相似三角形专题试题解析

1、相似三角形专题试题解析 相似形专题 1（xx?阿坝州）如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=DAE=90，点P为射线BD，CE的交点 （1）求证：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把ADE绕点A旋转，当EAC=90时，求PB的长； 【解答】解：（1）ABC和ADE是等腰直角三角形，BAC=DAE=90， AB=AC，AD=AE，DAB=CAE ADBAEC BD=CE （2）解：当点E在AB上时，BE=ABAE=1 EAC=90， CE= 同（1）可证ADBAEC DBA=ECA PEB=AEC， PEBAEC = = PB= 当点E在BA延长线上时，BE=3 EA

2、C=90， CE= 同（1）可证ADBAEC DBA=ECA BEP=CEA， PEBAEC = = PB= 综上所述，PB的长为或 2（xx?常德）如图，直角ABC中，BAC=90，D在BC上，连接AD，作BFAD分别交AD于E，AC于F （1）如图1，若BD=BA，求证：ABEDBE； （2）如图2，若BD=4DC，取AB的中点G，连接CG交AD于M，求证：GM=2MC；AG2=AF?AC 【解答】证明：（1）在RtABE和RtDBE中， ABEDBE； （2）过G作GHAD交BC于H， AG=BG， BH=DH， BD=4DC， 设DC=1，BD=4， BH=DH=2， GHAD， =，

3、 GM=2MC； 过C作AC交AD的延长线于N，则AG， AGMNCM， =， 由知GM=2MC， 2NC=AG， BAC=AEB=90， ABF=CAN=90BAE， ABAF， =， AB=2AG， =， 2?AG=AF?AC， AG2=AF?AC 3（xx?杭州）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AGBC于点G，AFDE于点F，EAF=GAC （1）求证：ADEABC； （2）若AD=3，AB=5，求的值 【解答】解：（1）AGBC，AFDE， AFE=AGC=90， EAF=GAC， AED=ACB， EAD=BAC， ADEABC， （2）由（1）可知：ADE

4、ABC， = 由（1）可知：AFE=AGC=90， EAF=GAC， EAFCAG， ， = 4（xx?眉山）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BFDE，垂足为F，BF分别交AC于H，交CD于G （1）求证：BG=DE； （2）若点G为CD的中点，求的值 【解答】解：（1）BFDE， GFD=90， BCG=90，BGC=DGF， CBG=CDE， 在BCG与DCE中， BCGDCE（ASA）， BG=DE， （2）设CG=1， G为CD的中点， GD=CG=1， 由（1）可知：BCGDCE（ASA）， CG=CE=1， 由勾股定理可知：DE=BG=， sin

5、CDE=， GF=， ABCG， ABHCGH， =， BH=，GH=， = 5（xx?河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AEBF于点M，求证：AE=BF； （2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AEBF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论 【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形， ABC=C，AB=BC AEBF， AMB=BAM+ABM=90， ABM+CBF=90， BAM=CBF 在ABE和BCF中， ， ABEBCF（ASA）， AE=BF； （2）解：AE=BF， 理由：四边形ABCD是矩形

6、， ABC=C， AEBF， AMB=BAM+ABM=90， ABM+CBF=90， BAM=CBF， ABEBCF， =， AE=BF 6（xx?泰安）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分BAD，点P是AC延长线上一点，且PDAD （1）证明：BDC=PDC； （2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长 【解答】（1）证明：AB=AD，AC平分BAD， ACBD， ACD+BDC=90， AC=AD， ACD=ADC， ADC+BDC=90， PDAD， ADC+PDC=90， BDC=PDC； （2）解：过点C作CMPD于点M， BDC=PDC，

7、CE=CM， CMP=ADP=90，P=P， CPMAPD， =， 设CM=CE=x， CE：CP=2：3， PC=x， AB=AD=AC=1， =， 解得：x=， 故AE=1= 7（xx?天水）ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q （1）如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：BPECQE； （2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长 【解答】（1）证明：ABC是等腰直角

8、三角形， B=C=45，AB=AC， AP=AQ， BP=CQ， E是BC的中点， BE=CE， 在BPE和CQE中， ， BPECQE（SAS）； （2）解：ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形， B=C=DEF=45， BEQ=EQC+C， 即BEP+DEF=EQC+C， BEP+45=EQC+45， BEP=EQC， BPECEQ， =， BP=2，CQ=9，BE=CE， BE2=18， BE=CE=3， BC=6 8（xx?绥化）如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点，EC平分DEB，F为CE的中点，连接AF，BF，过点E作EHBC分别交AF，CD于G，H两点 （1）求证：DE=

