随机过程复习题（含答案）

1、随机过程复习题（含答案） 第 1 页 共 11 页 随机过程复习题 一、填空题： 1对于随机变量序列xn 和常数a，若对于任意?0，有 limp|xn?a|?_，则称xn依概率收敛于a。 n? 2设x(t),t?0是泊松过程，且对于任意t2?t1?0， ，则 px(1)?2,x(3)?4,x(5)?6?2?9?e?15px(5)?6|x(3)?4?18e?6 px(1)?2,x(3)?4,x(5)?6?px(1)?x(0)?2,x(3)?x(1)?2,x(5)?x(3)?2?px(1)?x(0)?2px(3)?x(1)?2px(5)?x(3)?2?323?2)22 32!e?(2!e?6?32

2、!e?3?2?9?e?152px(5)?6|x(3)?4?px(5)?x(3)?2?62!e?6?18e?6 3已知马尔可夫链的状态空间为i?1,2,3，初始分布为(1114,2,4)， ?13?0?44p(1)?111?p(7?333?，则122)?16，px0?1,x1?2,x2?2?116?13?0?44?, 第 2 页 共 11 页 ?5?16?72p(2)?p(1)?36?4?48p12(2)?7167161636134841613363148? ? px0?1,x1?2,x2?2?px0?1px1?2|x0?1px2?2|x0?1,x1?2?px0?1px1?2|x0?1px2?2

3、|x1?2?14?34?13?116 4强度?的泊松过程的协方差函数c(s,t)?min(s,t) 5已知平稳过程x(t)的自相关函数为rx(?)?cos?， sx(?)?(?)?(?) 6. 对于平稳过程x(t)，若?x(t)x(t?)?rx(?)，以概率1成立，则称x(t)的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程x(t)的谱密度为s(?)?1?12 22?422?3?2，则x(t)的均方值 = 2s(?)?2?1?12?112?1?22 222?(2)2?1?2?2rx(?)?12e?2?12e? 第 3 页 共 11 页 x(t)的均方值?(?)?rx(0)?2x12?12 8.

4、随机相位过程x(t)?acos(?t?),其中a,?为常数，?为(0,2?)上服从均匀分布的随机变量，则 ?x(t)x(t?)?a2?x(t)?0， 2cos? 9设马尔可夫链xn,n?0,1,2,?的状态空间i?0,1，则一步转 ?0.9移概率矩阵为p?0.1210.1?p(0)?(,)，初始分布为则x2的?330.9?分布律为 p(2)?(1823002,118300)，p(x2?1,x3?1,x4?0)?0.0354 0.18? 0.82?p(2)?p?0.82?0.1821?0.82p(2)?p(0)p(2)?(,)?33?0.180.18?182118,) ?(3003000.82?

5、p(x2?1,x3?1,x4?0)?p(x2?1)p(x3?1|x2?1)p(x4?0|x2?1,x3?1)?p(x2?1)p(x3?1|x2?1)p(x4?0|x3?1)?118300?0.9?0.1?0.0354n 10.设x矩阵为 (n?0,1,2.)是只有两个状态的齐次马氏链，其n步转移概率 第 4 页 共 11 页 1?1?n3p(n)?dn?cn?，则cn?1?n?2?13ndn?1?12n 13设e(x)?，d(x)?2，则由切比雪夫不等式 p(|x?|?3?)?_； x1,x2,?xn?14随机变量序列 e(xi)?,d(xi)?2独立同分布,且 0 n?xi?n?i?1,2?

6、 ,则对任意实数x,limpi?1n?n?x?_ 二、计算与证明： 1设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为，晴天转雨天的概率 31为，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨 21天状态，x表示第n天的状态（0或1）。 n（1） 写出马氏链xn,n?1的一步转移概率矩阵； （2） 在5月1日为晴天的条件下，5月3日为晴天；5月5日为雨 天的概率各是多少？； 解：i?0,1， ?1?2(1)p(1)?1?31?2?1? ?3?第 5 页 共 11 页 ?5?12(2) p(2)?7?187?512?11?, p(x3?0|x1?0)?p00(2)?12 ?18?173?432p(4)?259?648259?259432?p(x?0|x?0)?p(4)? 5101389, 432?648?2/301/30?2/3?，证明2/3?1/3?2设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为p?1/3?0?此链具有遍历性，并求其平稳分布。 ?3/9?2解：p(2)?p(1)?1/9?1/9?2/94/92/94/9?4/9? 6/9?由于p(2)中不含有零元，故此链具有遍历性。 ?1?2?1，即?3?1?132323?1?1?221313233?2解方程组?p和?i3 3?1解得?1? 17,?2?27,?3124?，故