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1、第九讲 积分第一中值定理的叙述方式及其应用 积分第一中值定理无论在理论上或应用上都在积分学中有重要意义。深入掌握定理的条件、结论及其证明方法，并用它来解决问题是十分重要的。积分第一中值定理的叙述方式不同，应用它解决问题的方便程度也有所不同。目前一般的数学分析教材中，积分第一中值定理有如下的叙述方式： 定理1 设，且在不变号，则。 关于定理1的叙述方式及相应的证明，有如华东师大、吉林大学、刘玉琏等编的数学分析教科书。 定理1中的结论， 可以改为。将闭区间改为开区间，有时应用起来更方便。 定理2 设，且在不变号，则。 证明：因为 所以在上有最大值M，最小值m，设。先证明存在常数有。 （9。1）不妨

2、设，则，且若，则与之间的任何数都可为。若，则，取，则，。 现证定理2，若，定理2显然成立。今设。（1） 若（9。1）式中的满足：，由于，所以存在，不妨设，因为在连续，从而，有。（2） 若至少有一个等号成立，不妨设，则。若则定理已成立。假如，则将导致矛盾。事实上，因为已有和。 今将闭区间作等分，从左到右记各小区间为，并记 。又记的长度为，则适当取，总可使积分。 （9。2）因若对一切均有矛盾。又因为， （9。3）这里， ， （9。4）由（9。2）、（9。3）、（9。4）知至少存在一个子区间，使其相应积分，注意到闭区间上的连续函数 ，记，则，从而矛盾。故。 证明某些命题，应用定理2的结论比应用定理财的结论更为简单。 例1（第八讲第6题）设在连续，证明：。（武汉大学2003年试卷）证明：因为在连续，对任意的自然数，因为，由的连续性，所以，从而有。所以，。 例2证明： 证明：方法1：用定理1证明。，从而有，所以，从而有，所以，。 方法2：用定理2证明。由定理睬，知。 例3证明不等式。证明

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