数值计算方法实验报告

1、 本科实验报告课程名称： 计算机数值方法 实验项目： 计算机数值方法实验 实验地点： 506 专业班级： 学号： 学生姓名： 指导教师： 2012 年 6 月 20 日太原理工大学学生实验报告学院名称计算机科学与技术专业班级 学号 学生姓名 实验日期2012.06.05成绩课程名称数值计算方法实验题目实验一 方程求解一、实验目的和要求熟悉使用、迭代法、牛顿法、割线法等方法对给定的方程进行根的求解。选择上述方法中的两种方法求方程：二分法f(x)=x3+4x2-10=0在1,2内的一个实根，且要求满足精度|x*-xn|0.510-5二、主要设备 PC，Windows操作系统，VC+6.0编程平台；

2、三、实验内容和原理 函数f(x)在区间（x，y）上连续，先在区间（x，y）确定a与b，若f(a)，f(b)异号，说明在区间(a，b)内存在零点，然后求f(a+b)/2。假设F(a)0,ab， 如果f(a+b)/2=0，该点即为零点； 如果f(a+b)/20，则区间(a,(a+b)/2)内存在零点，(a+b)/2b；返回重新循环，不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在区间收缩一半的方法，使区间内的两个端点逐步逼近函数零点，最终求得零点近似值。四、操作方法与实验步骤 1. 二分法：#include#include#includeint main() double a=1.0, b=2.0; d

3、ouble x,s; printf( AnttBnttF(Xn)n); while(1) x=(a+b)/2; s=pow(x,3)+4*x*x-10; if (-0. s & s 0.) break; else if(s 0) b=x; printf(%ft%ft%fn,a,b,s); printf(X的值为：%fn,x); printf(误差：t%fn,s); return 0;2. 割线法：#includestdio.h#includemath.hint main() float c,a=1.0,b=2.0; printf(每次得到的X的近似值：n); while(1) c=b-(b*b

4、*b+4*b*b-10)*(b-a)/(b*b*b+4*b*b-(a*a*a+4*a*a); if(fabs(b-c)0.5*0.00001)break; b=c; printf(%fn,b); printf(X的值为：%fn,c); 五、实验结果与分析 二分法 割线法 分析： 由程序知，使用二分法和割线法均能计算出方程的根，但利用割线法要比二分法计算的次数少，并且能够较早的达到精度要求。相比之下，割线法程序代码量较少，精简明了。六、讨论、心得 本次数值计算方法程序设计实验从习题练习中跳脱出来，直接面对实用性较强的程序代码编写。效果很好，不仅加深对二分法、割线法的理解，还加强了实际用运能力。将

5、理论知识成功地转化成实践结果。实验地点北区多学科综合楼4506指导教师 太原理工大学学生实验报告学院名称计算机科学与技术专业班级 学号 学生姓名 实验日期2012.06.05成绩课程名称数值计算方法实验题目实验二 线性方程组的直接解法一、实验目的和要求合理利用Gauss消元法、LU分解法、追赶法求解下列方程组： （n=5,10,100,）二、主要设备 PC，Windows操作系统，VC+6.0编程平台；三、实验内容和原理高斯消元法：将原方程组化为三角形方阵的方程组：lik=aik/akk aij= aij- lik* akj （ k=1,2,n-1 i=k+1,k+2, ,n j=k+1,k+

6、2, ,n+1 ）由回代过程求得原方程组的解： xn= ann+1/ ann xk=( akn+1-akj xj)/ akk 完全主元素消元法流程图： 列主元素消元法： LU分解法：将系数矩阵A转化为A=L*U，L为单位下三角矩阵，U为普通上三角矩阵，然后通过解方程组l*y=b，u*x=y,来求解x。四、操作方法与实验步骤1. 完全主元素消元法：#include#include#includemath.hfloat a100101;float x10;int N; void shuchu()for(int i=1;i=N;i+)for(int j=1;j=N+1;j+)coutaij ;cou

7、tendl;void shuru()cout请输入矩阵阶数:N;cout请输入矩阵各项:endl;for(int i=1;i=N;i+)for(int j=1;jaij;coutendl;void main()int z10;int maxi,maxj;shuru();for(int i=1;i=N;i+)zi=i;for(int k=1;kN;k+)maxi=k;maxj=k;float maxv=abs(akk);for(i=k;i=N;i+)for(int j=k;jmaxv)maxv=abs(aij);maxi=i;maxj=j;if(maxi!=k) for(int j=1;j=N+

