高二数学 7.1 直线的倾斜角和斜率同步辅导教材

1、高二数学 7.1 直线的倾斜角和斜率同步辅导教材 7.1 直线的倾斜角和斜率 一、本讲进度 7.1 直线的倾斜角和斜率 课本第34页至第38页 二、本讲主要内容 1、初步理解“直线的方程”与“方程的直线”两个概念； 2、掌握直线的倾斜角和斜率的概念，能熟悉运用斜率的定义式和坐标式解题。 三、学习指导 1、从本讲开始，同学们开始接触数学的一个重要的分支平面解析几何。它的研究对象是平面几何中的图形，研究方法是通过代数的有关知识（方程组，不等式等）去解决平面图形的位置关系及几何性质，最基本的研究工具是坐标系。这种处理问题的思路称为解析法。 通过建立平面直角坐标系，建立了平面图形的最基本元素点与实数集

2、中对有序实数对（x，y）之间的一一对应关系。在此基础上，建立了图形与方程之间的一一对应关系，进而将形的问题等价转换为数的问题，如图形的几何性质转化为方程特征，图形之间位置关系转化为方程组的解，等等。例如，直线与二元一次方程之间的对应关系，由作函数图象的描点法可知，当某点的坐标满足函数解析式（横、纵坐为对应的原象与象）时，该点一定在该函数对应的图象上；尽管描点法指的是特殊点，实质上我们知道，该图象上所有点的坐标都满足该图象对应的解析式。借助于函数与方程的思想，用解析几何的语言可叙述为： 以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；同时，这条直线上的所有点的坐标都是该方程的解。此时称该方程为“直线

3、的方程”，这条直线是“方程的直线”。正因为有这样对应关系，所以可简说成“直线y=kx+b”。 上述概念体现了形与数互相转化的两个方面：点直线上?坐标满足方程；有序数对是方程的解 ?点在线上。 2、用解析法研究几何问题的一般步骤是：建立坐标系；设出必需的点的坐标；代数运算得到问题的代数解；代数解回到几何解。 在用代数方法求解过程中，除未知数x、y及已知量外，有时还需引入适当参数。 3、倾斜角与斜率之间的关系实质上是正切函数性质的体现。 （1）已知倾斜角为，求斜率k时 k 0 0 （0，?） 2? 2不存在 （?,?） 2（0，+） （-，0） （2）已知斜率k，求倾斜角时 法一：k0时，=arc

4、tank k1 k4、斜率的坐标公式是借助于向量工具推导的。同学们在学习过程也应注重对已学知识的复习及运用。 k0时，=arccot 由教材p36方向向量的定义，p1p2的方向向量为p1p2（r），其中一个特殊的方向向量为（1，k），k为直线p1p2斜率，它在后面研究直线位置关系时仍会用到。 四、典型例题 例1、试用解析法证明： abc中，m为bc中点，则ab+ac=2(am+mc)。 解题思路分析： 2 2 2 2 ? 第一步是建立适当的坐标系，所谓适当，是指借助于图形的对称性，或使尽可能多的点在坐标轴上，或尽可能将图形置于第一象限，等等。就本题来讲，可以如图建立坐标系，也可以把点m作为原点

5、，bc所在直线为x轴等。 第二步是设出必要的已知量。本题abc确定，可设b（0，0），c（a，0），a(b，c)，同时确定与已知量相关的量，如本题m( a，0)。 2第三步是借助于代数运算解决几何问题，利用两点间距离公式可求出欲证等式中相关量的长度。 |ab|=b+c，|ac|=(b-a)+c |ab|+|ac|=a+2b+2c-2ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a22a2a22 |an|=(b-)+c，|mc|=(a-)= 4222 a2222 ?ab)=a+2b+2c-2ab 2(|am|+|mc|)=2(b+c+22 2 2 2 |ab|+|ac|=2(|am|+|mc

6、|) 最后写出原命题需证的结论： ab+ac=2（am+mc） 注：本题结论是很有用的一个结论，同学们最好能够记住它。若不用解析法，这道题该怎么解，请同学们思考。 例2、已知m(-4，2)，n(2，15)，若直线的倾斜角是直线mn的倾斜角的一半，求直线斜率。 解题思路分析： 思路一：直接法思路。按照题目的逻辑关系，应先求出mn的倾斜角，再求的倾斜角。当然只需求出相关角的三角函数值即可。 设直线mn倾斜角为，则tan= tan0 （0， sin= 2515?3=2 2?(?4)2 2 2 2 2222 ?） 2，cos= 15 则直线倾斜角为 ? 21?2515?5?1 2 tan ?1?cos

7、?2sin?5?1 2 k?思路二：间接法思路，即利用解方程思想，设直线倾斜角为，则直线mn倾斜角为2。下找关于tan的等量关系。 tan2=kmn=2 2tan?=2 1?tan? tan+tan-1=0 tan= ?1?5 2 20，） ? 0，) 2 tan= 5?1 2例3、已知p（3，-1），m（6，2），n（-3,围。 （1）直线与线段mn相交； ，直线过点p，求满足下列条件的3）的倾斜角范 （2）直线与线段mn的延长线（或反向延长线）相交； 解题思路分析： 可首先求出直线的斜率范围，画出示意图帮助分析。 考虑临界状态： kpn=1，kpm=- （1）1k-3 333，即1tan-

