2020年中考数学压轴题突破专题4-二次函数与特殊图形的存在性问题

1、2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练 专题04二次函数与特殊图形的存在性问题【真题再现】1（2019年盐城27题）如图所示，二次函数yk（x1）2+2的图象与一次函数ykxk+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k0（1）求A、B两点的横坐标；（2）若OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得ODC2BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由2（2019年连云港26题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：yx2+bx+c过点C（0，3），与抛物线L2：yx2x+2

2、的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分PCR若OQPR，求出点Q的坐标3（2019年无锡27题）已知二次函数yax24ax+c（a0）的图象与它的对称轴相交于点A，与y轴相交于点C（0，2），其对称轴与x轴相交于点B（1）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD，求这个二次函数的表达式；（2）已知P在y轴上，且POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值4（2017

3、年淮安28题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒连接PQ（1）填空：b ，c ；（2）在点P，Q运动过程中，APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，

4、请说明理由；（4）如图，点N的坐标为（，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q的坐标5（2017年宿迁25题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx22x3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标6（2017年常州

5、27题）如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数yx2+bx的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B，当OCB为等边三角形时，求BQ的长度；（3）若点D在线段BO上，OD2DB，点E、F在OAB的边上，且满足DOF与DEF全等，求点E的坐标【专项突破】【题组一】1（2020张家港市模拟）如图，二次函效yx2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）点D为抛物线上一点（1）求抛物线的解析式及A点坐标；（2）若BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求

6、点D的坐标；（3）若BCD是锐角三角形，请写出点D的横坐标m的取值范围2（2020宝应县一模）如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB8，AD10，并设点B坐标为（m，0），其中m0（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）；（2）连接OA，若OAF是等腰三角形，求m的值；（3）如图2，设抛物线ya（xm+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若OAM90，求a、h、m的值3（2019秋邗江区校级期末）如图抛物线yax2+bx+4（a0）与x轴，y轴分别交于点A（1，0），B（4，0），点C三点（1）试求抛物线解析式

7、；（2）点D（3，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足PBCDBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标4（2019秋亭湖区校级期末）如图，抛物线yx2+bx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A（1，0）过点A作直线yx+c与抛物线交于点D，动点P在直线yx+c上，从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点D运动，过点P作直线PQy轴，与抛物线交于点Q，设运动时间为t（s）（1）直接写出b，c的值及点D

8、的坐标；（2）点E是抛物线上一动点，且位于第四象限，当CBE的面积为6时，求出点E的坐标；（3）在线段PQ最长的条件下，点M在直线PQ上运动，点N在x轴上运动，当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请求出此时点N的坐标【题组二】5（2019秋崇川区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与C有怎样的位置关系，并给出证明6（2019徐州一模）如图，已知二次函数ya

9、x2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0）、B（4，0），与y的正半轴交于点C（1）求二次函数yax2+bx+3的表达式（2）点Q（m，0）是线段OB上一点，过点Q作y轴的平行线，与BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将CMN沿CN翻折，M的对应点为D探究：是否存在点Q，使得四边形MNDC是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）若点E在二次函数图象上，且以E为圆心的圆与直线BC相切与点F，且EF=65，请直接写出点E的坐标7（2019亭湖区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-14x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，8），与x轴交于B、C两点，其中点C的

10、坐标为（4，0）点P（m，n）为该二次函数在第二象限内图象上的动点，点D的坐标为（0，4），连接BD（1）求该二次函数的表达式及点B的坐标；（2）连接OP，过点P作PQx轴于点Q，当以O、P、Q为顶点的三角形与OBD相似时，求m的值；（3）连接BP，以BD、BP为邻边作BDEP，直线PE交y轴于点T当点E落在该二次函数图象上时，求点E的坐标；在点P从点A到点B运动过程中（点P与点A不重合），直接写出点T运动的路径长8（2019秋灌云县期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（2，0），B（0，2），C（1，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为