8、1;j+)float t=akj;akj=amaxij;amaxij=t;if(maxj!=k) for(i=1;i=N;i+)float t=aik;aik=aimaxj;aimaxj=t;int t=zk;zk=zmaxj;zmaxj=t; for(int i=k+1;i=N;i+) float l=aik/akk;for(int j=k;j0;i-)float s=0;for(int j=i+1;j=N;j+)s+=aij*xzj;xzi=(aiN+1-s)/aii;cout完全主元素消去法之后的矩阵为：endl;shuchu(); for(i=1;i=N;i+) coutxi=xien

9、dl;2. 列主元素消元法：#includestdio.hint main() float a34=1,2,3,14,0,1,2,8,2,4,1,13;float x3; float sum=0; int k,i,j; for(k=0;k2;k+) for(i=k+1;i3;i+) for(j=k+1;j4;j+)aij=aij-aik/akk*akj; for(i=0;i3;i+) for(j=0;j=0;k-)sum=0;for(j=k+1;j3;j+)sum+=akj*xj; xk=(ak3-sum)/akk; for(i=0;i3;i+)printf (x%d=%fn,i+1,xi);

10、printf(n);3. LU分解法：#include #include #define L 30double aLL,bL,lLL,uLL,xL,yL;int main() int n,i,j,k,r;printf(请输入矩阵元次：n); scanf(%d,&n);printf(请输入矩阵各项：n); for(i=1;i=n;+i) for(j=1;j=n;+j) scanf(%lf,&aij); printf(请输入方程组的常数项：n); for(i=1;i=n;+i) scanf(%lf,&bi); for(i=1;i=n;+i) for(j=1;j=n;+j) lij=0; uij=0

11、.0; for(k=1;k=n;+k) for(j=k;j=n;+j) ukj=akj;for(r=1;rk;+r) ukj-=lkr*urj; for(i=k+1;i=n;+i) lik=aik; for(r=1;rk;+r) lik-=lir*urk; lik/= ukk; lkk=1.0; for(i=1;i=n;+i) yi = bi; for(j=1;j0;-i) xi = yi; for(j=i+1;j=n;+j) xi-=uij*xj; xi/= uii; for(i=1;i=n;+i) printf(%0.2lfn,xi); return 0;五、 实验结果与分析完全主元素消元

12、法： 列主元素消元法： LU分解法： 分析： 对于两种高斯解方程，完全主元素跟列主元素都是先消元、再回代，由程序段可以发现，始终消去对角线下方的元素。即，为了节约内存及时效，可以不必计算出主元素下方数据。 列主元素消元法的算法设计上优于完全主元素消元法，它只需依次按列选主元素然后换行使之变到主元素位置，再进行消元即可。 列主元素消元法的耗时比完全主元素法少很多，常采用之。 对于LU分解法，分解矩阵为单位下三角阵L与上三角阵U的乘积，然后解方程组Ly=b，回代，解方程组Ux=y。其中的L为n阶单位下三角阵、U为上三角阵.六、讨论、心得 本次试验中，感觉是最难的一次，完全主元素消元法程序编写过程相

13、对来说花了好长时间。纠正各种语法、算法、思路错误。最后勉强成功，但还是有几处警告，不得解决之法。感到程序学习的不足，再加之对高斯的不甚了解。编写过程很是痛苦。 查阅各种内外部资料，这点有利有弊。突然觉得，应该再把数据结构之类的重新学习一下才行。以后多花时间在编程吧，重在理解。 必须反省一下自己的C、C+学习了，还是得多加练习，平时必须养成一种好的算法思维习惯。实验地点北区多学科综合楼4506指导教师 太原理工大学学生实验报告学院名称计算机科学与技术专业班级 学号 学生姓名 实验日期2012.06.05成绩课程名称数值计算方法实验题目实验三 线性方程组的迭代解法一、实验目的和要求使用雅可比迭代法

14、或高斯-赛德尔迭代法对下列方程组进行求解。 二、主要设备 PC，Windows操作系统，VC+6.0编程平台；三、实验内容和原理设线性方程组 Ax=b的系数矩阵A可逆，且主对角元素a11,a22,ann均不为零，令D=diag(a11,a22,ann)并将A分解成 A=(A-D)+D从而线性方程组可写成 Dx=(D-A)x+b则有迭代公式x(k+1)=B1x(k)+f1其中，B1=I-D-1A,f1=D-1b。各自详细流程图如下所示：四、操作方法与实验步骤高斯赛德尔迭代法#include iostream#include iomanipusing namespace std;int main(

