数形结合思想解析.讲义

1、“数形结合思想”解析（一）“数形结合”思想的内涵诠释 “数形结合”的本质是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行思考，使“数”与“形”各展其长，优势互补，实现抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，起到优化解题途径的目的。 “数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的谈谈与蜂房结构有关的数学问题的科普小册子中，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了

2、“数形结合”的本质。“数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法。我们在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观的“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。通过“数”与“形”的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又细微、深刻。 （二）“数形结合思想”在教学中的作用。数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。 1.以“形”助“数”。“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。 a.数学概念的建立借助“形”的

3、直观。由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。 b.数学性质的探索依赖“形”的操作。数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。如教学“3的倍数的特征”可作如下设计：让学生用9根小棒摆出三位数，判断是否是3的倍数；8根、6根呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数

4、的和。又如，“分数的基本性质”、“小数的性质”可以让学生在对图形的等分中理解。 c.数学规则的形成需要“形”作材料。数学规则在小学主要是有关演算过程的具体实施方法。规则学习是学生技能形成的先导。让学生明确规则的合理性、理解其推导过程的意义，不仅仅在于理解算理，更重要的在于学会学习，实现过程性目标。而数形结合能降低思维难度，让学生有信心和能力归纳出法则。如“20以内进位加法”是通过实物操作体会“凑十”的过程；分数乘法（如1/21/5）法则在折纸过程中归纳算法；长方形面积计算方法在“摆（面积单位）数（小正方形个数）想（个数与长宽关系）”等过程中获得。 d.解题思路的获得常用“形”来帮助。借助图形解

5、题的最大优势是将抽象问题形象化。因为将数量信息反映在图形上，能直观表现数量间关系，从而获得解题思路。尤其在解较复杂的文字题、应用题（如“种植株数”、“截断”等）时，恰当选用线段图、示意图、集合图等等，是寻找解题途径最有效的手段之一。 2.以“数”解“形”。“形”具有形象直观的优势，但也有其粗略、繁琐和不便于表达的劣势。只有以简洁的数学描述、形式化的数学模型表达“形”的特性，才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力，使儿童更准确地把握“形”。 a.对图形的认识要用数学语言的描述加以深化。如“直线”的教学，由于在生活中无法找到原型，画出来的也只是线段，而辅之以数学语言“直”、“无限”、“延伸”等，就

6、能较好地建立相应的表象。又如“长方形”，学生从图形中感知获得的只是“长长的”、“方方的”，只有用数学语言揭示其特征（有4个角，都是直角；有4条边，对边相等），对长方形的认识才是深刻的。 b.几何图形的周长、面积、体积计算公式的归纳都是儿童对形体直观知觉的深化。如对长方形面积大小观念的建立从定性到定量，从直观比较到数方格，从摆小正方形（面积单位）到发现面积与长宽的关系，最终获得面积计算公式，使儿童从更深层面上认识了长方形。 c.对几何图形性质的判断有时需要通过计算才能获得正确结论。如：“周长相同的三角形、正方形和圆，哪个面积最大？哪个最小？”由于作图困难，凭图形直观难以判断，而通过具体计算，结论

7、就不辨自明。 （三）、渗透的方法与步骤 在运用数形结合思想分析和解决问题时， 第一要彻底明白一些概念和运算及图形的意义以及特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义； 第二是建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化； 第三是正确解决问题。（四）、数形结合在教材中的分布点：数形结合思想在小学数学教材中的分布一年级下册七、认识时间例1例2、练习十五二年级上册四、表内乘法（一）26的乘法口诀六、表内乘法（二）十六、例5、例6 例2例4、练习十七看一看、摆一摆二年级下册二、表内除法（一）1.平均分（例1练习三）除法（例4练习四）四、表内除法（二）解决问题 九、找规律 例1、例2、