11、m，AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标【题组三】9（2019清江浦区一模）如图，抛物线yax2+bx+4（a0）与x轴交于点B（3，0）和C （4，0）与y轴交于点A（1）a ，b ；（2）点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿AB向B运动，同时，点N从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BC向C运动，当点M到达B点时，两点停止运动t为何值时，以B、M、N为顶点的三角形是等腰三角形？（3）点P是第一象限抛物线上的一点，若BP恰好

12、平分ABC，请直接写出此时点P的坐标10（2019灌南县二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx-3的图象经过点A（1，0）、C（2，0），与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点，若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，直接写出点M的坐标；连接MA、MB，若AMB不小于60，求t的取值范围11（2019秋沭阳县期末）如图，抛物线yax2+bx2的对称轴是直线x1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线B

13、C于点E（1）求抛物线解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD4PE时：求点D、P、E的坐标；求四边形POBE的面积（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由12（2019秋江都区期末）已知二次函数y=18x2+bx+c（b、c为常数）的图象经过点（0，1）和点A（4，1）（1）求b、c的值；（2）如图1，点C（10，m）在抛物线上，点M是y轴上的一个动点，过点M平行于x轴的直线l平分AMC，求点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P是

14、抛物线上的一动点，以P为圆心、PM为半径的圆与x轴相交于E、F两点，若PEF的面积为26，请直接写出点P的坐标【题组四】13（2019宿豫区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，且抛物线经过点D（2，3）（1）求这条抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G在x轴上原抛物线上一点M平移后的对应点为点N，如果AMN是以MN为底边的等腰三角形，求点N的坐标；（3）若点P为抛物线上第一象限内的动点，过点B作BEOP，垂足为E，点Q为y轴上的一个动点，连接QE、QD，试求QE+QD的最小值14（2019江西模拟）已知抛物线

15、l1：y1ax22的顶点为P，交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），且sinABP=55（1）求抛物线l1的函数解析式；（2）过点A的直线交抛物线于点C，交y轴于点D，若ABC的面积被y轴分为1：4两个部分，求直线AC的解析式；（3）在（2）的情况下，将抛物线l1绕点P逆时针旋转180得到抛物线l2，点M为抛物线l2上一点，当点M的横坐标为何值时，BDM为直角三角形？15（2019秋锡山区期末）在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+2的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求这个二次函数的解析式，并直接写出当x满足什么值时y0？（2）点P是直线AC上方的抛物线

16、上一动点，是否存在点P，使ACP面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由16（2019秋徐州期末）如图，矩形OABC中，O为原点，点A在y轴上，点C在x轴上，点B的坐标为（4，3），抛物线y=-38x2+bx+c与y轴交于点A，与直线AB交于点D，与x轴交于C，E两点（1）求抛物线的表达式；（2）点P从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，与此同时，点Q从点A出发，在线段AC上以每秒53个单位长度的速度向点C运动，当

17、其中一点到达终点时，另一点也停止运动连接DP、DQ、PQ，设运动时间为t（秒）当t为何值时，DPQ的面积最小？是否存在某一时刻t，使DPQ为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由【题组五】17（2019秋江都区期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2+4x（1）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“方点”试求拋物线yx2+4x的“方点”的坐标；（2）如图，若将该抛物线向左平移1个单位长度，新抛物线与x轴相交于A、B两点（A在B左侧），与y轴相交于点C，连接BC若点P是直线BC上方抛物线上的一点，求PBC的面积的最大值；（3）第（2）问中平移后的抛物线上是

18、否存在点Q，使QBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由18（2019秋兴化市期末）如图，RtFHG中，H90，FHx轴，GHFH=0.6，则称RtFHG为准黄金直角三角形（G在F的右上方）已知二次函数y1ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，3），顶点为C（1，4），点D为二次函数y2a（x1m）2+0.6m4（m0）图象的顶点（1）求二次函数y1的函数关系式；（2）若准黄金直角三角形的顶点F与点A重合、G落在二次函数y1的图象上，求点G的坐标及FHG的面积；（3）设一次函数ymx+m与函数y1、y2的图象对称轴