9、DC； （2）求证：AFBF； （3）当AF?GF=28时，请直接写出CE的长 【解答】解：（1）四边形ABCD是矩形， ABCD， DCE=CEB， EC平分DEB， DEC=CEB， DCE=DEC， DE=DC； （2）如图，连接DF， DE=DC，F为CE的中点， DFEC， DFC=90， 在矩形ABCD中，AB=DC，ABC=90， BF=CF=EF=EC， ABF=CEB， DCE=CEB， ABF=DCF， 在ABF和DCF中， ， ABFDCF（SAS）， AFB=DFC=90， AFBF； （3）CE=4 理由如下：AFBF， BAF+ABF=90， EHBC，ABC=90

10、， BEH=90， FEH+CEB=90， ABF=CEB， BAF=FEH， EFG=AFE， EFGAFE， =，即EF2=AF?GF， AF?GF=28， EF=2， CE=2EF=4 9（xx?雨城区校级自主招生）在RtABC中，BAC=90，过点B的直线MNAC，D为BC边上一点，连接AD，作DEAD交MN于点E，连接AE （1）如图1，当ABC=45时，求证：AD=DE； （2）如图2，当ABC=30时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由 【解答】（1）证明：如图1，过点D作DFBC，交AB于点F， 则BDE+FDE=90， DEAD， FDE+ADF=90， BDE=ADF

11、， BAC=90，ABC=45， C=45， MNAC， EBD=180C=135， BFD=45，DFBC， BFD=45，BD=DF， AFD=135， EBD=AFD， 在BDE和FDA中 ， BDEFDA（ASA）， AD=DE； （2）解：DE=AD， 理由：如图2，过点D作DGBC，交AB于点G， 则BDE+GDE=90， DEAD， GDE+ADG=90， BDE=ADG， BAC=90，ABC=30， C=60， MNAC， EBD=180C=120， ABC=30，DGBC， BGD=60， AGD=120， EBD=AGD， BDEGDA， =， 在RtBDG中，=tan3

12、0=， DE=AD 10（xx?深圳模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE=AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿DCB向终点B运动，直线EP交AD于点F，过点F作直线FGDE于点G，交AB于点R （1）求证：AF=AR； （2）设点P运动的时间为t， 求当t为何值时，四边形PRBC是矩形？ 如图2，连接PB请直接写出使PRB是等腰三角形时t的值 【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD中，AD=AB=2， AE=AB， AD=AE， AED=ADE=45， 又FGDE， 在RtEGR中，GER=GRE=45， 在RtARF中，FRA=AFR=45， FR

13、A=RFA=45， AF=AR； （2）解：如图，当四边形PRBC是矩形时， 则有PRBC， AFPR， EAFERP， ，即：由（1）得AF=AR， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 点P从点D出发，以每秒1个单位长度沿DCB向终点B运动， （秒）； 若PR=PB， 过点P作PKAB于K， 设FA=x，则RK=BR=（2x）， EFAEPK， ， 即：=， 解得：x=3（舍去负值）； t=（秒）； 若PB=RB， 则EFAEPB， =， ， BP=AB=2= CP=BCBP=2=， （秒） 综上所述，当PR=PB时，t=；当PB=RB时，秒 11（xx?江汉区校级模拟）如图，正方形ABC

14、D的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO （1）已知BD=，求正方形ABCD的边长； （2）猜想线段EM与的数量关系并加以证明 【解答】解：（1）四边形ABCD是正方形， ABD是等腰直角三角形， 2AB2=BD2， BD=， AB=1， 正方形ABCD的边长为1； （2）=2EM 证明方法一、理由：四边形ABCD是正方形， ACBD，OA=OC CF=CA，CE是ACF的平分线， CEAF，AE=FE EO为AFC的中位线 EOBC 在RtAEN中，OA=OC EO=OC=AC， CM=EM CE平分