8、 33 tan在0， tan在（ 当= ?)上递增，由1tan得46 （2）思路一：借助于集合的补集思想 综上所述，倾斜角范围为 kmn= 2?36?3?15?83 33当绕点p绕转0，时，k?r 当mn时，k?直线相交。 k?-315?83，且k? 33315?83，直线33与直线mn无交点；否则，直线与线段mn相交，或与mn是 15?83?5，或?3364思路二：从运动的角度，研究在0之间变化时，直线与mn的位置关系。 倾斜角例4、若直线的斜率k=1-m（mr），求直线的倾斜角范围。 解题思路分析： 首先求出斜率k的范围，将等量关系k=1-m看成是k关于m的二次函数，则k1，即tan1。

9、2 2 其次利用正切函数的单调性：0tan1时，0 0， ?；tan。 42?（，） 42注：由tan范围求范围，也可利用单位圆或正切函数图象。 例5、过p（6，3）的直线与x轴、y轴分别交于a、b两点，若p分有向线段ab所成的分比= ?1，求直线的的斜率和倾斜角。 2解题思路分析： 由斜率的坐标公式，只需求出a，或b的坐标即可。利用解方程的思想。 思路一：设a（a，0），b（0，b） 由分比?kab?xa?xp1a?b公式得：?，a=9 ，a（9，0） xp?xb2635，ab倾解角? 36或利用分比公式：= ya?yb得： yp?yb10?3?，b=33，b（0，33 23?b下略 思路二

10、：利用定比分点公式： xa?xb?x?p1? ? y?yb?y?ap?1?a?6?3?2? ?b ?3?23?2?a?9 ? ?b?33下同思路一。 五、同步练习 （一）选择题 1、若直线过点（1，2），（4，2+3），则此直线倾斜角为： ? b、 c、 d、 64322、设有斜率的直线一定是： a、 a、过原点的直线 b、垂直于x轴的直线 c、垂直于y的直线 d、垂直于坐标轴的直线 3、下列命题中正确的是： a、直线倾斜角为，则些直线的斜率为tan b、直线的斜率为tan，则此直线倾斜角为 c、直线的倾斜角为，则sin0 d、直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或 4、若三点a（2，3），b

11、（a，4），b（8，a）共线，则a值为： a、 0 b、5 c、0或5 d、0或-5 5、直线：y=kx+6沿x轴负向平移3个单位，再沿y轴正向平移1个单位，回到原位置，则k等于： 11a、- b、-3 c、 d、3 3336、已知直线的倾斜角满足sin=，则直线的斜率是： 5433433a、 b、 c、或- d、或- 34434417、过点a（-2，m），b（m，4）的直线倾斜角为-arctan，则实数m的值是： 2a、10 b、2 c、0 d、-8 8、如图直线 1 、 2 、 3 的斜率分别为k1、k2、k3，则： a、k1?)值属于： 4222222） b、-1， c、（，） d、-，

12、） 2222223?，则y等于： 4a、-1 b、-5 c、1 d、5 10、过两点a（4，y），b（2，-3）的直线倾斜角是 （二）填空题 11、直线的倾斜角 ?3,）（,?，则斜率k_。 244212、a（-1，1），b（x，2），c（-2，y）为直线上之点，已知斜率k=2，则x=_，y=_。 13、直线ab过a（3，-5（，b（0，-9），倾斜角为， （1）直线cd的倾斜角为2，则kcd=_； （2）直线ef的倾斜角为 ?，则kef=_； 2?14、已知a（cos，sin），b（cos，sin），、（0，），则直线ab斜率k=_， 2倾斜角=_。 15、如图，abc为正三角形，cde=4

13、5，则三条直线ab、bc、ac的斜率分别是： kab=_ kbc=_ kac=_ （三）解答题 16、过点p（-1，-3）的直线与y轴正半轴无公共点，求直线的倾解角范围。 17、已知a（m，m+1），b（2，m-1），求直线ab倾解角的值。 0 18、已知m（2，-3），n（-3，-2），直线过点p（1，1）且与线段mn相交，求直线斜率范围。 19、用解析法证明：四边平方和等于两对角线平方和的四边形是平行四边形。 20、求函数f(x)?x2?10x?34?x2?4最小值。 六、参考答案 （一）选择题 1、 a 。k? 2、 b 。 3、 c 。 2?3?233?，tan?，?0,?)，?。 4?13361a?32，kac=，代入kab=kac得a-5a=0，a=0，或a=5。 6a?2 5、 a 。思路一：考虑方程特征，平移后直线方程为y-1=k(x+3)+b，y=kx+3k+b+1，由已知3k+b+1=b， 4、 c 。kab 13k+1=0，k=-。 3思路二：考虑直线上的点，设p为上任一点，p（x，y），点p平移后为p，p(x-3，y+1)。由y?1?y1?。 x?3?x33?316、 d 。(0，)，sin=，