19、右侧曲线分别交于点P、Q且P、Q两点分别与准黄金直角三角形的顶点F、G重合，求m的值，并判断以C、D、Q、P为顶点的四边形形状，请说明理由19（2019秋赣榆区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yax2+bx+2（a0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，连接BC（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P是直线BC上方抛物线上的点，若PCBBCO，求出P点的到y轴的距离20（2019海陵区校级三模）

20、如图抛物线yx2+（m1）x+m与直线ykx+k交于点A、B，其中A点在x轴上，它们与y轴交点分别为C和D，P为抛物线的顶点，且点P纵坐标为4，抛物线的对称轴交直线于点Q（1）试用含k的代数式表示点Q、点B的坐标（2）连接PC，若四边形CDQP的内部（包括边界和顶点）只有4个横坐标、纵坐标均为整数的点，求k的取值范围（3）如图，四边形CDQP为平行四边形时，求k的值；E、F为线段DB上的点（含端点），横坐标分别为a，a+n（n为正整数），EGy轴交抛物线于点G问是否存在正整数n，使满足tanEGF=12的点E有两个？若存在，求出n；若不存在说明理由【题组六】21（2019泉山区校级二模）如图，

21、抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线对应函数的关系式，及A点坐标（2）点D为抛物线对称轴上一点当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；若BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围22（2019宿迁模拟）如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A、B两点，直线y=12x+12经过点A，与抛物线的另一个交点为点C（3，m），线段PQ在线段AB上移动，PQ1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D、G（1）求抛物线的解析式；（2）设四边形DEFG的面积为S，求S的最大值；（3）在线段PQ的移动

22、过程中，以D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标23（2019东台市模拟）如图，抛物线yax2+bx+3的图象经过点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C，顶点是D（1）求抛物线的表达式和顶点D的坐标；（2）在x轴上取点F，在抛物线上取点E，使以点C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标；（3）将此抛物线沿着过点（0，2）且垂直于y轴的直线翻折，E为所得新抛物线x轴上方一动点，过E作x轴的垂线，交x轴于G，交直线l：y=-12x1于点F，以EF为直径作圆在直线l上截得弦MN，求弦MN长度的最大值24（2019阜宁县一模）如图，已知抛物线y=-14x2+bx+4

23、与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（2，0）（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）证明：以AC为直径的圆与抛物线的对称轴相离；（4）在抛物线对称轴上是否存在点Q，使ACQ的外心恰好在一条边上？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由参考答案【真题再现】1（2019年盐城27题）如图所示，二次函数yk（x1）2+2的图象与一次函数ykxk+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k0（1）求A、B两点的横坐标；（2）若OAB是以OA为腰的等腰

24、三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得ODC2BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由【分析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x1）2+2kxk+2，即可求解；（2）分OAAB、OAOB两种情况，求解即可；（3）求出mk2kk2+1，在AHM中，tan=HMAH=m-k=k+k2+1=tanBEC=BKEK=k+2，即可求解【解析】（1）将二次函数与一次函数联立得：k（x1）2+2kxk+2，解得：x1和2，故点A、B的坐标横坐标分别为1和2；（2）OA=22+1=5，当OAAB时，即：1+k25，解得：k2（舍去2）；当OAOB时，4+（

25、k+2）25，解得：k1或3；故k的值为：1或2或3；（3）存在，理由：当点B在x轴上方时，过点B作BHAE于点H，将AHB的图形放大见右侧图形，过点A作HAB的角平分线交BH于点M，过点M作MNAB于点N，过点B作BKx轴于点K，图中：点A（1，2）、点B（2，k+2），则AHk，HB1，设：HMmMN，则BM1m，则ANAHk，AB=k2+1，NBABAN，由勾股定理得：MB2NB2+MN2，即：（1m）2m2+（k2+1+k）2，解得：mk2kk2+1，在AHM中，tan=HMAH=m-k=k+k2+1=tanBEC=BKEK=k+2，解得：k=3，此时k+20，则2k0，故：舍去正值，