15、)int i,j,k=0,m,n;double t1,t2,e1,e2=0.0; coute1;coutm;coutn;coutendl;double (*a)=new double *m;for(i=0;i=m;i+)ai=new doublen;double (*b)=new double m;double (*x)=new double n;cout请输入系数矩阵：endl;cout-endl;for(int num1=0;num1m;num1+)for(int num2=0;num2anum1num2;coutendl;cout输入的系数矩阵为：endl;for (int num3=0

16、;num3m;num3+)for(int num4=0;num4n;num4+)coutanum3num4 ;coutendl;cout请输入矩阵b：endl;for(int num5=0;num5bnum5;cout输入的矩阵b为：endl;for(int num6=0;num6m;num6+)coutbnum6 ; coutendl; for(int num7=0;num7n;num7+)xnum7=0.0000;do cout第k次迭代值：;e2=0.0;for(i=0;im;i+) double sum=0.0;for(j=0;j=0?(xi)-t1:t1-(xi);e2=(e2=t2

17、?e2:t2);coutsetprecision(8)xi ;cout=e1&k30);cout共迭代了k次;deletea;deleteb;deletex;return 0 ;雅克比迭代法：#include #include int main() float a33=10,-1,-2,-1,10,-2,-1,-1,5,b3=7.2,8.3,4.2;float x3=0,0,0,sum;int i,j,k,n=3;printf(tt X1tt X2tt X3n);for(k=0;k8;k+) for(i=0;i3;i+) sum=0; for(j=0;jn;j+) if(i=j)continu

18、e; sum=sum+aij*xj; xi=(bi-sum)/aii; printf(第%d次迭代：t,k+1); for(i=0;in;i+) printf(%ft,xi);printf(n); 五、实验结果与分析高斯赛德尔迭代法：雅克比迭代： 分析： 使用高斯-赛德尔和雅克比迭代都可以求出方程组的解，但是利用高斯-赛德尔迭代法所需的迭代次数比雅克比迭代少，能够更早的达到精度要求。 从程序中可以看出，雅克比定义的sum只有一个，而高斯赛德尔需要两个。时效性上后者要好些。六、讨论、心得 这次试验算是比较成功，要归功于授课时候的认真听讲。程序编写之前，对书本的理论知识进行了进一步的探索。预习准备

19、工作很彻底，自然随后的一切也都很顺利。 实验地点北区多学科综合楼4506指导教师 太原理工大学学生实验报告学院名称计算机科学与技术专业班级计Z1002班学号学生姓名张龙实验日期2012.06.12成绩课程名称数值计算方法实验题目实验四 矩阵特征值与特征向量问题一、实验目的和要求使用幂法求A模为最大的特征值及其相应的特征向量。二、主要设备 PC，Windows操作系统，VC+6.0编程平台；三、实验内容和原理幂法：由已知的非零向量x0和矩阵A的乘幂构造向量序列xn以计算矩阵A的按模最大特征值及其特征向量的方法，称为幂法。在计算过程，每步迭代中把向量xk进行规范化，即用xk乘以一个常数，使得其分量

20、的模最大为1，这样，迭代公式变为： 其中，mk是yk模最大的第一个分量。结果可取： 幂法流程图：四、操作方法与实验步骤#include#include#define N 3#define eps 1e-6#define M 30float maxvalue(float x,int n)float Max=x0; int i; for(i=1;ifabs(Max)Max=xi; return Max;void matrix(float *A)float UN,VN,r1,r2,temp; int i,j,k=0; for(i=0;iN;i+)Ui=1; while(kM) k+; for(i=0

21、;iN;i+) temp=0; for(j=0;jN;j+)temp+=*(A+i*N+j)*Uj; Vi=temp; for(i=0;iN;i+)Ui=Vi/maxvalue(V,N); if(k=1)r1=maxvalue(V,N); elser2=maxvalue(V,N); if(fabs(r2-r1)eps)break;r1=r2; printf(迭代次数：t%dn,k); printf(矩阵的特征值：t%fn,r2); printf(); for(i=0;iN;i+)printf(%ft,Ui); printf()n);int main() float ANN=2,-1,0,-1,

