每个非协调三角元，平均占有个节点。而每个协调的常应变三角元，大约平均占有 个节点。在单元个数相同的情况下，前者有限元空间的容量约为后者的三倍。可以用来处理“不可压缩”这样的问题。我们已经讨论了两种非协调单元的分片检验问题。从中可以看到这样一个有价值的现象：当非协调因素沿单元边界按奇次变化时沿边界两侧的积分往往可以自动相互抵消。可以较容易地