26、故k=-3；当点B在x轴下方时，同理可得：tan=HMAH=m-k=k+k2+1=tanBEC=BKEK=-（k+2），解得：k=-4-73或-4+73，此时k+20，k2，故舍去-4+73，故k的值为：-3或-4-732（2019年连云港26题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：yx2+bx+c过点C（0，3），与抛物线L2：y=-12x2-32x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分PC

27、R若OQPR，求出点Q的坐标【分析】（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；（2）设点P的坐标为（x，x22x3），分两种情况讨论：AC为平行四边形的一条边，AC为平行四边形的一条对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线L2：y=-12x2-32x+2中，列出方程求得解便可；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PHTR于点H，设点P坐标为（x1，x12-2x1-3），点R坐标为（x2，x22-2x2-3），证明PSCRTC

28、，由相似比得到x1+x24，进而得tanPRH的值，过点Q作QKx轴于点K，设点Q坐标为（m，-12m2-32m+2），由tanQOKtanPRH，移出m的方程，求得m便可【解析】（1）将x2代入y=-12x2-32x+2，得y3，故点A的坐标为（2，3），将A（2，3），C（0，3）代入yx2+bx+c，得-3=22+2b+c-3=0+0+c，解得b=-2c=-3，抛物线L1：yx22x3；（2）如图，设点P的坐标为（x，x22x3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，x22x3），将Q（x+2，x22x3）代入y=-12x2-32x+2，得x

29、22x3=-12（x+2）2-32（x+2）+2，解得x0或x1，因为x0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（1，0）；当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x2，x22x3），将Q（x2，x22x3）代入y=-12x2-32x+2，得y=-12x2-32x+2，得x22x3=-12（x2）2-32（x2）+2，解得，x3，或x=-43，此时点P的坐标为（3，0）或（-43，139）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，3），得PQ的中点坐标为（1，3），故点Q的坐标为（2x，x2+2x3），将Q（2x，x2+2x3）代入y=-12x2-3

30、2x+2，得x2+2x3-12（2x）2-32（2x）+2，解得，x0或x3，因为x0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（3，12），综上所述，点P的坐标为（1，0）或（3，0）或（-43，139）或（3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PHTR于点H，则有PSCRTC90，由CA平分PCR，得PCARCA，则PCSRCT，PSCRTC，PSCS=RTCT，设点P坐标为（x1，x12-2x1-3），点R坐标为（x2

31、，x22-2x2-3），所以有x1x12-2x1-3-(-3)=x2-3-(x22-2x2-3)，整理得，x1+x24，在RtPRH中，tanPRH=PHRH=x12-2x1-3-(x22-2x2-3)x1-x2=x1+x2-2=2过点Q作QKx轴于点K，设点Q坐标为（m，-12m2-32m+2），若OQPR，则需QOKPRH，所以tanQOKtanPRH2，所以2m=-12m2-32m+2，解得，m=-7652，所以点Q坐标为（-7+652，7+65）或（-7-652，7-65）3（2019年无锡27题）已知二次函数yax24ax+c（a0）的图象与它的对称轴相交于点A，与y轴相交于点C（0

32、，2），其对称轴与x轴相交于点B（1）若直线BC与二次函数的图象的另一个交点D在第一象限内，且BD=2，求这个二次函数的表达式；（2）已知P在y轴上，且POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，试直接写出a的值【分析】（1）先求得对称轴方程，进而得B点坐标，过D作DHx轴于点H，由B，C的坐标得OBC45，进而求得DH，BH，便可得D点坐标，再由待定系数法求得解析式；（2）先求出A点的坐标，再分两种情况：A点在x轴上时，OPA为等腰直角三角形，符合条件的点P恰好有2个；A点不在x轴上，AOB30，OPA为等边三角形或顶角为120的等腰三角形，符合条件的点P恰好有2个据此求得a【解析】（1