22、2,-1,0,-1,2 ; matrix(A0);五、实验结果与分析 分析： 采用幂方法求解矩阵的最大特征值以及特征向量，其最大优点是计算简单，容易在计算机上实现，对稀疏矩阵较为适合。但有时收敛速度很慢，时效性较差。六、讨论、心得 程序编写时详细分析了书上的求解过程，但最终结果还是有所出入。课本的迭代次数只用7次，而程序运行之后显示为12次。不明白那里原因。推测是由于精确位数的不同导 致。最后在程序中更改了一下，验证得之。实验地点北区多学科综合楼4506指导教师 太原理工大学学生实验报告学院名称计算机科学与技术专业班级 学号 学生姓名 实验日期2012.06.12成绩课程名称数值计算方法实验题

23、目实验五 代数插值一、实验目的和要求使用拉格朗日插值法或牛顿插值法求解：已知f(x)在6个点的函数值如下表所示，运用插值方法，求f(0.596)的近似值。X0.400.550.650.800.901.05f(x)0.410750.578150.696750.888111.026521.25386二、主要设备 PC，Windows操作系统，VC+6.0编程平台；三、实验内容和原理设函数在区间a,b上n+1互异节点x0,x1,xn上的函数值分别为y0,y1,yn,求n次插值多项式Pn(x),满足条件Pn(xj)=yj, j=0,1,n令Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)=

24、yili(x)其中l0(x),l1(x), ln(x) 为以x0,x1,xn为节点的n次插值基函数，则Ln(x)是一次数不超过n的多项式，且满足Ln(xj)=yj, L=0,1,n再由插值多项式的唯一性，得Pn(x)Ln(x) 流程图如下：四、操作方法与实验步骤#include #include #include #include void difference(float *x,float *y,int n) float *f; int k,i; f=(float *)malloc(n*sizeof(float); for(k=1;k=n;k+) f0=yk; for(i=0;ik;i+)f

25、i+1=(fi-yi)/(xk-xi); yk=fk; return; int main() int i,n; float x20,y20,xx,yy; printf(请输入数据个数n：); scanf(%d,&n);printf(n); for(i=0;i=0;i-)yy=yy*(xx-xi)+yi; printf(n近似值为：F(%f)=%fn,xx,yy); 五、实验结果与分析 分析： 拉格朗日插值的优点是插值多项式特别容易建立，缺点是增加节点是原有多项式不能利用，必须重新建立，即所有基函数都要重新计算，这就造成计算量的增加。牛顿插值法则很好地避免了上述问题。六、 讨论、心得 本实验有两

26、种插值方法可以选用，由于时间关系，最终选用牛顿插值法。若是下去有时间的话，可以再用拉格朗日插值法验证一番。既能增加编程的锻炼能力，还能进一步巩固一下所学知识。实验地点北区多学科综合楼4506指导教师 太原理工大学学生实验报告学院名称计算机科学与技术专业班级 学号 学生姓名 实验日期2012.06.12成绩课程名称数值计算方法实验题目实验六 最小二乘法拟合多项式一、实验目的和要求给定数据点（xi ,yi），用最小二乘法拟合数据的多项式，并求平方误差。xi00.50.60.70.80.91.0yi11.751.962.192.442.713.00二、主要设备 PC，Windows操作系统，VC+6

27、.0编程平台；三、实验内容和原理 建立正规方程组：（xij+k）ak=xijyi ,j=0,1,n 平方误差：I=（akxik-yi）2 对给定数据点(Xi，Yi)(i=0,1，m），在取定的函数类 中，求p(x），使误差的平方和E2最小，E2=p(Xi)-Yi2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (Xi，Yi)(i=0,1，m）的距离平方和为最小的曲线y=p(x）。函数p(x）称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x）的方法称为曲线拟合的最小二乘法。得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = （Yi) / m - a1（Xi) / m a1 = mXi Y

28、i - （Xi Yi) / mXi2 - （Xi)2 ) 即最终的拟合多项式各项系数。最小二乘法流程图如下所示：四、操作方法与实验步骤#include#include#define N 15double power(double &a,int n)double b=1;for(int i=0;in;i+)b*=a;return b;void Gauss();double XN,YN,sumXN,sumYN,aNN,bN,lNN,xN;int main()ofstream outdata;ifstream indata;double s;int i,j,k,n,index;coutn;coutendl;cout请输入X和Y:endl; for