8、练习二十三 三年级上册三、四边形 估计、练习十一第6题五、时、分、秒秒的认识 、时间的计算七、分数的初步认识几分之一、几分之几、分数大小的比较八、可能性例1例4、 练习二十四九、数学广角排列、组合、掷一掷三年级下册二、除数是一位数的除法口算除法笔算除法：例1例4三、统计简单的数据分析、平均数六、面积面积和面积单位面积单位间的进率八、解决问题例1、例2、练习五年级下册二、因数与倍数因数与倍数 质数与合数三、长方体和正方体特征认识、表面积和体积四、分数的意义和性质分数的意义 真分数和假分数 约分和通分 分数的基本性质六年级上册二、分数乘法 分数乘整数 分数乘分数 简便计算、混合运算求一个数的几分之

9、几是多少的问题 稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题三、分数除法例1例4解决问题（例1、例2、）练习十四、圆 圆的面积、例1、例2、练习十六、整理和复习五、百分数用百分数解决问题：例1例5、整理和复习 一、负数 例1例4、练习1六年级下册二、圆柱与圆锥 圆柱的认识：例1例2圆柱的体积：例5-例6、练习3三、比例 自行车里的数学 正比例和反比例的意义：例1-例3 比例的应用：例1例6、整理和复习四、统计例1-例2 六、整理与复习空间与图形统计与概率综合应用（五）渗透策略：1.“以数解形”， “以数解形”就是有些图形过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。2

10、. “以形助数”。 “以形助数”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。3.无言引导，数形结合是一种形象化的引导，是学生思维不断深入的过程。比问题式或提示性的语言引导，更易激起学生的观察与思考。4.借错，教师要善于利用错误，甚至开发错误，引导学生认真反省，找出原因。不仅可以借机督促学生主动澄清错误认识，进一步理解掌握知识，避免重蹈覆辙,而且纠错的过程细腻而微妙，有利于培养学生思维的深刻性、细腻性、敏捷性，以及锻炼学生思维的严密性。（六）数形结合在解题中的渗透典型例题：例题1：二年级有个班，每班有个三好学生，一共有多少个三好学生？这道题对刚刚接触到乘法的二年级

11、学生来说，有的会以画葫芦的用或求出答案，也有的会用，为什么会出现用加法算式呢？其实是不理解同一算式的两种不同含义，这时，可以将题目的意思用图表示出来，借助下图来理解：在看图的基础上，学生清楚地理解：横看图形，得到可以表示成或，竖看图形，得到，可以表示成或，但是老师问学生，：、表示什么？如果在学生表达乘法意义时，不结合图形，学生会含糊的表述3*4即表示3个4连加，也表示4个3连加，4*3即表示3个4连加，也表示4个3连加.如果不进行数形结合分析，学生脑中所建构的意义是模糊不清的。所以，在学生表述3*4的意义时，老师应该结合图形强调，3个4连加应该怎样看？（横看）4个3连加又应该怎样看？（竖看）指

12、一指，说说相同加数是多少？几个这样的相同加数？通过数与形的一一对应，来意义建构乘法算式所表示的意义。这样借助图形变抽象的乘法的意义为具体的事物，帮助学生将头脑中模糊的数学概念逐渐清晰，学生自然就不会出现3+4=7的错误了。例题2： “植树问题”模拟植树，得出线上植树的三种情况。用 “-”代表一段路，用“ / ”代表一棵树，画“ / ”就表示种了一棵树。请在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？ 三种情况：_两端都种_或_一端栽种_两端都不种通过画图得出：两端都种：棵数段数1；一端栽种：棵数=段数；两端都不种：棵数=段数1。以上片段教师利用线段图帮助学生学习。让学生有可以凭借的工具，借

13、助数形结合使得学生思维发展有了凭借，使学生知其然且知其所以然，同时也强化转化的思想方法。也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。例题3：张老师要买一个打印机，王老师要买一件毛衣。打印机：800元/台。毛 衣：200元/件。商场促销活动，如果购买500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。问：两位老师合着买比分着买可以省多少钱？方法一：多数同学的解题方法：分购买所花的钱数：（800-500）80%+500+200=940（元）合着购买所花的钱数：（800+200-500）80%+500=900（元）合买比分买省的钱数：940-900=40（元）方法二：一名学生的解题方法：200(1-80%)=