15、ACF， OCM=B， NBC=90， CBN， ， =CM， 即=2EM 证明方法二、四边形ABCD是正方形， BAC=45=DBC， 由（1）知，在RtACE中，EO=AC=CO， OEC=OCE， CE平分ACF， OCE=ECB=OEC， EOBC， EOM=DBC=45， OEM=OCE EOMCAN， ， =2CM 12（xx?济宁二模）将两块全等的三角板如图1摆放，其中A1CB1=ACB=90，A1=A=30 （1）将图1中A1B1C绕点C顺时针旋转45得图2，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ； （2）在图2中，若AP1=a，则CQ等于多

16、少？ （3）将图2中A1B1C绕点C顺时针旋转到A2B2C（如图3），点P2是A2C与AP1的交点当旋转角为多少度时，有AP1CCP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？ 【解答】（1）证明：B1CB=45，B1CA1=90， B1CQ=BCP1=45； 又B1C=BC，B1=B， B1CQBCP1（ASA） CQ=CP1； （2）解：如图：作P1DAC于D， A=30， P1D=AP1； P1CD=45， =sin45=， CP1=P1D=AP1； 又AP1=a，CQ=CP1， CQ=a； （3）解：当P1CP2=P1AC=30时，由于CP1P2=AP1C，则AP1CC

17、P1P2， 所以将图2中A1B1C绕点C顺时针旋转30到A2B2C时，有AP1CCP1P2 这时=， P1P2=CP1 13（xx?惠阳区模拟）把RtABC和RtDEF按如图（1）摆放（点C与E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上已知：ACB=EDF=90，DEF=45，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm如图（2），DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向ABC匀速移动，在DEF移动的同时，点P从ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，DEF也随之停止移动DE与AC交于点Q，连接，设移动时间为t（s） （1）用含t

18、的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围； （2）连接PE，设四边形APEQ的面积为y（cm2），试探究y的最大值； （3）当t为何值时，A是等腰三角形 【解答】（1）解：AP=2t EDF=90，DEF=45， CQE=45=DEF， CQ=CE=t， AQ=8t， t的取值范围是：0t5； （2）过点P作PGx轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=102t，EB=6t， PG=PBSinB=（102t） y=SABCSPBESQCE= 当（在0t5内），y有最大值，y最大值=（cm2） （3）若AP=AQ，则有2t=8t解得：（s） 若AP=，如图：过点P作PHAC，则AH

19、=QH=，PHBC APHABC， ， 即， 解得：（s） 若AQ=，如图：过点Q作QIAB，则AI=PI=AP=t AIQ=ACB=90A=A， AQIABC 即， 解得：（s） 综上所述，当或或时，A是等腰三角形 14（xx?庐阳区一模）ABC，A、B、C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E （1）如图，若DE将ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示） （2）如图，若AC=3，AB=5，BC=4DE将ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD； （3）如图，若DE将ABC分成周长、面积相等的两部分，且DEBC，则a、b、c满

20、足什么关系？ 【解答】解：（1）DE将ABC分成周长相等的两部分， AD+AE=CD+BC+BE=（AB+AC+BC）=（a+b+c）； （2）设AD=x，AE=6x， SADE=AD?AE?sinA=3， 即：x（6x）?=3， 解得：x1=（舍去），x2=， AD=； （3）DEBC， ADEABC， ， =， AD=b，AE=c， bc=（a+b+c）， =1 15（xx?嘉兴模拟）已知：如图，四边形ABCD是正方形，PAQ=45，将PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角EBC和FDC的平分线分别交于点M和N，连接MN （1）求证：ABMNDA； （2）连接BD，当

21、BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明 【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形， ABC=ADC=BAD=90， BM、DN分别是正方形的两个外角平分线， ABM=ADN=135， MAN=45， BAM=AND=45DAN， ABMNDA； （2）解：当BAM=22.5时，四边形BMND为矩形；理由如下： BAM=22.5，EBM=45， AMB=22.5， BAM=AMB， AB=BM， 同理AD=DN， AB=AD，BM=DN， 四边形ABCD是正方形 ABD=ADB=45， BDN=DBM=90 BDN+DBM=180， BMDN 四边形BMND为平行四边形， BD

22、N=90， 四边形BMND为矩形 16（xx?肥城市三模）如图，在锐角ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且AFE=A，DMEF交AC于点M （1）点G在BE上，且BDG=C，求证：DG?CF=DM?EG； （2）在图中，取CE上一点H，使CFH=B，若BG=1，求EH的长 【解答】（1）证明：如图1所示， D，E分别为AB，BC中点， DEAC DMEF， 四边形DEFM是平行四边形， DM=EF， 如图2所示， D、E分别是AB、BC的中点， DEAC， BDE=A，DEG=C， AFE=A， BDE=AFE， BDG+GDE=C+FEC， BDG=C， GDE=FEC，

