第12讲--平行四边形提高篇

1、第十二讲 平行四边形提高篇学习目标1直接运用平行四边形和特殊特征解决某些问题，如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等2、平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。一、知识回顾平行四边形的性质判定平行四边形矩形菱形正方形性质边对边平行且相等对边平行且相等对边平行，四边相等对边平行，四边相等角对角相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角对角线互相平分互相平分且相等互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等;两组对角分别相等；两条对角线互相平分.有三个角是直角;

2、是平行四边形且有一个角是直角;是平行四边形且两条对角线相等.四边相等的四边形；是平行四边形且有一组邻边相等；是平行四边形且两条对角线互相垂直。是矩形，且有一组邻边相等；是菱形，且有一个角是直角。对称性只是中心对称图形既是轴对称图形，又是中心对称图形面积S= ahS=abS=S= a2课前热身：1、如图，ABCD为正方形，E是CF上一点，若DBEF是菱形，则EBC=_。（A）15 （B）22 (C)30 (D)25 2如图，在梯形ABCD中，ADBC(BCAD),D=90,BC=CD=12, ABE=45。若AE=10，则CE的长为_。3已知在ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，AB=10，

3、AB与CD间距离为8，AE=BE，BF=FC，求DEF的面积；答案1A；26；3(1)30 二、 例题辨析例1、如图所示，在RtABC中，AB=AC，A=90，点D为BC上任一点，DFAB于F，DEAC于E，M为BC的中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论解：MEF是等腰直角三角形证明如下：连接AM，M是BC的中点，BAC=90，AB=AC，AM=BC=BM，AM平分BACMAC=MAB=BAC=45ABAC，DEAC，DFAB，DEAB，DFACBAC=90，四边形DFAE为矩形DF=AEDFBF，B=45BDF=B=45BF=FD，B=MAE=45，AE=BFAM=BM AE

4、MBFM（SAS）EM=FM，AME=BMFAMF+BMF=90，AME+AMF=EMF=90，MEF是等腰直角三角形变式练习：如图，在ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的角平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论 （1）证明：CE平分ACB，1=2，又MNBC，1=3，3=2，EO=CO，同理，FO=CO，EO=FO（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形EO=FO，点O是AC的中点四边形AECF是平行四边形，CF平分BCA的外角，4=5，又1=2，2+

5、4=180=90即ECF=90度四边形AECF是矩形例2、设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC，试证：BCBD，且BC=BD解：PEAC于E，PFBC于F，ACB=90，CEPF是矩形（三角都是直角的四边形是矩形），OP=OF，PEF+3=90，1=3，PGEF，PEF+2=90，2=3，1=2，ABC是等腰直角三角形，A=ABC=45，APE=BPF=45，APE+2=BPF+1，即APG=CPB，BPD=APG，BPD=CPB，又PC=PD，PB是公共边，PBCPBD（SAS

6、），BC=BD，PBC=PBD=45，PBC+PBD=90，即BCBD故证得：BCBD，且BC=BD变式练习:1、矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分BAD，交BC于E，若EAO=15，则BOE的度数为75度解：AE平分BAD，BAE=EAD=45，又知EAO=15，OAB=60，OA=OB，BOA为等边三角形，BA=BO，BAE=45，ABC=90，BAE为等腰直角三角形，BA=BEBE=BO，EBO=30，BOE=BEO，此时BOE=75故答案为752在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PEBD，PFAC，E、F分别是垂足，那么P

7、E+PF=解：如图，过A作AGBD于G，则SAOD=ODAG，SAOP+SPOD=AOPF+DOPE=DO（PE+PF），SAOD=SAOP+SPOD，PE+PF=AG，等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，PE+PF=AGAD=12，AB=5，BD=13，故答案为： 例3. 已知点P是矩形ABCD内一点，PA、PB、PC、PD把矩形分割成四个三角形，小东对该图形进行了研究。为了探究的需要，小东过点P作PEAD交BC于F,通过一番研究之后得出两条重要结论：（1），（2)；1）请你写出小东探究的过程.2）当P在矩形外时，如图15-2，上述两个结论是否仍成立？若成立，请说明理由；若