14、40(元)当时很多同学不理解第二种算法，于是教师请这名学生进一步解释。生：合着买与分着买别的地方都没有变，区别只是少花了一个200元的(1-80%)，所以可以直接用200(1-80%)=40(元)来进行计算。这名学生解释完后，大多数学生仍然很茫然，没有理解方法二的道理。但是当教师引导学生借助线段图，以形助数，用线段图对比呈现两种方法的所蕴涵的数量关系，学生就能很好地理解每一种方法的道理。通过画线段图就使抽象复杂的数量关系变简单明了，将抽象的数学问题直观化：借助线段图，变“看不见”为“看得见”，学生便能清晰直观地看到合买合分买的区别，从图中直观地看出真正省的其实就是200元的20，所以是40元。

15、通过画图表示数量间的关系，将复杂的解题过程化繁为简，不但能很好地帮助理清数量之间的关系，还能进一步明确和拓宽解题思路。实践证明：数形结合可以促进学生思维的灵活性和创造性，获得较优化的方法，可以激发学生的灵感，产生顿悟，直接获得结果。例题4、人民医院包扎用的三角巾是底和高各为9分米的等腰三角形。现在有一块长72分米，宽18分米的白布，最多可以做这样的三角巾多少块？有些学生列出了算式:7218（992）,这道题是不是只有这种解题方法呢？这时我运用数形结合，将题目的意思用图表示出来：72里面有几个9？18里面有几个9？引导学生根据题意画出了示意图,可以先求出共有几个正方形，再求有几个三角形，于是有的

16、学生想出： 729（189）2、7218（99）2和7292（189）等几种算式。这样很好的帮助学生理清数量间的关系，当白布长度不是9米的整数倍时，就不能主观的用面积包含关系来解决这类习题了，否则就不符合实际。例题5：2002年世界杯足球赛C组有巴西队、土耳其队、中国队和哥斯达黎加队。每两个队踢一场比赛，一共要踢多少场比赛？按题意画图为： 巴西 土耳其 中国 哥斯达黎加 或：巴西 土耳其 中国 哥斯达黎加 在排列组合题中，排列与顺序无法，组合与顺序有关，但对于三年级学生用这样抽象的语言教学，不可能有一点效果。而采用直观的画图连线就十分清楚明白了。例题6：五一班同学分三次给敬老院送温暖。第一次送

17、了10千克大米、10千克面粉、10千克食油，合人民币140元；第二次送了20千克大米、15千克面粉、10千克食油，合人民币180元；第三次送了25千克大米、20千克面粉、10千克食油，合人民币205元。求大米、面粉和食油每千克各多少元？本题条件太多，学生读后可能头都晕了。把条件用表格的形式排列出来，引导学生对照、比较、分析，就不难求解了。大米面粉食油人民币第一次101010140第二次201510180第三次252010205通过观察比较，第二次与第一次相比较：多送大米10千克，面粉5千克，多付钱180140=40（元）；第三次与第二次相比较：多送大米5千克，面粉5千克，多付钱205180=2

18、5（元）。又列表如下：多送大米多送面粉多付钱第二次与第一次比较10540第三次与第二次比较5525现在学生很容易看出：面粉的数量不变，多送了5千克大米，就多付了钱4025=15（元），可求出大米每千克：155=3（元），进而求出面粉每千克：（40310）5=2（元），食油每千克：（140310210）10=9（元）。像这样数据较多的问题，采用列表的方法，易于揭示数量之间的关系，使思路清晰，采用最优化方法解题。例题7：一桶油，连桶共重15千克，吃了一半油后，连桶重8千克。吃掉了多少千克油？原来满桶的油重多少千克？分析：桶和油之间到底是一种什么样的数量关系；吃了一半油后，桶和油之间又是一种什么样的

