线性代数习题三及答案

1、郑州航空工业管理学院20062007学年第一学期课程考试试卷（A）卷一、填空题（本题总计16分，每小题2分）1、 排列的逆序数是 2、 若，则 3、 设A为三阶可逆阵，则 4、 若A为矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 5、 已知五阶行列式，则 6、 若n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为n-1 ，则其解空间的维数为 7、 若与正交，则 8、 若矩阵A的特征值分别为1、1、2 ，则 二、选择题（本题总计20分，每小题2分）1、 若齐次线性方程组 有非零解，则的范围为( ) 且且2、 设n阶矩阵A和B满足AB=0，则( ) 3、 设A为三阶矩阵，为A的伴随矩阵，且，则( )4、 向量

2、组线性相关且秩为s，则( )5、 设向量组A能由向量组B线性表示，则( )6、 若A为三阶方阵，且，则( )7、 若n元非齐次线性方程组的增广矩阵的秩，则方程组( )有唯一解有无穷多解无解无法判断解的情况8、 n阶方阵A的秩的充要条件为( )A有r阶子式不等于零A的阶子式都为零A的任一个r阶子式都不等于零A的任个列向量线性相关，而有r个列向量线性无关9、 设非齐次线性方程组有两个不同的解为，则下列向量是方程组的解是( )10、 已知n阶方阵A、B和C满足ABC=E，其中E为n阶单位矩阵，则( )三、计算题（本题总计56分，5、6每小题10分，其他每小题9分）1 已知矩阵，求及.2 求n阶行列式

3、的值3 求矩阵的逆4 求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解5 已知向量组、，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示6 求矩阵的特征值和特征向量四、证明题（本题总计8分）已知向量组（），（），（），如果各向量组的秩分别为3、3、4证明：向量组的秩为4郑州航空工业管理学院20062007学年第二学期考试试卷答案及评分标准（B）卷一、填空题（本题总计20分，每小题 2 分）1、；2、0；3、；4、；5、；6、； 7、2； 8、； 9、 0； 10、二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2分）1、D；2、A；3、C；4、B；5、C三、计算题（

4、本题总计60分，每小题10分）1、解：特征方程从而A的特征值为(4分)当时，由方程得基础解系，即对应于的全部特征向量为；(7分)当时，由方程得基础解系，即对应于的全部特征向量为.(10分)2、解：（5分）（10分）3、解：由，求得，从而， （5分）故（10分）4、解：对增广矩阵B施行初等行变换即得： （4分） 取分别为得基础解系为： （7分）另外取得方程组的一个解 （9分）原方程组的通解为：.（10分）5、解：设矩阵通过初等行变换，得到其行最简形矩阵为： （6分）故矩阵A的1、2、4列即为A的列向量组的一个最大无关组；（8分）且，.（10分）6、解：由，（3分）得（6分）所以（8分）（10分）

5、四、证明题（本题总计10 分）证：（1）因为线性无关，所以线性无关，而线性相关，故可由向量组线性表示；（4分）（2）反证法：假设可由向量组线性表示，由（1）知可由向量组线性表示，从而可由向量组线性表示，则线性相关，这与后个向量线性无关矛盾. 故不能由向量组线性表示. （10分）郑州航空工业管理学院20062007学年第一学期课程考试试卷（B）卷一、填空题（本题总计20分，每小题2分）9、 排列的逆序数是 10、 ，则 11、 设A为四阶矩阵，则 12、 已知n阶方阵A、B和C满足ABCE，其中E为n阶单位矩阵，则 13、 若A为矩阵，则非齐次线性方程组有无穷个解的充要条件是 14、 已知四维列

6、向量、，且，则 15、 若n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则其解空间的维数为 16、 已知向量，则 17、 若与正交，则 18、 若矩阵A的特征值分别为1、2、3 ，则 二、选择题（本题总计20分，每小题2分）11、 若齐次线性方程组 有非零解，则 12、 设n阶矩阵A的行列式等于D，则 13、 以下等式正确的是 14、 设向量组B能由向量组A线性表示，则15、 矩阵A、B、C满足CAB，则A且且16、 设A为三阶矩阵，为A的伴随矩阵，且，则17、 设非齐次线性方程组有两个不同的解为，则下列向量是方程组的解是18、 若n元非齐次线性方程组的增广矩阵的秩，则方程组有唯一解有无穷多解无解无法判

7、断解的情况19、 n阶方阵A的元素全为n，则A的秩为01n20、 若A为三阶方阵，且，则 三、计算题（本题总计50分，每小题10分）7 计算n阶行列式8 求矩阵A的逆9 求非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的基础解系及原方程组的通解10 已知向量组、，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示11 求矩阵的特征值和特征向量四、证明题（本题总计10分）已知矩阵和满足AB=E，其中E为m阶单位矩阵，且，证明：A的行向量组和B的列向量组都线性无关.试卷编号： 郑州航空工业管理学院2006 2007学年第 一学期考试试卷答案及评分标准（ B ）卷一、填空题（本题总计 20 分，每

8、小题2分）1. 18；2. 12；3. 216或；4BC；5R(A)=R(A,b)n；675；83；95；10420二、选择题（本题总计 20 分，每小题 2 分）1.D；2.C；3.D；4.A；5.D；6.D；7.B；8.D；9.B；10.C三、计算题（本题总计 50 分，每小题 10 分）1.计算n阶行列式 (2分) (6分)！ (10分) 2求A的逆矩阵解：= (2分) (6分) (10分) 3求非齐次线性方程组对应齐次线性方程组的基础解系及非齐次方程组的通解 解： (2分)取为自由未知量得齐次线性方程组的解：令，得基础解系 ， (4分)令得非齐次线性方程组的特解，则通解为X= ， (4分)4A= (2分) (4分) R(A)=3, 就是向量组的一个极大无关组 (6分)则 (8分) (10分) 5求三阶矩阵A=的特征值和特征向量 解：0 (1分) 解得 ， (4分) 时， 得基础解系 则即为对应于特征值的特征向量 (5分)时， (6分) 得基础解系 ，则即为对应于特征值的特征向量 (7分) 时， (8分) 得基础解系 则即为对应于特征值的特征向量 (10分)四、证明题（本题总计