8、不成立，请写出你猜想的结论（不必证明）证明：（1）矩形ABCD中，PEAD，四边形ABFE和四边形CDEF都是矩形，。（2）矩形ABCD中，PEAD，由勾股定理，得；.四边形ABFE和四边形CDEF都是矩形,2). 当P在矩形外时，结论（1）不成立；应为结论结论（2）仍然成立.理由：同1）中证明（2）.变式练习：如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=（）解：延长AB，DC，过P分作PEAE，PFDF，则CF=BE，AP2=AE2+EP2，BP2=BE2+PE2，DP2=DF2+PF2，CP2=CF2+FP2，AP2+CP2=C

9、F2+FP2+AE2+EP2，DP2+BP2=DF2+PF2+BE2+PE2，即AP2+CP2=DP2+BP2，代入AP，BP，CP得DP=2，故选 A三、归纳总结归纳1、平行四边形的性质归纳2、平行四边形的判定归纳3、特殊平行四边形的性质与判定四、拓展延伸例1、RtABC中，BAC=90，ADBC于D，BG平分ABC，EFBC且交AC于F求证：AE=CF证 作GHBC于H，连接EH因为BG是ABH的平分线，GABA，所以GA=GH，从而ABGHBG(AAS)，所以 AB=HB 在ABE及HBE中，ABE=CBE，BE=BE，所以 ABEHBE(SAS)，所以 AE=EH，BEA=BEH因为A

10、DGH，所以AEG=BGH(内错角相等) 又AEG=GEH(因为BEA=BEH，等角的补角相等)，AGB=BGH(全等三角形对应角相等)，所以AGB=GEH从而EHAC(内错角相等，两直线平行)由已知EFHC，所以EHCF是平行四边形，所以FC=EH=AE变式练习：如图2-35所示矩形ABCD中，CEBD于E，AF平分BAD交EC延长线于F求证：CA=CF证 延长DC交AF于H，显然FCH=DCE又在RtBCD中，由于CEBD，故DCE=DBC因为矩形对角线相等，所以DCBCDA，从而DBC=CAD，因此，FCH=CAD 又AG平分BAD=90，所以ABG是等腰直角三角形，从而易证HCG也是等

11、腰直角三角形，所以CHG=45由于CHG是CHF的外角，所以CHG=CFH+FCH=45，所以 CFH=45-FCH 由，CFH=45-CAD=CAF，于是在三角形CAF中，有CA=CF例2、等腰梯形ABCD中，ABCD，对角线AC，BD所成的角AOB=60，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中点求证：PQR是等边三角形解答：因为四边形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性质知，它的同一底上的两个角及对角线均相等进而推知，OAB=OBA及OCD=ODC又已知，AC与BD成60角，所以，ODC与OAB均为正三角形连接BP，CR，则BPOA，CROD在RtBPC与RtCRB中，PQ，RQ分别是它们的斜

12、边BC上的中线，所以 PQ=RQ=1/2 BC又RP是OAD的中位线，所以BP=1/2AD 因为 AD=BC， 由，得PQ=QR=RP，即PQR是正三角形变式练习：如图，ABC是直角三角形，C=90，现将ABC补成矩形，使ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图）解答问题：（1）设图中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1 S2（填“”“=”或“”）（2）如图，ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画个，利用图把它画出来（3）如图，ABC是锐角三角形且

13、三边满足BCACAB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出个，利用图把它画出来（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？解：（1）=（2）1（3）3（4）以AB为边长的矩形周长最小，设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L1，L2，L3，BC=a，AC=b，AB=c易得三个矩形的面积相等，设为S，L1=+2a；L2=+2b；L3=+2cL1L2=2（ab）而ab0，abs0，ab0L1L20，L1L2，同理可得L2L3以AB为边长的矩形周长最小五、课后作业1.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（ ） ABCD2. 已知为矩形的对角线，则

14、图中与一定不相等的是（ ） 3.如图，菱形ABCD中，B60，AB2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则AEF的周长为（ ） A B C D 4. 把长为8cm的矩形按虚线对折，按图中的虚线剪出一个直角梯形，打开得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为6cm2，则打开后梯形的周长是（ ）3cm3cmAcmBcmC22cmD18cm5. 如图，矩形ABCD中，AB2，BC3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长_. 6. 如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在CAFDEBG 点 aDCBAMcNEFbGH7题7. 如图，四边形，都是正方形，边长分别为；五点在同一直线上，则 （用含有的代数式表示）8. 已知：