19、数量关系？低年级同学对此类数量关系大都感到十分抽象，不容易很快理解。如运用下面形象的图形来表示它们之间的数量关系，同学们马上就一目了然，明白了桶、油的关系，巧妙地解决了这个问题。 空桶 油 没吃前： 十 ? 15千克 吃一半后： 十 ? 8千克例题8：溶液浓度问题的应用题，因其数量关系多，数值变化繁，学生掌握起来十分困难，一直是小学数学教学的重点、难点。如果充分运用数形结合思想，巧妙运用恰当的图形直观地表示其数量关系，常能产生意想不到的效果。如例题：有某种浓度的酒精溶液，加1杯水后，浓度变为25%，再加1杯纯酒精后，浓度变为40%，求原来酒精溶液的浓度。分析：这道题条件中没有原来溶液的容量，浓

20、度一会儿是25%、一会儿又是40%，数量关系看似十分繁杂，难以理解。教学中用下面形象的图形表示其数量关系来引导学生思考。25%=1/4，40%=2/5，用代表1份酒精，用代表1份水。加1杯水浓度为25%，也即1/4， 图示为： 再加1杯酒精浓度为40%，也即2/5，图示为：由上图很容易得出：1份酒精、1份水刚好也是1杯酒精、1杯水，如不加1杯水和1杯酒精，原酒精浓度由图示应为： -=即原酒精溶液的浓度为1/3，也即33.3%。例9.在学习“异分母分数加、减法”时，学生如何理解为什么异分母分数加减法要先通分，不能直接相加、减呢？我们可以借助于一个圆的面积图将上述“理性”的抽象思维过程形象化、视觉

21、化，即教师充分利用“面积图”将计算直观化：引导学生体会只有平均分得的份数相同，也就是分数单位相同，分子才能直接相加、减的道理。综上示例，不难看出，采用数形结合思想方法解题，关 键是要让数形有机结合，把抽象的数学问题形象化、直观化，从而化繁为简，化难为易。如果说生活经验是学习的基础，生生间的合作交流是学习的推动力，那么数形结合是学生建构知识的一个拐杖，有了这根拐杖，学生才能走的更稳、更好。练习题：1.比一比，数一数，填一填；（共10分，每题1分，算式一题1分）比多_个，比多_个，比_ _个，比_ _个，2.一口井深11米，蜗牛白天爬5米，夜晚落2米，几天爬出？3.一条路长18米。每3米种1棵，道

22、路两旁最多可以种几棵？4、挂彩灯，按“红、黄、白、绿”的顺序，挂了32个彩灯，第32个是什么颜色？有几个黄灯？5、+=30 =（ ）=+ =（ ）6、古代一个国家，一头猪可换3头羊，1头牛可换10头猪，1头年可换（ ）头羊 90头羊可换（ ）头牛。7、把一根木头锯成2段要3分钟，那要锯成8段需要（ ）分钟。8有一个正方形操场，每边都种20棵树，4个角上各种1棵，共有多少棵？9.一块长方形水池，长80米，宽45米，如果把宽增加5米，要使面积不变，长应减少多少米？10.在一次比赛中，有12个队进行循环赛，一共要比赛多少场？11.有 、 共一百个，按 的规律排列，第37个是（ ）。12. 三个边长5

23、厘米的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是（ ）厘米。13. 甲乙两个数的和是360，甲是乙的三倍，乙数是（ ）。14.一桶油连桶重58千克，三天用完，第一天用去1/3，第二天用去余下的2/3，第三天用去的比前两天用去的总和的3/7少6千克，桶重多少千克？15.在A.B.C三地之间，从到A地B有4条路可走，从B地到C地有3条路可走，从A地经过B地到C地共有（ ）条路可走。16.六个足球队进行单循环比赛，每两个队都要赛一场。如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分。现在比赛已进行了四轮（每队都已与4个队比赛过），各队4场得分之和互不相同，已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场

24、球赛踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分，最少可得多少分？17.有两包糖，甲包中有30颗，如果从乙包拿出1/5放入甲包，则乙包比甲包多3颗，乙包原有糖多少颗？（用方程解）18、甲、乙二人植树，单独植完这批树甲比乙所需要的时间多1/3，如果2人一起干，完成任务时乙比甲多植树36棵，这批树一共多少棵？19、如右图，有一只狗被缚在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳子长8米，求狗活动时最大面积是多少？20有一个正方形的草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80平方米，求草坪的面积。（三）运用“数形结合”思想来解题。典型例题：例题1：二年级有个班，每班有个三好学生