33、）过点D作DHx轴于点H，如图1，二次函数yax24ax+c，对称轴为x=-4a2a=2，B（2，0），C（0，2），OBOC2，OBCDBH45，BH=2，BHDH1，OHOB+BH2+13，D（3，1），把C（0，2），D（3，1）代入yax24ax+c中得，c=-29a-12a+c=1，a=-1c=-2，二次函数的解析式为yx2+4x2；（2）yax24ax+c过C（0，2），c2，yax24ax+ca（x2）24a2，A（2，4a2），P在y轴上，且POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，当抛物线的顶点A在x轴上时，POA90，则OPOA，这样的P点只有2个，正、负半轴各一个，

34、如图2，此时A（2，0），4a20，解得a=-12；当抛物线的顶点A不在x轴上时，AOB30时，则OPA为等边三角形或AOP120的等腰三角形，这样的P点也只有两个，如图3，ABOBtan30233=233，|4a2|=233，a=-12-163或-12+163综上，a=-12或-12-163或-12+1634（2017年淮安28题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-13x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB

35、上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒连接PQ（1）填空：b13，c4；（2）在点P，Q运动过程中，APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；（4）如图，点N的坐标为（-32，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q的坐标【分析】（1）设抛物线的解析式为ya（x+3）（x4）将a=-13代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出b、c的值；

36、（2）连结QC先求得点C的坐标，则PC5t，依据勾股定理可求得AC5，CQ2t2+16，接下来，依据CQ2CP2AQ2AP2列方程求解即可；（3）过点P作DEx轴，分别过点M、Q作MDDE、QEDE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PGx轴，垂足为点G，首先证明PAGACO，依据相似三角形的性质可得到PG=45t，AG=35t，然后可求得PE、DF的长，然后再证明MDPPEQ，从而得到PDEQ=45t，MDPE3+25t，然后可求得FM和OF的长，从而可得到点M的坐标，然后将点M的坐标代入抛物线的解析式求解即可；（4）连结：OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与

37、点Q首先依据三角形的中位线定理得到RH=12QO=12t，RHOQ，NR=12AP=12t，则RHNR，接下来，依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是QNQ的平分线，然后求得直线NR和BC的解析式，最后求得直线NR和BC的交点坐标即可【解析】（1）设抛物线的解析式为ya（x+3）（x4）将a=-13代入得：y=-13x2+13x+4，b=13，c4（2）在点P、Q运动过程中，APQ不可能是直角三角形理由如下：连结QC在点P、Q运动过程中，PAQ、PQA始终为锐角，当APQ是直角三角形时，则APQ90将x0代入抛物线的解析式得：y4，C（0，4）APOQt，PC5t，在RtAOC中，依据勾

38、股定理得：AC5，在RtCOQ中，依据勾股定理可知：CQ2t2+16，在RtCPQ中依据勾股定理可知：PQ2CQ2CP2，在RtAPQ中，AQ2AP2PQ2，CQ2CP2AQ2AP2，即（3+t）2t2t2+16（5t）2，解得：t4.5由题意可知：0t4，t4.5不合题意，即APQ不可能是直角三角形（3）如图所示：过点P作DEx轴，分别过点M、Q作MDDE、QEDE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PGx轴，垂足为点G，则PGy轴，ED90PGy轴，PAGACO，PGOC=AGOA=APAC，即PG4=AG3=t5，PG=45t，AG=35t，PEGQGO+OQAOAG+OQ3-

39、35t+t3+25t，DFGP=45tMPQ90，D90，DMP+DPMEPQ+DPM90，DMPEPQ又DE，PMPQ，MDPPEQ，PDEQ=45t，MDPE3+25t，FMMDDF3+25t-45t3-25t，OFFG+GOPD+OAAG3+45t-35t3+15t，M（3-15t，3+25t）点M在x轴下方的抛物线上，3+25t=-13（3-15t）2+13（3-15t）+4，解得：t=-65520520t4，t=-65+52052（4）如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC于点Q点H为PQ的中点，点R为OP的中点，RH=12QO=12t，RHOQA（3

