优秀教学课件《函数的四则导数》.ppt

1、函数的和、差、积、商的导数,前课复习,1.求函数的导数的方法是:,2.函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率.,3.常见函数的导数公式:,公式1:,公式2:,公式3:,公式4:,由前课的内容可知函数y=x2的导数为y=2x,那么,对于一般的二次函数y=ax2+bx+c,它的导数又是什么呢?这就需要用到函数的四则运算的求导法则.,1.和(差)的导数:,法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:,证:,即:,新课教学,2.积的导数:,法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个

2、函数乘第二个函数的导数 ,即,证:,因为v(x)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是当x0时,v(x+x)v(x).从而:,新课教学,即:,3.商的导数:,推论:常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数, 即:,法则3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即:,思考:你能否仿照积的导数的推导过程,证明商的导数公式吗?,有了前面学过的常见函数的导数公式与函数的四则运算的求导法则,就可以直接运用这些公式求得由幂函数的和、差、积、商构成的函数,而不必从导数定义出发了.,新课教学,解：,法二：,例题讲解,例:求下列函数的导数:,答案:,例题讲解

3、,例:(1)命题甲:f(x),g(x)在x=x0处均可导; 命题乙:F(x)=f(x)+g(x)在x=x0处可导,则甲是乙成立的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)即不充分也不必要条件,A,(2)下列函数在点x=0处没有切线的是( ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= +cosx,D,(3)若 则f(x)可能是下式中的( ),B,(4)点P在曲线y=x3-x+2/3上移动时,过点P的曲线的切线的倾斜角的取值范围是( ),D,例题讲解,例:某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足s= -4t3+16t2

4、. (1)此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零?,解:(1)令s=0,即1/4t4-4t3+16t2=0,所以t2(t-8)2=0, 解得:t1=0,t2=8.故在t=0或t=8秒末的时刻运动物体在始点.,即t3-12t2+32t=0,解得:t1=0,t2=4,t3=8,故在t=0,t=4和t=8秒时物体运动的速度为零.,例题讲解,例:用求导的方法求和:,例题讲解,例:在曲线y=x3-6x2-x+6上,求斜率最小的切线所对应的切点,并证明曲线关于此点对称.,解:由于 ,故当x=2时, 有最小值.,而当x=2时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点为A(2,-12).,记曲线为

5、S,设P(x,y)S,则有y=x3-6x2-x+6.,又点P关于点A的对称点为Q(4-x,-24-y),下证QS.,将4-x代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6 =64-48x+12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30 =-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y.,即Q(4-x,-24-y)的坐标是S的方程的解,于是QS.,这就证明了曲线S关于点A中心对称.,练习1:已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4; (1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程; (2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其它公共点?如果有,求出这些点的坐标.,解:(1)把x=1代入曲线C的方程得切点(1,-4).,所以切线的斜率 k=12-6-18=-12故切线方程为y+4=-12(x-1),即y=-12x+8.,故除切点以外,还有两个交点(-2,32),(2/3,0).,课堂练习,1:充分掌握函数的四则运算的求导法则.,2:先化简,再求导是实施求导运算的基本方法;是化难为易、化繁为简的基本原则和策略.,3:在解决与曲线的切线有关的问题时,应结合函数与方