25、，一共有多少个三好学生？这道题对刚刚接触到乘法的二年级学生来说，有的会以画葫芦的用或求出答案，也有的会用，为什么会出现用加法算式呢？其实是不理解同一算式的两种不同含义，这时，可以将题目的意思用图表示出来，借助下图来理解：在看图的基础上，学生清楚地理解：横看图形，得到可以表示成或，竖看图形，得到，可以表示成或，但是老师问学生，：、表示什么？如果在学生表达乘法意义时，不结合图形，学生会含糊的表述3*4即表示3个4连加，也表示4个3连加，4*3即表示3个4连加，也表示4个3连加.如果不进行数形结合分析，学生脑中所建构的意义是模糊不清的。所以，在学生表述3*4的意义时，老师应该结合图形强调，3个4连加

26、应该怎样看？（横看）4个3连加又应该怎样看？（竖看）指一指，说说相同加数是多少？几个这样的相同加数？通过数与形的一一对应，来意义建构乘法算式所表示的意义。这样借助图形变抽象的乘法的意义为具体的事物，帮助学生将头脑中模糊的数学概念逐渐清晰，学生自然就不会出现3+4=7的错误了。例题2： “植树问题”模拟植树，得出线上植树的三种情况。用 “-”代表一段路，用“ / ”代表一棵树，画“ / ”就表示种了一棵树。请在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？ 三种情况：_两端都种_或_一端栽种_两端都不种通过画图得出：两端都种：棵数段数1；一端栽种：棵数=段数；两端都不种：棵数=段数1。以上片段

27、教师利用线段图帮助学生学习。让学生有可以凭借的工具，借助数形结合使得学生思维发展有了凭借，使学生知其然且知其所以然，同时也强化转化的思想方法。也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。例题3：张老师要买一个打印机，王老师要买一件毛衣。打印机：800元/台。毛 衣：200元/件。商场促销活动，如果购买500元以上的商品就把超出500元的部分打八折。问：两位老师合着买比分着买可以省多少钱？方法一：多数同学的解题方法：分购买所花的钱数：（800-500）80%+500+200=940（元）合着购买所花的钱数：（800+200-500）80%+500=900（元）合买比分买省的钱数：940-900=40（

28、元）方法二：一名学生的解题方法：200(1-80%)=40(元)当时很多同学不理解第二种算法，于是教师请这名学生进一步解释。生：合着买与分着买别的地方都没有变，区别只是少花了一个200元的(1-80%)，所以可以直接用200(1-80%)=40(元)来进行计算。这名学生解释完后，大多数学生仍然很茫然，没有理解方法二的道理。但是当教师引导学生借助线段图，以形助数，用线段图对比呈现两种方法的所蕴涵的数量关系，学生就能很好地理解每一种方法的道理。通过画线段图就使抽象复杂的数量关系变简单明了，将抽象的数学问题直观化：借助线段图，变“看不见”为“看得见”，学生便能清晰直观地看到合买合分买的区别，从图中直

29、观地看出真正省的其实就是200元的20，所以是40元。通过画图表示数量间的关系，将复杂的解题过程化繁为简，不但能很好地帮助理清数量之间的关系，还能进一步明确和拓宽解题思路。实践证明：数形结合可以促进学生思维的灵活性和创造性，获得较优化的方法，可以激发学生的灵感，产生顿悟，直接获得结果。例题4、人民医院包扎用的三角巾是底和高各为9分米的等腰三角形。现在有一块长72分米，宽18分米的白布，最多可以做这样的三角巾多少块？有些学生列出了算式:7218（992）,这道题是不是只有这种解题方法呢？这时我运用数形结合，将题目的意思用图表示出来：72里面有几个9？18里面有几个9？引导学生根据题意画出了示意图