40、，0），N（-32，0），点N为OA的中点又R为OP的中点，NR=12AP=12t，RHNR，RNHRHNRHOQ，RHNHNO，RNHHNO，即NH是QNQ的平分线设直线AC的解析式为ymx+n，把点A（3，0）、C（0，4）代入得：-3m+n=0n=4，解得：m=43，n4，直线AC的表示为y=43x+4同理可得直线BC的表达式为yx+4设直线NR的函数表达式为y=43x+s，将点N的坐标代入得：43（-32）+s0，解得：s2，直线NR的表述表达式为y=43x+2将直线NR和直线BC的表达式联立得：y=43x+2y=-x+4，解得：x=67，y=227，Q（67，227）5（2017年宿

41、迁25题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx22x3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标【分析】（1）由已知抛物线可求得A、B坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C的坐标，利用待定系数法可求得曲线N的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC与AB的垂直平分线的交点

42、，即直线yx与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3）设Q（x，0），当BC为平行四边形的边时，则有BQPC且BQPC，从而可用x表示出P点的坐标，代入抛物线解析式可得到x的方程，可求得Q点坐标，当BC为平行四边形的对角线时，由B、C的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x的方程，可求得P点坐标【解析】（1）在yx22x3中，令y0可得x22x30，解得x1或x3，A（1，0），B（3，0），令x0可得y3，又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N，C（0，3），设曲线N的解析式为yax2+bx+c，把

43、A、B、C的坐标代入可得a-b+c=09a+3b+c=0c=3，解得a=-1b=2c=3，曲线N所在抛物线相应的函数表达式为yx2+2x+3；（2）设ABC外接圆的圆心为M，则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点，B（3，0），C（0，3），线段BC的垂直平分线的解析式为yx，又线段AB的垂直平分线为曲线N的对称轴，即x1，M（1，1），MB=(1-3)2+12=5，即ABC外接圆的半径为5；（3）设Q（t，0），则BQ|t3|当BC为平行四边形的边时，如图1，则有BQPC，P点纵坐标为3，即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P，x轴上对应的即为点Q，当点P在曲线M上时，在

44、yx22x3中，令y3可解得x1+7或x1-7，PC1+7或PC=7-1，当x1+7时，可知点Q在点B的右侧，可得BQt3，t31+7，解得t4+7，当x1-7时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ3t，3t=7-1，解得t4-7，Q点坐标为（4+7，0）或（4-7，0）；当点P在曲线N上时，在yx2+2x+3中，令y3可求得x0（舍去）或x2，PC2，此时Q点在B点的右侧，则BQt3，t32，解得t5，Q点坐标为（5，0）；当BC为平行四边形的对角线时，B（3，0），C（0，3），线段BC的中点为（32，32），设P（x，y），x+t3，y+03，解得x3t，y3，P（3t，3），当点P在曲线M

45、上时，则有3（3t）22（3t）3，解得t2+7或t2-7，Q点坐标为（2+7，0）或（2-7，0）；当点P在曲线N上时，则有3（3t）2+2（3t）+3，解得t3（Q、B重合，舍去）或t1，Q点坐标为（1，0）；综上可知Q点的坐标为（4+7，0）或（4-7，0）或（5，0）或（2+7，0）或（2-7，0）或（1，0）6（2017年常州27题）如图，在平面直角坐标系xOy，已知二次函数y=-12x2+bx的图象过点A（4，0），顶点为B，连接AB、BO（1）求二次函数的表达式；（2）若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CQ的对称点为B，当OCB为等边三角形时，求BQ的长度；（3）

46、若点D在线段BO上，OD2DB，点E、F在OAB的边上，且满足DOF与DEF全等，求点E的坐标【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）先求出OB和AB的长，根据勾股定理的逆定理证明ABO90，由对称计算QCB60，利用特殊的三角函数列式可得BQ的长；（3）因为D在OB上，所以F分两种情况：i）当F在边OA上时，ii）当点F在AB上时，当F在边OA上时，分三种情况：如图2，过D作DFx轴，垂足为F，则E、F在OA上，如图3，作辅助线，构建OFDEDFFGE，如图4，将DOF沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E，当点F在OB上时，过D作DFx轴，交AB于F，连接OF与DA，

