补充二：函数定义域与值域的求法（北师大版）

1、补充二：函数定义域与值域的求法（北师大版） 补充二：函数定义域及值域的简单求法（北师大版） 教学目标：让学生了解并掌握解析式函数的定义域及值域的简单求法。 重点：用几种常见的方法来求函数的定义域机制与。 难点：列表法定义域及值域；图像法的定义域及值域的坐标轴投影法；解析式函数的定义域及值域求法的运用。 教学过程 一、定义域是函数y?f?x?中的自变量x的范围。 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负 二、值域是函数y?f?x?中的函数值y的取值范围。 （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）配方法 （4）不等式法 三、若函数是以列表给出的，则其表中自变量x的所有取值构成的集合就是

2、该函数的定义域；表中函数值y的所有取值就是该函数的值域。 四、若函数是以图像给出的，则其图像在x轴上的投影覆盖的范围就是该函数的定义域；图像在y轴上的投影覆盖的范围就是该函数的值域。 三、典例解析 1、定义域问题 例1 、求下列函数的定义域： f(x)?1x?2； f(x)?1x?23x?2； f(x)?x?1?12?x 解：x-2=0，即x=2时，分式 而x?2时，分式 1无意义， x?223x+232而3x?2?0，即x?时，根式3x?2才有意义， 32这个函数的定义域是x|x?. 3有意义，这个函数的定义域是?x|x?2?. 当x?1?0且2?x?0，即x?1且x?2时，根式义， 这个函

3、数的定义域是x|x?1且x?2 ?x?1?0?x?1另解：要使函数有意义，必须： ? ? ? 2?x?0x?2?x?1和分式 12?x 同时有意 例2 、若函数y?ax2?ax?1a的定义域是r，求实数a 的取值范围 第 1 页 共 5 页 解：定义域是r,ax2?ax?1a?0恒成立， a?0?1等价于?0?a?2 2?a?4a?0?a?例3 、若函数y?f(x)的定义域为?1，1，求函数y?f(x?解：要使函数有意义，必须： 1?1?x?1?4?1?1?x?14?543114)?f(x?14)的定义域 4?3?x?3 544?x?4433?)的定义域为：?x|?x? 444?x?3函数y?

4、f(x?14)?f(x?练习： 已知f(x2)的定义域为1，1，求f(x)的定义域 若y?f?x?的定义域是?0,2?，则函数f?x?1?f?2x?1?的定义域是 ?1,1? 已知函数f?x? 1?x1?x（ ） ?0,? 2?1?11?,? 22? ?,1? 2?1? 的定义域为，函数y?f?f?x?的定义域为，则 a?b （ ） a?b?b b?a a?b?b 小结：1.已知f(x)的定义域，求复合函数fg?x?的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为x?a,b?，求出fg(x)中a?g(x)

5、?b的解x的范围，即为fg(x)的定义域。 2.已知复合函数fg?x?的定义域，求f(x)的定义域 方法是：若fg?x?的定义域为x?a,b?，则由a?x?b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。 3.已知复合函数fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由fg?x?定义域求得f?x?的定义域，再由f?x?的定义域求得fh?x?的定义域。 4.已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集， 第 2 页 共 5 页 即先求出各个函数的定义域，再求交集。

6、2、求值域问题 利用常见函数的值域来求（直接法） 一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为r，值域为r； 反比例函数y?kx(k?0)的定义域为x|x?0，值域为y|y?0； 二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的定义域为r， 22当a0时，值域为y|y?(4ac?b)；当a4a4a例1 、求下列函数的值域 y=3x+2(-1?x?1) f(x)?解：-1?x?1，-3?3x?3， -1?3x+2?5，即-1?y?5，值域是-1，5 略 二次函数配方法来求（配方法） 例2 、求下列函数的最大值、最小值与值域： y?x2?4x?1； ；y?x2?4x?1,x?3,4 y?x2?4x?1,

7、x?0,1； y?x2?4x?1,x?0,5； 解：y?x2?4x?1?(x?2)2?3，顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. 抛物线的开口向上，函数的定义域r， x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是y|y?-3 . 顶点横坐标2?3,4， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； 在3,4上，ymin=-2，ymax=1；值域为-2，1. 顶点横坐标2? 0,1，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, 在0,1上，ymin=-2，ymax=1；值域为-2，1. 顶点横坐标2? 0,5，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, 在0,1上，ymin=-3，

8、ymax=6；值域为-3，6. 注：对于二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0), 若定义域为r时， y321-2-1o-1-2-3123456x （1?x?3）3x2第 3 页 共 5 页 当a0时，则当x?当a4a2时，其最大值ymax?(4ac?b). 4a若定义域为x? a,b,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间a,b. 若x0?a,b,则f(x0)是函数的最小值（a0）时或最大值（a若x0?a,b,则a,b是在f(x)的单调区间内，只需比较f(a),f(b)的大小即可 决定函数的最大（小）值. 注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； 当顶点横坐标是字母时，则应

9、根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨 论. 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。（换元法） 例3 、求函数y?x?21?x 的值域 解：（换元法）设1?x?t，则y?t2?2t?1(t?0) ?对称轴t?1?0,?，且开口向下 ?当t?1时，ymax?2?值域为 ?,2? 点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定 出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。 小结：（1）若题目l 2? 2?函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目（数形结合）。 y 例4 、求y?x?3?x?1 的值域 4 -1 第 4 页 共 5 页 0 1 3 x -4 ,x?1?4?解法一：（图象法）可化为 y?2?2x,?1?x?3 如图， ?4,x?3?观察得值域?y?4?y?4? 解法二：（零点法）画数轴 利用a?b表示实数a,b在数轴上的距离 x 0 -1 解法三：（选）（不等式法） ?x?3?x?1?(x?3)?(x?1)?4x?3?x?1?(x?1)?4?x?1?x?1?4?x?1?4可得。 3