用二分法求方程的近似解

1、课题：用二分法求方程的近似解,用二分法求方程的近似解,教学目标：,（1）知识目标：掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借 助计算机或计算器求方程的近似解；理解二分法求方程 近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系； （2）能力目标：培养学生利用现代信息技术和计算工具的能 力；培养学生探究问题的能力与合作交流的精神，以及 辩证思维的能力； （3）情感目标：鼓励学生大胆探索，激发学生学习数学的兴 趣，培养学生探寻和欣赏数学美，形成正确的数学观。,教学重点：能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识.,教学难点：恰当地使用

2、信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解，理解逼近思想,四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论,（一）复习旧知，提出问题,方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点,零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) .f(b)0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b)内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c 也是方程f(x)=0的根。,问题1.你能判定下面方程的根存在吗？你用的什么方法？，如果存在，你能将它们求解出来吗？(1) x2-2x-1=0 (2) 2x=4-x

3、(3)x3+3x-1=0,（二）史料学习，引出课题 高次多项式方程公式解的探索 在十六世纪，已经找到了三次方程和四次方程的求根公式，但对于高于4次的方程，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔和伽罗瓦的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解，同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算。因此，对于高次多项式方程和超越方程，有必要寻求其函数零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题。,课题：用二分法求方程的近似解,广汉中学 钟昌繁,(三)创设情境，引入课题,幸运52曾经现

4、场直播，进行一个猜价格游戏：正确格价是1，100的某一个整数，要求最多7次猜中算成功，否则算失败。对于同学每次猜测的结果，计算机的会提示是“对了”或“大了”或“小了”,幸运有奖竟猜,问题1.能否求解以下几个方程 (1) x2-2x-1=0 (2) 2x=4-x (3) x3+3x-1=0,指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运用于解另外两个方程。,四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论,（四）新课探究 形成新知,可得：方程x2-2x-1=0 一个根x1在区间(2,3)内，另一个根x2在区间(-1,0)内,问题2不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正

5、的近似解（精确到0.1）?,由此可知：借助函数f(x)= x2-2x-1的图象， 我们发现f(2)=-10，这表明此函数图象在区间(2,3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.,画出y=x2-2x-1的图象，如图,四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论,思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？,四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论,函数f(x)=x2-2x-1 ,f(2)=-10,2.5,0.25,(2,2.5),2.25,-0.4375,(2.25,2.5),2.375,-0.2351,(2.375,2.5),2.4375,0.105,(2.

6、375,2.4375),2.4062,-0.0226,函数f(x)=x2-2x-1,区间的 长度 |a-b|,1,0.5,0.25,0.125,0.0621,问题3能否给二分法下一个定义呢？,对于在区间a,b上连续不断，且f (a)f (b)0的函数y=f (x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法。,四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论,问题4：二分法实质是什么？,用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近思想逐步缩小零点所在的区间。,数学建构,练习1：利

7、用计算器，求方程2x=4-x的近似解 （精确到0.1）,怎样找到它的解所在的区间呢？,在同一坐标系内画函数y=2x 与y=4-x的图象，如图：,得:方程有一个解x0 (0,4),四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论,(五）课堂练习，巩固新知,解：设函数f(x)=2x +x-4，且f(0)=-30,列表如下,2,2,4,（0 , 2）,1,-1,2,(1 , 2),1.5,0.33,1,(1 , 1.5),1.25,-0.37,0.5,(1.25 , 1.5),1.375,-0.031,0.25,(1.375 , 1.5),1.4375,-0.146,0.125,(1.375

8、, 1.4375),0.0625),解：设f(x)=2x +x-4,且f(0)=-30,四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论,问题5：能否给出设定了精确度二分法求解方程f(x)=0(或 g(x)=h(x)近似解的基本步骤？,1.43751.3750.06250.1，x01.4,四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论,；,5.判断是否达到给定的精确度即，若达到，则得出近似解a（或b)；若未达到，则重复步骤35。简记:（一转，二定，三中，四算，五判断）,1.求方程的根转化成求函数的零点 x0,2.确定零点所在的一个区间 a,b ,（寻找区间的方法：用f(a).f(

9、b)0验证；图象寻找）,4.计算f(c),若f(c)=0，则c就是函数零点。 若f(a)f(c)0，则令c=b（此时零点x0(a,c)）； 若f(b)f(c)0 ，则令c=a （此时零点x0(c,b) ）；,3.取中求区间a,b的中点,四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论,练习2: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是 （ ）,C,练习3：用二分法求方程3x+3x-8=0在x（1,3）内近似解的过程中取区间中点x0=2，那么下一个有根区间为 ( ) A（1，2） B（2，3） C（1，2）或（2，3） D不能确定,A,从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某一个接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几个接点？（）,四大数学思想：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论,（六）新知拓展，生活运用,4,(七）课堂小结,（1）二分法的基本思想是 取中，逼近 ； （2）初始区间的选定的方法有 运用零点存在定理，图象 ； （3）利用二分法求方程的近似解的具本步骤是：一转，二定，三中，