47、依次求出点E的坐标即可ii）当点F在AB上时，分两种情况：画出图形可得结论【解析】（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式得：-1242+4b0，解得b2，二次函数的表达式为y=-12x2+2x（2）y=-12x2+2x=-12（x2）2+2，B（2，2），抛物线的对称轴为x2如图1所示：由两点间的距离公式得：OB=22+22=22，BA=(4-2)2+(2-0)2=22C是OB的中点，OCBC=2OBC为等边三角形，OCB60又点B与点B关于CQ对称，BCQBCQ60OA4，OB22，AB22，OB2+AB2OA2OBA90在RtCBQ中，CBQ90，BCQ60，BC=2，tan60=BQBC

48、，BQ=3CB=32=6（3）分两种情况：i）当F在边OA上时，如图2，过D作DFx轴，垂足为F，DOFDEF，且E在线段OA上，OFFE，由（2）得：OB22，点D在线段BO上，OD2DB，OD=23OB=423，BOA45，cos45=OFOD，OFODcos45=42322=43，则OE2OF=83，点E的坐标为（83，0）；如图3，过D作DFx轴于F，过D作DEx轴，交AB于E，连接EF，过E作EGx轴于G，BDEBOA，BDOB=DEOA=13，OA4，DE=43，DEOA，OFDFDE90，DEOF=43，DFDF，OFDEDF，同理可得：EDFFGE，OFDEDFFGE，OGOF

49、+FGOF+DE=43+43=83，EGDFODsin45=43，E的坐标为（83，43）；如图4，将DOF沿边DF翻折，使得O恰好落在AB边上，记为点E，过B作BMx轴于M，过E作ENBM于N，由翻折的性质得：DOFDEF，ODDE=423，BD=12OD=223，在RtDBE中，由勾股定理得：BE=DE2-BD2=263，则BNNEBEcos45=26322=233，OM+NE2+233，BMBN2-233，点E的坐标为：（2+233，2-233）；ii）当点F在AB上时，过D作DFx轴，交AB于F，连接OF与DA，DFx轴，BDFBOA，BDBO=BFBA，由抛物线的对称性得：OBBA，

50、BDBF，则BDFBFD，ODFAFD，ODOBBDBABFAF，则DOFDAF，E和A重合，则点E的坐标为（4，0）；如图6，由可知：当E与O重合时，DOF与DEF重合，此时点E（0，0）；综上所述，点E的坐标为：（83，0）或（83，43）或（2+233，2-233）或（4，0）或（0，0）【专项突破】【题组一】1（2020张家港市模拟）如图，二次函效yx2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）点D为抛物线上一点（1）求抛物线的解析式及A点坐标；（2）若BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；（3）若BCD是锐角三角形，请写出点D的

51、横坐标m的取值范围【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式，再令y0，求A的坐标；（2）设D点板坐标为3，代入函数解析式可得纵坐标，分别论BCD90，CBD90的情況，作出图形进行求解；（3）当BC为斜边构成RtBCD时，以BC中点O为圆心，以BC直径画圆，与抛物线交于D和D，此时BCD和BCD就是以BC为斜边的直角三角形，利用两点间的距离公式列出方程求解，然后结合（2）找到m的取值范围【解答】（1）解：将B（4，0），C（0，4）代入yx2+bx+c得16+4b+c=0c=4解得b=-5c=4所以抛物的解析式为yx25x+4令y0，得x25x+40，解得x11，x24A点的坐标为（1，0）（2）解：设D点坐标为a，则坐标为a25a+4当BCD90时，如下图所示，连结BC，过C点作CDBC与抛物交于点D，过D作DEy轴于点E，由B、C坐标可知，OBOC4OBC为等要真角三角形，OCBOBC45又BCD90，ECD+OCB90ECD45，CDE为等要真角三角形，DECEaOEOC+CEa+4由D、E织坐标相等，可得a25a+4a+4解得a16，a20，当a0时，D点坐标为（0，4），与C重含，不符含思意，舍去当a6时，D点坐标为（6，10）当CBD