23、 DEGECF； ， ， ， DG?CF=DM?EG； （2）解：如图3所示， BDG=C=DEB，B=B， BDGBED， ， BD2=BG?BE， AFE=A，CFH=B， C=180AB=180AFECFH=EFH， 又FEH=CEF， EFHECF， =， EF2=EH?EC， DEAC，DMEF， 四边形DEFM是平行四边形， EF=DM=DA=BD， BG?BE=EH?EC， BE=EC， EH=BG=1 17（xx?肥城市模拟）ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，EDF=B （1）如图1，求证：DE?CD=DF?BE （2）D为BC中点如图2，连接EF 求

24、证：ED平分BEF； 若四边形AEDF为菱形，求BAC的度数及的值 【解答】（1）证明：ABC中，AB=AC， B=C B+BDE+DEB=180，BDE+EDF+FDC=180，EDF=B， FDC=DEB， BDECFD， ， 即DE?CD=DF?BE； （2）解：由（1）证得BDECFD， ， D为BC中点， BD=CD， =， B=EDF， BDEDFE， BED=DEF， ED平分BEF； 四边形AEDF为菱形， AEF=DEF， BED=DEF， AEF=60， AE=AF， BAC=60， BAC=60， ABC是等边三角形， B=60， BED是等边三角形， BE=DE， AE

25、=DE， AE=AB， = 18（xx?长宁区二模）如图，在ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段于点E，且=，点G在BC延长线上，ACG的平分线交直线于点F （1）求证：PC=PE； （2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形 【解答】（1）证明：BC， AQEABD，AEPADC， =， =， =， =， PC=PE； （2）PFDG， PFC=FCG， CF平分PCG， PCF=FCG， PFC=FCG， PF=PC， PF=PE， P是边AC的中点， AP=CP， 四边形AECF是平行四边形， CD， P

26、EC=DCE， PCE=DCE， PCE+PCF=（PCD+PCG）=90， ECF=90， 平行四边形AECF是矩形 19（xx?安徽模拟）如图，已知ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC （1）求证：AB=GD； （2）如图2，当CG=EG时，求的值 【解答】解：（1）D、E分别是线段AC、BC的中点， DE为ABC的中位线， DEAB，即EGAB， FDG=A， 点F为线段AD的中点， AF=DF， 在ABF与DGF中， ABFDGF（ASA） AB=GD （2）DE为ABC的中位线， DE=AB，CE=BC=AC DG=

27、AB， EG=DE+DG EG=AB DEAB， GEC=CBA， AC=BC，CG=EG GECCBA ， 即， 20（xx?蜀山区二模）如图，在ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，线段BE、CD相交于点O，且DCB=EBC=A （1）求证：BODBAE； （2）求证：BD=CE； （3）若M、N分别是BE、CE的中点，过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？ 【解答】（1）证明：BCO=CBO， DOB=BCO+CBO=2BCO， A=2BCO， DOB=A， ABE=ABE， BODBAE； （2）解：延长CD，在CD延长线上取一点F，使BF=BD， BDF

28、=BFD， BDF=ABO+DOB，BEC=ABO+A， 由（1）得BOD=A， BDF=BEC， BFD=BEC， 在BFC与CEB中， BFCCEB， BD=BF， BD=CE； （3）解：AP=AQ， 理由：取BC的中点G，连接GM，GN， M，N分别是BE，CD的中点， GM，GN是中位线， GMCE，GM=CE，GNBD，GN=BD， BD=CE， GM=GN， 3=4， GMCE， 2=4， GNBD， 3=1， 1=2， AP=AQ 21（xx?石家庄二模）如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从

29、点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PEEF以每秒1个单位长的速度匀速运动点P、K同时开始运动，当点K到达点F时停止运动，点P也随之停止设点P、K运动的时间是t秒（t0） （1）当t=1时，KE= 1 ，EN= ； （2）当t为何值时，APM的面积与MNE的面积相等？ （3）当点K到达点N时，求出t的值； （4）当t为何值时，PKB是直角三角形？ 【解答】解：（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1， PE=2， KE=21=1， 四边形ABCD和PEFG都是矩形， APMABC，APMNEM， =，=

