人教A高中数学必修二同步学习课件第二章点直线平面之间的位置关系章末复习课

1、章末复习课,第二章点、直线、平面之间的位置关系,学习目标 1.整合知识结构，梳理各知识网络，进一步巩固、深化所学知识. 2.提高综合运用知识的能力和空间想象能力，在空间实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,1.四个公理 公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过 的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 . 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 . 2.直线与直线的位置关系,共面直线,_ _,异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点,两点,不在一条直

2、线上,一条过,该点的公共直线,平行,平行 相交,任何,3.平行的判定与性质 (1)直线与平面平行的判定与性质,a,a，b，ab,a,a，a，b,(2)面面平行的判定与性质,a，b，ab P，a，b,，a， b,(3)空间中的平行关系的内在联系,4.垂直的判定与性质 (1)直线与平面垂直的判定与性质,任意,mnO,a,b,ab,(2)平面与平面垂直的判定与性质定理,l,垂线,(3)空间中的垂直关系的内在联系,5.空间角 (1)异面直线所成的角 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的 叫做异面直线a，b所成的角(或夹角). 范围：设两异面直线所成角为，则09

3、0. (2)直线和平面所成的角 平面的一条斜线与它在 所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角. 当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为 .,锐角(或直角),平面内的射影,90和0,(3)二面角的有关概念 二面角：从一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫做二面角. 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,两个半平面,垂直于棱,题型探究,类型一几何中共点、共线、共面问题,例1如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC

4、12. 求证：(1)E、F、G、H四点共面；,证明,证明BGGCDHHC， GHBD， 又EFBD，EFGH， E、F、G、H四点共面.,(2)GE与HF的交点在直线AC上.,证明,证明G、H不是BC、CD的中点，EFGH. 又EFGH，EG与FH不平行， 则必相交，设交点为M.,M在面ABC与面ACD的交线上， 又面ABC面ACDACMAC. GE与HF的交点在直线AC上.,(1)证明共面问题 证明共面问题，一般有两种证法：一是由某些元素确定一个平面，再证明其余元素在这个平面内；二是分别由不同元素确定若干个平面，再证明这些平面重合. (2)证明三点共线问题 证明空间三点共线问题，通常证明这些

5、点都在两个面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三个点是两个平面的公共点，当然必在两个平面的交线上.,反思与感悟,(3)证明三线共点问题 证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上的问题.,证明OAC，AC平面ACC1A1， O平面ACC1A1. MAC1，AC1平面ACC1A1， M平面ACC1A1. 又已知A1平面ACC1A1， 即有O、M、A1三点都在平面ACC1A1上， 又O、M、A1三点都在平面A1BD上， 所以O、M、A1三点都在平面ACC1A1与平面A1BD的交线上， 所以O、M、A1三点共线.,跟踪训练1

6、如图，O是正方体ABCDA1B1C1D1上底面ABCD的中心，M是正方体对角线AC1和截面A1BD的交点.求证：O、M、A1三点共线.,证明,类型二平行、垂直关系,例2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且ADDE，F为B1C1的中点. 求证：(1)平面ADE平面BCC1B1；,证明,证明因为ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以CC1平面ABC. 又AD平面ABC，所以CC1AD. 又因为ADDE， CC1，DE平面BCC1B1， CC1DEE， 所以AD平面BCC1B1. 又AD平面ADE， 所以平面ADE平面BCC1B

7、1.,(2)直线A1F平面ADE.,证明,证明因为A1B1A1C1，F为B1C1的中点， 所以A1FB1C1. 因为CC1平面A1B1C1，且A1F平面A1B1C1， 所以CC1A1F. 又因为CC1，B1C1平面BCC1B1，CC1B1C1C1， 所以A1F平面BCC1B1. 由(1)知AD平面BCC1B1， 所以A1FAD. 又AD平面ADE，A1F平面ADE， 所以A1F平面ADE.,引申探究 如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点. (1)求证：ACBC1，,证明在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面三边长AC3，BC4，AB5， 所

8、以ACBC. 又因为C1CAC，C1CCBC， 所以AC平面BCC1B1. 因为BC1平面BCC1B1， 所以ACBC1.,证明,(2)求证：AC1平面CDB1.,证明,证明设CB1与C1B的交点为E，连接DE， 四边形BCC1B1为正方形. 因为D是AB的中点，E是BC1的中点， 所以DEAC1. 因为DE平面CDB1， AC1平面CDB1， 所以AC1平面CDB1.,(1)判断线面平行的两种常用方法 面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法： 利用线面平行的判定定理. 利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平

9、面. (2)判断面面平行的常用方法 利用面面平行的判定定理. 面面平行的传递性(，). 利用线面垂直的性质(l，l).,反思与感悟,(3)判定线面垂直的方法 线面垂直定义(一般不易验证任意性). 线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa). 平行线垂直平面的传递性质(ab，ba). 面面垂直的性质(，l，a，ala). 面面平行的性质(a，a). 面面垂直的性质(l，l).,跟踪训练2如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点. (1)求证：BC平面PAC；,证明,证明由AB是圆O的直径，得ACBC， 由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC. 又PAACA，P

