西安交通大学高等数学期中考题(2)

1、西安交通大学高等数学期中考题(2) 高等数学(i、ii)期中考试题 xxxx年4月26日 一、解答下列各题（每小题7分，共70分） y2设函数f?x,y?arcsin，求df(x,y)。214 x?2z?z设由方程x?2y?xy?z?9?0可确定z?z(x,y)，求，。 ?x(1,?2,1)?x?y(1,?2,1)22求曲面z?x2?y2?1在点a(2,1,4)处的切平面和法线方程。 ?x?sint?2求曲线?y?t在t?0时的切线与法平面方程。 ?z?2t?交换累次积分的次序：i?计算二重积分： i?1?1dy?1?1?y2y2f(x,y)dx，其中f(x,y)是连续。 x2?y2?a22(

2、x?siny?1)dxdy。 设空间立体?是由抛物面z?x2?y2及平面z?h?0所围成，已知它的密度为f(x,y,z)?z2，试计算 它的质量。 求函数u?2yx?z2在点a?2,?1,1?处的方向导数的最大值。 10（工科分析做其他做）设f(x,y)?(x?y,e22xyt)求df(1,1),df(1,1)； ?x2?y2?uv?u?v,。 u?u(x,y),v?v(x,y)设方程组?2，确定了函数，求22?x?x?xy?u?vy?z?2z二、（8分）设函数z?f(xy,)，其中f(x,y)二阶偏导数连续，求,。 x?x?x?y2?x2y,x2?y2?0?22三、（8分）设函数f(x,y)

3、?x?y，试讨论该函数f(x,y)在点(0,0)的连续性、可微性。 ?0,x2?y2?0?四、（7分）求曲面z?1?x?y在点m?1,?1,3?的切平面与曲面z?x?y所围立体的体积。 2222222五（7分）设函数f(x,y,z)在闭球体?:x?y?z?3上有连续的偏导数，且满足条件在?上 ?f?1，?x?f?f?1，f(1,1,1)?11，试求函数f(x,y,z)并证明7?f(x,y,z)?13,?(x,y,z)?。 ?1，?z?y 1 高等数学(i、ii)期中考试题 xxxx年4月26日 一、填空（每小题3分，共15分） 1设函数f(x,y)?2x2?ax?xy2?2y在(1,?1)处取

4、得极值，则常数a? ； 2函数z?ln(e?x?x2y)在点?1,1?处沿l?1,0方向的方向导数?z?l? ； 3曲线x?cost,y?sint,z?tant2在点?0,1,1?处的切线方程是 。 4. 交换累次积分的积分次序： ?1x23?x0dx?0f(x,y)dy?21dx?0f(x,y)dy= 。 5.设m?1,?1,2?是曲面z?f(x,y)上的一点，若fx(1,?1)?3，在任一点(x,y)处有: xfx(x,y)?yfy(x,y)?f(x,y)，则曲面在m处的切平面的方程是 。 二、单项选择题（每小题3分，共15分） ?4xy1函数f(x,y)?x2?y2,x2?y2?0在点(

5、0,0)处间断的原因是f(x,y)（ ） ?0,x2?y2?0a在原点无定义； b在原点极限存在但在原点无定义； c在原点极限不存在； d在原点极限存在，但极限不等于原点的函数值； 2函数f?x,y?2xy?3x2?2y2?10，点(0,0)处（ ）； 取得极大值； b取得极小值； c无极值； d不能判断是否取得极值； 设u?arctanyx ，则gradu(1,1)? （ ）； (a) 12； (b) ?12； (c) 12,?12； (d) ?112,2 。 设f(u)是连续函数，平面区域d:0?y?1?x2(x?1)，则 (x2?y2)dxdy（ ）。(?fd)(a) ?11?x222