30、， MP=，ME=， NE=； 故答案为：1； （2）由（1）并结合题意可得， AP=t，PM=t，ME=2t，NE=t， tt=（2t）（t）， 解得，t=； （3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP， 由（2）得，t+2=t， 解得，t=； （4）当K在PE边上任意一点时PKB是直角三角形， 即，0t2； 当点k在EF上时， 则KE=t2，BP=8t， BPKPKE， PK2=BPKE，PK2=PE2+KE2， 4+（t2）2=（8t）（t2）， 解得t=3，t=4； 当t=5时，点K在BC边上，KBP=90 综上，当0t2或t=3或t=4或5时，PKB是直角三角形 22（xx?农安县模

31、拟）如图（1），在ABC中，AD是BC边的中线，过A点作AEBC与过D点作DEAB交于点E，连接CE （1）求证：四边形ADCE是平行四边形 （2）连接BE，AC分别与BE、DE交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG的长 【解答】（1）证明：AEBC，DEAB 四边形ABDE是平行四边形， AE=BD， 又BD=DC， AE=DC， 又AEDC， 四边形ADCE是平行四边形 （2）解：四边形ADCE是平行四边形，AC=6， AG=GC=3， 又AEBC， AEFCBF， =， AF=2， FG=AGAF=1 23（xx?杨浦区三模）已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线

32、上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M （1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点； （2）如图2，当AFED，求证：AM2=AB?BM 【解答】（1）连接AC，四边形ABCD是正方形， DAM=BEM=BCD=90，BCA=DCA=45，AB=BC=CD=DA， BE=DF，CE=CF， AEB=F=45， BE=BA=AD， 在ADM和BEM中， ADM和BEM， DM=EM，即点M为ED中点； （2）解：四边形ABCD是正方形， DAM=EBM=90，AD=AB， ADMBEM， =， AMDF，AFDE， 四边形AMDF是平行四边形， AM=DF

33、， BE=DF， AM=BE， ， AM2=AB?BM 24（xx?杭州模拟）已知，如图1，点D、E分别在AB，AC上，且= （1）求证：DEBC （2）已知，如图2，在ABC中，点D为边AC上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE并延长CE交边AB于点F，求证：= （3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值 【解答】解：（1）A=A， ， ADEABC ADE=B， DEBC （2）过点D作DGAB交CF于点G， CDGCAF ， E是BD的中点， BE=ED， DGAB， FBE=EDG 在DEG与CAF中， DEGBEF（AAS） DG=BF， = （3）由（2）可得：

34、 AB=AC，AF=CD， = BF2+BF?AFAF2=0， （）2+1=0， 解得：=， = 25（xx?岱岳区二模）已知ABC，AC=BC，点E，F在直线AB上，ECF=A （1）如图1，点E，F在AB上时，求证：AC2=AF?BE； （2）如图2，点E，F在AB及其延长线上，A=60，AB=4，BE=3，求BF的长 【解答】解：（1）AC=BC， A=B BEC=ACE+A ACF=ACE+ECF， ACF=BEC ACFBEC AC2=AF?BE （2）A=60， ABC是等边三角形 A=ABC=ACB=60=ECF， ECB=ACBACE，F=ABCFCB， ACE=FCB， EC

35、B=F， ABC=A， ACFBEC = AF= BF=AFAB= 26（xx?硚口区模拟）如图，正方形ABCD，EAF=45交BC、CD于E、F，交BD于H、G （1）求证：AD2=BG?DH； （2）求证：CE=DG； （3）求证：EF=HG 【解答】证明：（1）四边形ABCD为正方形 ABD=ADB=45，AB=AD， EAF=45 BAG=45+BAH，AHD=45+BAH， BAG=AHD， 又ABD=ADB=45， ABGHDA， ， BG?DH=AB?AD=AD2； （2）如图，连接AC， 四边形ABCD是正方形 ACE=ADB=CAD=45， AC=AD， EAF=45， EA

36、F=CAD， EAFCAF=CADCAF， EAC=GAD， EACGAD， ， CE=DG； （3）由（2）得：EACGAD， ， 同理得：AFCAHB， ， ， ， GAH=EAF， GAHEAF， ， EF=GH 27（xx?岱岳区一模）如图，C为线段BD上一动点，过B、D分别作BD的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B作AD的垂线，垂足为F，连接CE、EF （1）求证：AC?DF=BF?BD； （2）点C运动的过程中，CFE的度数保持不变，求出这个度数； （3）当点C运动到什么位置时，CEBF？并说明理由 【解答】解：（1）BFAD， AFB=BFD=90， AB