10、A平面PAC，AC平面PAC， 所以BC平面PAC.,(2)设Q为PA的中点，G为AOC的重心， 求证：QG平面PBC.,证明,证明连接OG并延长交AC于点M， 连接QM，QO，由G为AOC的重心，得M为AC的中点. 由Q为PA的中点，得QMPC， 又O为AB的中点，得OMBC. 因为QMMOM，QM平面QMO，MO平面QMO，BCPCC，BC平面PBC，PC平面PBC， 所以平面QMO平面PBC. 因为QG平面QMO，所以QG平面PBC.,类型三空间角的求解,例3如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，BABD AD2，PAPD E，F分别是棱AD，PC的中点. (1)证明：E

11、F平面PAB；,证明,证明如图所示，取PB的中点M，连接MF，AM. 因为F为PC的中点，所以MFBC，且MF 1 2 BC. 由已知有BCAD，BCAD， 又由于E为AD的中点， 因而MFAE且MFAE， 故四边形AMFE为平行四边形，所以EFAM. 又AM平面PAB，而EF平面PAB， 所以EF平面PAB.,(2)若二面角PADB为60. 证明：平面PBC平面ABCD；,证明,证明连接PE，BE. 因为PAPD，BABD，而E为AD的中点， 所以PEAD，BEAD， 所以PEB为二面角PADB的平面角. 在PAD中，由PAPD ，AD2，可解得PE2. 在ABD中，由BABD ，AD2，可

12、解得BE1. 在PEB中，PE2，BE1，PEB60， 故可得PBE90，即BEPB. 又BCAD，BEAD，从而BEBC，又BCPBB， 因此BE平面PBC. 又BE平面ABCD，所以平面PBC平面ABCD.,求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.,解答,解连接BF，由知，BE平面PBC， 所以EFB为直线EF与平面PBC所成的角.,(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角). (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). (3)二面角的平面角的作法常有三种：定义法；垂线法；垂面法.,反思与感悟,跟踪训练3如图，正方体的棱长为1，BCBCO，求： (1)

13、AO与AC所成角的大小；,解答,解ACAC， AO与AC所成的角就是OAC. AB平面BC，OC平面BC， OCAB，又OCBO，ABBOB， OC平面ABO. 又OA平面ABO，OCOA.,OAC30. 即AO与AC所成角为30.,(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；,解答,解如图，作OEBC于E，连接AE. 平面BC平面ABCD， OE平面ABCD， OAE为OA与平面ABCD所成的角.,(3)平面AOB与平面AOC所成角的大小.,解答,解OCOA，OCOB，OAOBO， OC平面AOB. 又OC平面AOC， 平面AOB平面AOC. 即平面AOB与平面AOC所成角为90.,当堂训练,2

14、,3,4,5,1,1.若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A.l1l2，l2l3l1l3 B.l1l2，l2l3l1l3 C.l1l2l3l1，l2，l3共面 D.l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面,答案,解析,解析当l1l2，l2l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A错； l1l2，l2l3l1l3，B正确； 当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错； l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D错.,2,3,4,5,1,2.设有不同的直线m、n和不同的平面、，下列四个命题中，正确的是

15、A.若m，n，则mn B.若m，n，m，n，则 C.若，m，则m D.若，m，m，则m,答案,解析,解析选项A中当m，n时，m与n可以平行、相交、异面； 选项B中满足条件的与可以平行，也可以相交； 选项C中，当，m时，m与可以垂直，也可以平行等. 故选项A、B、C均不正确.,2,3,4,5,1,3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面ACE的关系是_.,答案,解析,解析如图，连接BD交AC于点O，连接EO. 在BDD1中，EO綊 1 2 BD1，BD1平面AEC，EO平面AEC， BD1平面ACE.,BD1平面ACE,2,3,4,5,1,4.空间四边形ABCD中

16、，平面ABD平面BCD，BAD90，BCD 90，且ABAD，则AC与平面BCD所成的角是_.,答案,解析,解析如图所示，取BD的中点O，连接AO，CO. 因为ABAD，所以AOBD， 又平面ABD平面BCD，所以AO平面BCD. 因此，ACO即为AC与平面BCD所成的角. 由于BAD90BCD， 所以AOOC 1 2 BD， 又AOOC，所以ACO45.,45,2,3,4,5,1,5.如图，在棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.已知PAAC，PA6，BC8，DF5. 求证：(1)直线PA平面DEF；,证明,证明因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DEPA. 又因为P

17、A平面DEF，DE平面DEF， 所以直线PA平面DEF.,2,3,4,5,1,(2)平面BDE平面ABC.,证明,证明因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA6，BC8， 所以DEPA，DE 1 2 PA3，EF 1 2 BC4. 又因为DF5，故DF2DE2EF2， 所以DEF90，即DEEF. 又PAAC，DEPA，所以DEAC. 因为ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC， 所以DE平面ABC. 又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.,规律与方法,一、平行关系 1.平行问题的转化关系,2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.,二、垂直关系 1.空间中垂直关系的相互转化,2.判定线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理. (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”. (3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”. (4)利用面面垂直的性质.,3.判定线线垂直