等差数列的前n项和(教学设计)

1、20182019学年第二学期教学设计组别：高中数学组年级： 高 二 姓名： * * * 等差数列的前项和（第一课时）教学设计一、教学目标：1.知识与技能（1）掌握等差数列的前项和公式和公式的推导方法倒序相加法。（2）掌握等差数列的前项和公式的应用。2.过程与方法（1）根据具体情景，通过公式的探索、发现，在公式发生、发展以及形成的过程中培养学生的数学思维能力。(2)遵循由简单到复杂、特殊到一般的认知规律，引导学生通过观察、尝试、分析、类比的方法得出等差数列的前项和公式，培养类比思维能力。（3）通过对公式不同角度、侧面的剖析，培养学生思维的灵活性；通过对公式的具体运用，提高学生分析问题和解决问题的

2、能力。3.情感态度与价值观(1)借助具体的现实问题和丰富的数学史素材，激发学生探索学习的兴趣，产生想学数学的欲望。（2）公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，使学生收到辩证唯物主义的熏陶。(3)通过公式的运用，增强学生学习数学的自信，塑造主动、积极、乐于探究的学习品质，树立“大众数学”的思想意识。二、教学重、难点：重点：探索并掌握等差数列的前项和公式，学会用公式解决一些实际问题； 难点：等差数列的前项和公式的推导过程（类比思维的体现）。三、教学方法：问题情景教学；启发引导式教学；问题解决教学。四、教具准备： 导学案、幻灯片五、教学设计(一）回顾复习等差数列是一种重要的数学工具，之前我们已经学习

3、等差数列的概念、通项公式、性质。填空：等差数列的概念（递推公式） =常数,常数叫做等差数列的 ；等差数列的通项公式： ；等差中项：如果两个数的等差中项为,那么= ； 等差数列的性质：若，则 ； 特别地，若，则 ； 等差数列中，；设数列的前项和为，则 .设计意图: 复习相关知识，为后面等差数列求和公式的推导打下基础，所谓“温故知新”。(2） 新课引入引例：泰姬陵是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图

4、），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？设计意图：设计源于历史、富有人文气息的问题情境，增强学生对本节课知识的兴趣。问题1：高斯（1777-1855），德国著名数学家，是数学史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”，300多年前，高斯的数学老师提出了下面的问题：1 + 2+ 3+100=？设计意图：提出问题，此题可以引发学生积极思考，借助问题的解答，使学生初步感受倒序相加的方法。问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 1+2+3+21=? 方法一：直接相加法 方法二：“首尾配对”摆出几何图形 方法三：等差数列的角度 两式相加 设计意图：在知道了高斯算法之后，同

5、学们很容易把本题与高斯算法联系起来，但是问题1中100个数可以配对50对，问题2中21个数不能全部配对（当然也可以计算结果），引导学生借助几何图形,将两个三角形拼成平行四边形计算点数.对问题1的算法作以拓展，进一步体会高斯算法。问题3：用刚才的新方法求和1+2+3+4+；教师板书： 两式相加 设计意图：层层设问，思维顺应。由问题2中的有穷数列到问题3的无穷数列，用高斯算法解决含有序号的等差数列的求和，为下一步用倒序相加法求一般等差数列前n项和做准备。(3） 新知探究 （1）设置疑问，引发思考问题4：设等差数列的前n项和为，则,如何求？由前面的例子，不难用倒序相加法推出 两式相加 设计意图：在前

6、面两个问题的基础上，问题提出了一般等差数列求和公式的推导，鼓励学生自助探究，利用“倒序相加”的数学方法推导公式。（2）探究发现，类比记忆：问题5：你能记住这个公式吗？分析这个公式的形式结构？和以前学过的那个数学公式很像？设计意图：提示学生可以类比梯形面积公式记忆此公式，帮助学生记忆求和公式。纵向对比两个知识点，数（求和）形（梯形）结合，同化记忆，对“数形结合”的理解更加深一层。有这样一个梯形，上底长为，下底长为，高为，求这个梯形的面积为多少平方米？面积公式：（3）启发引导，合作探究问题6：启发学生，公式中出现了,可由，确定，利用通项公式，是否能得出变形公式呢？ 即：学生动手得出等差数列的前n项

7、和变形公式并记忆。思考：比较这两个公式，说说他们从那些角度反映了等差数列的性质？在理解公式的基础上记忆公式。实质上，公式一反映了等差数列的重要性质等距性，公式二反映了等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数。750080008500900095001000010500（四）新知应用、典例剖析例1、 某长跑运动员天里每天的训练量（单位：m）是： 这位长跑运动员天共跑了多少米？解：设运动员的运动量构成等差数列,其中， 方法一：直接用公式得 方法二：用公式得 变式练习：一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片21块，往下每一层多铺一块，斜面上铺了瓦片19层，共铺了多少块？解：设屋顶的瓦片数从

8、上到下分别是则它们构成等差数列,其中,， .将， 代入求和公式二，得： =570其他思路：用公式 得 解题点拨：通过例题1要让学生学会应用等差数列的两个求和公式，学会从实际问题中找到公式中相应的量，然后利用公式解决问题。在讲解的过程中随时强调解题过程的书写。在公式的选用中，强调：已知、则用公式一，已知、则用公式二。例2、借助等差数列的前n项和公式计算填空：（1） 已知等差数列-4,-1,2,5,则 ， ， ， ； （2） 已知等差数列8，6，4，2， ，则 ， ， ， ；（3） 已知等差数列1，2，3，4， ，则 ， ， ， ；学生活动：以小组为单位进行合作训练，组内同学互相帮助，让每个同学都

9、会做，然后按小组分别将本小组的完成情况到黑板上进行展示，并进行讲解（分为5组完成）。解：（1）； .（2）；.（3），。设计意图：学生基础比较薄弱，本题为学生熟练运用等差数列的求和公式而设置，有具体的前几项和计算，又有一般的前n项和计算，为下节课的知识点：利用前n项和的表达式判断一个数列是否是等差数列，以及为片段和性质教学做好准备，通过小组合作，以期达到学习效率的最大化。思考：等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，如果一个数列的前n项和公式是关于n的二次函数，那么这个数列是等差数列吗？ 备用例题：等差数列an的首项为，公差为d，项数为n，第n项为，前n项和为，请填写下表： 51010-28104-38-10-360(5) 随堂练习教科书第45页练习第1题(6) 课堂小结问题：通过今天的学习，你有什么收获，做出本节的课堂小结？由高斯算法，推导出等差数列的两个前n项和公式和，体会倒序相加法的思路，在问题解决中体会特殊到一般的数学方法，体会方程和函数的数学思想。(7) 作业布置 教科书46页习题2.3A组第1题，第2题七、板书设计板书设计等差数列前n项的和 一、等差数