37、F+BAF=90， ABBC， ABF+DBF=90， BAF=DBF， ABFBDF， =，即AB?DF=BF?BD， 由AB=BC，ABBC， AB=AC， AC?DF=BF?BD； （2）=，AB=BC、BD=DE， =， FBC+BDF=90、BDF+EDF=90， FBC=EDF， FBCFDE， BFC=DFE， 又BFD=BFC+CFD=90， DFE+CFD=90，即CFE=90， 故CFE的度数保持不变，始终等于90 （3）当C为BD中点时，CEBF， 理由如下： C为BD中点， AB=BC=CD=BD=DE， 在ABD和CDE中， ， ABDCDE（SAS）， ADB=CE

38、D， CED+ECD=90， ADB+ECD=90， CEAD， BFAD， CEBF 28（xx?长春模拟）如图，在ABC中，点D在边AB上（不与A，B重合），DEBC交AC于点E，将ADE沿直线DE翻折，得到ADE，直线DA，EA分别交直线BC于点M，N （1）求证：DB=DM （2）若=2，DE=6，求线段MN的长 （3）若=n（n1），DE=a，则线段MN的长为 a（n1）或a（0n1） （用含n的代数式表示） 【解答】解：（1）DEBC， ADE=B，ADE=DMB， 由翻折可知：ADE=ADE B=DMB， DB=DM， （2）由翻折可知：AD=AD ，DB=DM， ， = DEB

39、C， AMNADE = DE=6， MN=DE=3， （3）由翻折可知：AD=AD =n，DB=DM， =n， 当n1时， = DEBC， AMNADE = DE=a， MN=DE=a， 同理：当0n1时， 此时=， MN=， 综上所述，MN=a（n1）或a（0n1） 故答案为：（3）MN=a（n1）或a（0n1） 29（xx?武汉）已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E （1）如图1，若ABC=ADC=90，求证：ED?EA=EC?EB； （2）如图2，若ABC=120，cosADC=，CD=5，AB=12，CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积； （3）如图3，另一组对边

40、AB、DC的延长线相交于点F若cosABC=cosADC=，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示） 【解答】解：（1）如图1中， ADC=90，EDC+ADC=180， EDC=90， ABC=90， EDC=ABC， E=E， EDCEBA， =， ED?EA=EC?EB （2）如图2中，过C作CFAD于F，AGEB于G 在RtCDF中，cosADC=， =，CD=5， DF=3， CF=4， SCDE=6， ?ED?CF=6， ED=3，EF=ED+DF=6， ABC=120，G=90，G+BAG=ABC， BAG=30， 在RtABG中，BG=AB=6，AG=6，

41、 CFAD，AGEB， EFC=G=90，E=E， EFCEGA， =， =， EG=9， BE=EGBG=96， S四边形ABCD=SABESCDE=（96）66=7518 （3）如图3中，作CHAD于H，则CH=4，DH=3， tanE=， 作AGDF于点G，设AD=5a，则DG=3a，AG=4a， FG=DFDG=5+n3a， CHAD，AGDF，E=F， 易证AFGCEH， =， =， a=， AD=5a= 30（xx?大冶市模拟）如图，ABC中，点E、F分别在边AB，AC上，BF与CE相交于点P，且1=2=A （1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF； （2）若图2，若ABAC，

42、 （1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由； 求证：= 【解答】解：（1）AB=AC， EBC=FCB， 在BCE与CBF中， BCECBF， BE=CF； （2）成立，理由如下：作A的平分线交BC于点D，连结DE、DF， 则DAF=DAE=A， 1=2=A， DAF=DAE=1=2， A、B、D、F四点与A、E、D、C四点分别共圆， BD=DF，DE=DC， BDE=A，CDF=A， BDE=CDF， 在DEB与DCF中， DEBDCF， BE=CF； 由上面的证明易知DFB与DEC均为等腰三角形， 1=2， DFBDEC， ， AD是ABC的内角平分线， ， 31（xx?大东区二模