6、(b) ?11?yxxxx年5月8日 一、填空（每小题3分，共15分） 1设z?xy?exyzx?)，则du(1,2.0)? 。 y?x?t3?22设曲线为?y?t，则它在t?1所对应点处的切线方程为 ； ?z?t?2223设f?x,y,z?lnx?y?z，则gradf(1,1,1)? 。 ?111,的方向导数为 ； 设函数u?2xy?z，则u在点?2,?1,1?处沿方向l?3332i?x2?y2?r2?(x2?y)dxdy = 。 二、解答下列各题（每小题7分，共63分） 求曲面z?x?y?1在点(2,1,4)处的切平面方程和法线方程。 3 22 计算积分：i?1?1dy?1?1?y2y2s

7、inxydx。 xy2?2z设函数z?xf(2x,)，其中f二阶偏导数连续求。 x?x?y?xy22?22,x?y?0讨论函数f(x,y)?x?y在(0,0)处的偏导数的存在性及可微性。 22,x?y?0?0?设有形状为旋转抛物面的一容器，其中心轴截面与容器的截面方程为y?x2，现将长为l的细棒置于容器之中，试求细棒中点的最低位置（设l?1） （工科分析做其他做） 求向量值函数f?sin(x2?y2),ln(x2?z2),?1y2?z2)t在点(1,1,1)处的导数； ?2z设由方程x?2y?z?4x?2z?5?0所确定的隐函数z?z(x,y)的二阶导数2. ?x222计算二重积分 ?dx2?

8、y2dxdy，其中d?(x,y)2x?x2?y2?4,x?0,y?0。 设二元函数z?z(x,y)在平面上的任意一个有界区域内存在一阶连续的偏导数，且 ?z?z?22?dxdy?2xz?xz?dxdy，试求函数z?z(x,y)。 ?x?x?d?d?设函数f(t)在0,?)上连续，且满足方程f(t)?e4?t?222x?y2?4t2?f(12x?y2)dxdy，求f(t)。 2三、讨论题（每小题11分，共22分） 计算二元函数z?f(x,y)在点p0(x0,y0)处对的偏导数fx(x0,y0)时，可以现将y?y0代入f(x,y)中，再求一元函数f(x,y0)在x0处对的偏导数，即fx(x0,y0

9、)?224df(x,y0)dxx?x0,为什么？ 试通过讨论函数f(x,y)?12x?8xy?y的极值点来说明当点(x,y)在过p0(x0,y0)的任一直线上变动时，二元函数f(x,y)都在p0(x0,y0)处取得极值，能否断定该函数在p0(x0,y0)处取得极值？ 高等数学(i、ii)期中考试题 xxxx年5月8日 一、填空（每小题5分，共20分） 1求函数f(x,y)?elnsin(x?2y)在?x?,0?点处的全微分df? 。 ?4? 4 2设函数u?2xy?z2，则u在点?2,?1,1?处沿方向的方向导数的最大值为 ； 3求曲面x2?2y2?z2?1在点(,?)处的切平面方程为 ； 1

10、12212xz?2z4. 设z?z(x,y)由方程?ln确定，则2? 。 zy?x二、单选题（每小题5分，共20分） ?x?t3?2在曲线?y?t的所有切线中，与平面x?2y?z?4平行的切线（ ）； ?z?t?a只有1条； b只有2条； c只有3条； d不存在； 12. lim2r?0?rx2?y2?r2?ex2?y2。 cos(x?y)dxdy = （ ） a?； b3. 设f(x,y)连续，则i?(a) i?(c) i?1?； c1； d-1； ?e1dx?lnx0。 f(x,y)dy交换积分次序后为（ ） e1?dy?1elnx0ef(x,y)dx； (b) i?ydy?f(x,y)dx； e01e0e?lnx0dy?f(x,y)dx； (d) i?dy?yf(x,y)dx。 1?xy22?22,x?y?04.函数f(x,y)?x?y在(0,0)处（ ）。 22,x?y?0?0?a无定义； b连续； c有极限但不连续； d无极限； 三、（10分）设函数f(u,v)可微，z?z(x,y)是由方程z?xy?f(xz,yz)确定的可微函数，求 ?z?z,； ?x?y四、（10分）讨论函数f(x,y)?xy在(0,0)处的连续性、可导性、可微性。 22五、（10分）在曲面?:z?x?2y上求一点p(x0,y0,z0)，使它到平面?:x?