电磁场与电磁波第9讲静电场的边值问题-y

1、Field and Wave Electromagnetic 电磁场与电磁波,2,主要内容：静电场的边值问题,3. 镜像法,1. 泊松方程和拉普拉斯方程,2. 静电场的解的唯一性,4. 直角坐标系中的分离变量法,3,电场强度 E 和电位V之间的关系为：,将方程两边都取散度：,已知在线性各向同性的均匀介质中，E的散度为：,1. 泊松方程和拉普拉斯方程,4,因此，求得线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为：,该式称为泊松方程。,对于无源区，该式变为：,此式称为拉普拉斯方程。,5,在简单媒质中，泊松方程为电位梯度的散度等于/，这里 媒质的介电常数， 为自由电荷的体密度。 算子2, 是拉普拉

2、斯算子, 在这里表示标量电位梯度的散度 “”. 由于梯度和散度运算是一阶偏导，而泊松方程是一个二阶偏微分方程，要求空间中任意一点的二阶导必须存在,注意：,6,在直角坐标系下：,在球坐标系下：,在柱坐标系下：,7,表明: 在介质分界面上，电位是连续的。,用电位函数 V 表示分界面上的衔接条件,设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间距为d，d0 ,则,电位的衔接条件,在分界面两侧：电位法向导数发生跃变,8,电位边值问题的分类,根据已知区域边界条件（定解条件）的不同，电位边值问题分为三类：,第一类 是给定区域边界上的电位值，这类问题又称为狄里赫利问题；,第二类 是给定区域边界上的电位的法向导数值，又

3、称为纽曼(Neumann)问题。,第三类是混合边值问题，在区域的一部分边界上给定电位值，另一部分边界上给定电位的法向导数值。,9,10,11,例一：一维泊松方程的解,一个面积为A距离为d的平行板电容器，上板的电位为V0 , 下板接地。求： (a)电位分布 (b)电场强度 (c)每一个板上的电荷分布 (d)平行板电容器的电容,填充介质：不说就是空气,12,解：,根据题目，选取合适的坐标系； 2. 写出场方程和边界条件.,匀强电场，电位V 只是随高度z 的变化而变化,13,4.特解（带入边界条件求解未知系数）,3.方程的通解,14,15,例2.同轴电容器，内半径为a，电位为V0，外半径为b 接地求

4、： (a)电位分布 (b)电场强度 (c)内导体的电荷密度 (d)单位长度的电容,16,选取合适的坐标系； 2. 给出场方程和边界条件.,解：,17,4.特解（带入边界条件求解未知系数）,3. 方程的通解,18,19,20,例 3 平行板电容器的两板之间距离为d ，上板电位为V0 下板电位为0，中间冲有相对介电常数为r厚度为0.8d的均匀介质，如图所示，求 E 和D 。,21,(1) 求解区域：平行板电容器之间的区域 (2) 分区：由于填充两种介质，因此场量在分界面上会 发生突变，因此，分成两个子区域 (3)建立坐标系：竖直向上为y轴方向，建立坐标系 (4) 场分布分析：在两种介质中都是匀强电

5、场，电位V只是随高度y的变化而变化 V(y)，而与x，z无关， (5)写出场方程与边界条件：待求量是两个区域的电位V1 、V2 ，场方程：泊松方程（有源）or拉普拉斯方程（无源）,22,区域1： 区域2：,23,写出通解：,一维边值问题BVP 电位的边界条件，两个介质的衔接条件：,24,25,26,（1）建立坐标系（所有的物理量在坐标系下表示） （2）区域和边界 （3）分区域讨论 （4）矢量运算,27,唯一性原理: 泊松方程（拉普拉斯方程是一特例）在满足边界条件的情况下，解是唯一的。,求解静电场的解的方法不止一个 ； 唯一性定理的含义：静电场边值问题的解是唯一的解，与方法的选取无关； 我们甚至

6、可以通过猜想得出唯一正确的解。,2. 静电场的解的唯一性,28,点电荷和带电的球壳、球体在Ra的区域中产生的场是是相等的，称为这三种源是相互等效的.注：在Ra的区域是不等效的，所以等效只是对某一区域等效，对另一区域是不等效的,3. 镜像法,29,例如：一个点电荷Q 位于无限大的导体平面附近，离开导体平面的距离为d，如图所示。求解导体平面上任意一点处的电位(y0).,(1) 感应电荷很难求,(2)直接解方程:,30,点电荷感应电荷产生的场，静态平衡后，导体表面是等势面，电力线与其正交。而这种电力线的分布与以xoz平面为对称面，在（0，d，0）处点电荷Q，（0，d，0）处有Q 的一对点电荷在x0空

7、间的电力线分布相似。,(3)另辟蹊径：（等效原理)感应（极化）电荷产生的场，由假想的简单电荷（像点电荷 线电荷等）分布产生的场来等效,(4)问题：引入像电荷后求得的场，是不是原问题的场？,判断的依据 （唯一性定理） 是不是满足原问题的场方程边界条件？,31,根据场叠加原理，写出点电荷和像电荷在上半空间任意一点 P 处产生的场的表达式,BVP BC（判断的条件）,等效问题的场就是原问题的场,32,镜像法,实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过程大为简化。,依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保

8、证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。,关键：确定镜像电荷的大小及其位置。,局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。,33,对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。例如，夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。,连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。,34,3. 直角坐标系中的分离变量法,无

9、源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为,令,代入上式，两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得,显然，式中各项仅与一个变量有关。因此，将上式对变量 x 求导，第二项及第三项均为零，求得第一项对 x 的导数为零，说明了第一项等于常数。同理，再分别对变量 y 及 z 求导，得知第二项及第三项也分别等于常数。令各项的常数分别为 ，分别求得,35,式中kx ，ky ，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。显然，三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程,由上可见，经过变量分离后，三维偏微分方程式被简化为三个一维常微分方程。常微分方程的求解较为简便，而且三个常微分方程又具有同一结构

10、，因此它们解的形式也一定相同。例如，含变量 x 的常微分方程的通解为,或者,式中A, B, C, D为待定常数。,36,分离常数也可为虚数。当 kx 为虚数时，令 ，则上述通解变为,或者,含变量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的线性组合仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的边界条件。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。,37,例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d ，其有限端被电位为 0 的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。,解 选取直角坐标系。由于导电平面沿 z 轴无限延伸，

11、槽中电位分布函数一定与 z 无关，因此，这是一个二维场的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为,38,应用分离变量法，令,根据题意，槽中电位应满足的边界条件为,为了满足 及 边界条件，应选 Y(y) 的解为,因为 y = 0 时，电位 = 0，因此上式中常数 B = 0。为了满足边界条件 ，分离常数 ky 应为,39,求得,已知 ，求得,可见，分离常数 kx 为虚数，故 X(x) 的解应为,因为 x = 0 时，电位 ，因此，式中常数 C = 0，即,那么，,式中常数 C = AD 。,40,由边界条件获知，当 x = 0 时，电位 = 0 ，代入上式，得,上式右端为变量，但左端为常量，因此不能成立。这就表明此式不能满足给定的边界条件。因此，必须取上式的和式作为电位方程的解，即,为了满足 x = 0， = 0 边界条件，由上式得,41,上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数Cn为,最后求得槽中电位分布函数为,式中 。