43、）如图1，在锐角ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足AFE=A，DMEF交AC于点M （1）证明：DM=DA； （2）点G在BE上，且BDG=C，如图2，求证：DEGECF； （3）在图2中，取CE上一点H，使得CFH=B，若BG=5，求EH的长 【解答】（1）证明：如图1所示， DMEF， AMD=AFE， AFE=A， AMD=A， DM=DA； （2）证明：如图2所示， D、E分别是AB、BC的中点， DEAC， BDE=A，DEG=C， AFE=A， BDE=AFE， BDG+GDE=C+FEC， BDG=C， GDE=FEC， DEGECF； （3）解：如图3

44、所示， BDG=C=DEB，B=B， BDGBED， =， BD2=BG?BE， AFE=A，CFH=B， C=180AB=180AFECFH=EFH， 又FEH=CEF， EFHECF， =， EF2=EH?EC， DEAC，DMEF， 四边形DEFM是平行四边形， EF=DM=DA=BD， BG?BE=EH?EC， BE=EC， EH=BG=5 32（xx?随州）如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等 （1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是D

45、E的中点 下面是两位学生有代表性的证明思路： 思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等； 思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H 请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）； （2）如图2，在（1）的前提下，当ABE=135时，延长AD、EF交于点N，求的值； （3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值 【解答】解：（1）如图1， 证法一：四边形ABCD为菱形， AB=CD，ABCD， 四边形ABEF为平行四边形， AB=EF，ABEF， CD=EF，CDEF， CDM=FEM， 在CDM和FEM中 ， CDMFEM， DM=EM， 即点

46、M是DE的中点； 证法二：四边形ABCD为菱形， DH=BH， 四边形ABEF为平行四边形， AFBE， HMBE， =1， DM=EM， 即点M是DE的中点； （2）CDMFEM， CM=FM， 设AD=a，CM=b， ABE=135， BAF=45， 四边形ABCD为菱形， NAF=45， 四边形ABCD为正方形， AC=AD=a， ABEF， AFN=BAF=45， ANF为等腰直角三角形， NF=AF=（a+b+b）=a+b， NE=NF+EF=a+b+a=2a+b， =； （4）=+2?=k， =（k）， =， =?+1=?+1= 33（xx秋?故城县期末）如图，已知在ABC中，P为

47、边AB上一点，连接CP，M为CP的中点，连接BM并延长，交AC于点D，N为AP的中点，连接MN若ACP=ABD （1）求证：AC?MN=BN?AP； （2）若AB=3，AC=2，求AP的长 【解答】解：（1）M为CP的中点，N为AP的中点， MN是ACP的中位线， NMAC，MN=AC， A=BNM， 又ACP=ABD， ACPNBM， =， AC?MN=BN?AP； （2）AC=2， MN=AC=1， 设AN=x，则AP=2x， AC?MN=BN?AP， 21=（3x）2x， 解得x1=，x2=， AP=3+（舍去），AP=3， AP的长3 34（xx秋?召陵区期末）如图，已知AC、EC分别

48、为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在ABC内，CAE+CBE=90，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF （1）求证：CAECBF； （2）若BE=1，AE=2，求CE的长 【解答】解：（1）四边形ABCD和EFCG均为正方形， =， 又ACE+BCE=BCF+BCE=45， ACE=BCF， CAECBF （2）：CAECBF， CAE=CBF，=， 又CAE+CBE=90， CBF+CBE=90， EBF=90， 又=，AE=2 =， BF=， EF2=BE2+BF2=3， EF=， CE2=2EF2=6， CE= 35（xx秋?平舆县期末）如图，矩形ABCD中，AB=2

49、，BC=5，BP=1，MPN=90，将MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，MPN的旋转随即停止 （1）特殊情形：如图，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D，此时，ABP PCD（填“”或“”）； （2）类比探究：如图，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 【解答】解：（1）如图所示，MPN=90，B=90， BAP+APB=90=CPD+APB， BAP=CPD， 又B=C， ABPPCD； 故答案为：； （2）在旋转过程中，的值为定值 证明：如图所示，过点F作FGBC于G，则B=FGP， MPN=90，B=90， BEP+EPB=90=CPF+EPB， BEP=CPF， EBPGPF， =， 矩形ABGF中，FG=AB=2，而PB=1， =， =， 即的值为定值 36（xx秋?瑶海区期末）如图，点M是ABC内一点，过点M分别作直线平行于ABC的各边，所形成的三个小三角形1、2、3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25则ABC的面积是 64 【解答】解：如图， 过M作BC的平行线交AB、AC于D、E，过M作AC平行线交AB、BC于F、H，过M作AB平行线交AC、BC于I、