30、,可以先求出共有几个正方形，再求有几个三角形，于是有的学生想出： 729（189）2、7218（99）2和7292（189）等几种算式。这样很好的帮助学生理清数量间的关系，当白布长度不是9米的整数倍时，就不能主观的用面积包含关系来解决这类习题了，否则就不符合实际。例题5：2002年世界杯足球赛C组有巴西队、土耳其队、中国队和哥斯达黎加队。每两个队踢一场比赛，一共要踢多少场比赛？按题意画图为： 巴西 土耳其 中国 哥斯达黎加 或：巴西 土耳其 中国 哥斯达黎加 在排列组合题中，排列与顺序无法，组合与顺序有关，但对于三年级学生用这样抽象的语言教学，不可能有一点效果。而采用直观的画图连线就十分清楚明

31、白了。例题6：五一班同学分三次给敬老院送温暖。第一次送了10千克大米、10千克面粉、10千克食油，合人民币140元；第二次送了20千克大米、15千克面粉、10千克食油，合人民币180元；第三次送了25千克大米、20千克面粉、10千克食油，合人民币205元。求大米、面粉和食油每千克各多少元？本题条件太多，学生读后可能头都晕了。把条件用表格的形式排列出来，引导学生对照、比较、分析，就不难求解了。大米面粉食油人民币第一次101010140第二次201510180第三次252010205通过观察比较，第二次与第一次相比较：多送大米10千克，面粉5千克，多付钱180140=40（元）；第三次与第二次相比

32、较：多送大米5千克，面粉5千克，多付钱205180=25（元）。又列表如下：多送大米多送面粉多付钱第二次与第一次比较10540第三次与第二次比较5525现在学生很容易看出：面粉的数量不变，多送了5千克大米，就多付了钱4025=15（元），可求出大米每千克：155=3（元），进而求出面粉每千克：（40310）5=2（元），食油每千克：（140310210）10=9（元）。像这样数据较多的问题，采用列表的方法，易于揭示数量之间的关系，使思路清晰，采用最优化方法解题。例题7：一桶油，连桶共重15千克，吃了一半油后，连桶重8千克。吃掉了多少千克油？原来满桶的油重多少千克？分析：桶和油之间到底是一种什么

33、样的数量关系；吃了一半油后，桶和油之间又是一种什么样的数量关系？低年级同学对此类数量关系大都感到十分抽象，不容易很快理解。如运用下面形象的图形来表示它们之间的数量关系，同学们马上就一目了然，明白了桶、油的关系，巧妙地解决了这个问题。 空桶 油 没吃前： 十 ? 15千克 吃一半后： 十 ? 8千克例题8：溶液浓度问题的应用题，因其数量关系多，数值变化繁，学生掌握起来十分困难，一直是小学数学教学的重点、难点。如果充分运用数形结合思想，巧妙运用恰当的图形直观地表示其数量关系，常能产生意想不到的效果。如例题：有某种浓度的酒精溶液，加1杯水后，浓度变为25%，再加1杯纯酒精后，浓度变为40%，求原来酒

34、精溶液的浓度。分析：这道题条件中没有原来溶液的容量，浓度一会儿是25%、一会儿又是40%，数量关系看似十分繁杂，难以理解。教学中用下面形象的图形表示其数量关系来引导学生思考。25%=1/4，40%=2/5，用代表1份酒精，用代表1份水。加1杯水浓度为25%，也即1/4， 图示为： 再加1杯酒精浓度为40%，也即2/5，图示为：由上图很容易得出：1份酒精、1份水刚好也是1杯酒精、1杯水，如不加1杯水和1杯酒精，原酒精浓度由图示应为： -=即原酒精溶液的浓度为1/3，也即33.3%。例题9：有甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地相向出发，两人在途中距B地20公里处第一次相遇，然后两人继续前行，甲、乙到达B、A两地后都立即近回，两车在途中距A地15公里处第二次相遇，求A、B地间的距离。分析：此题的困难在于有些条件隐藏在题目中，不仔细分析就不易发现，初次看到题干，往往感到束手无策，但画出线段图后，再加以认真分析，条件就立刻显现。 20公里 15公里从图中可清晰看出，甲乙两人同时出发，相向而行，他们第一次相遇时，距B地20公里，说明此时他们共行了A、B两地的1个全程，乙行了20公里；两人从出发到再次相遇时，距A地15公里，说明他们共行了3个A、B两地的全程，此时