《周期信号的FS》PPT课件.ppt

1、第三章 周期信号的傅立叶级数表示,3.1 引言,回顾第一章，由单位冲激的组合性质 信号可分解为单位冲激信号的加权积分或加权和 回顾第二章，系统的零状态响应：,启示：如果 任意（或者是非常广泛的）信号都能分解为某基本信号的线性组合 系统对基本信号的响应简单易求 则可方便地求出系统对任意输入信号的响应 解决方法之一：卷积法求系统响应 ？是否有其他的信号可作为基本信号 答：,3.2 LTI系统对复指数信号的响应,复指数信号 的重要性质 ： LTI系统对其的响应是同样的复指数信号 ，增加幅度因子：即 H(s) H(z) LTI系统的特征函数 复振幅因子H(s)，H(z) 系统的特征值,证明：LTI系统

2、h(t).输入x(t)= y(t)= = = H(s)= 若收敛， 则y(t)=H(s) 对离散LTI系统 ， H(z)= ,yn=H(z),结论：若连续(离散)时间LTI系统的输入x(t)= xn= 则 y(t)= yn= s,z可以是任意复数 s= ，z= 时，即分别以 为基函数 傅立叶分析,3.3 连续时间周期信号的傅立叶级数表示,3.3.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合 周期复指数信号 与正弦信号 基波频率 ，基波周期,成谐波关系的复指数信号集： 其线性组合： 也是周期的，基波周期 的两项基波频率为 基波分量或一次谐波分量 的两项基波频率为 N次谐波分量 上式即为周期信号的傅立叶级

3、数表示,3.3.2 连续时间周期信号傅立叶级数表示的确定 两边同乘以 此处有错 从 积分 利用 （正交性） 在任意一个T间隔内，有,连续时间周期信号傅立叶级数 物理意义：周期信号可以分解为成谐波关系的复指数信号的线性组合 傅立叶级数系数/频谱系数，常为复数 反映 中每一个谐波分量的相对大小 直流分量,三角形式的傅立叶级数（实周期信号）,3.3.3 傅立叶级数收敛的条件 两种表示： A. 一个周期内能量有限的信号,即 满足此条件，信号x(t)与其傅立叶级数表示 在能量上没有差别,B. 狄里赫利条件： 条件1：在任何周期内，x(t)绝对可积，即 条件2：在任意有限区间内，x(t)具有有限个起伏变化

4、. 条件3：在x(t)的任何有限区间内，只有有限个不连续点，且在不连续点上函数值有限 满足这组条件的信号x(t)，在连续点上x(t)的值等于其傅立叶级数表示，而在不连续点上，傅立叶级数收敛于不连续点两边值的平均值,例 x(t)= 求 例：周期方波，在一个周期内 ,(占空比) T=4T1,3.3.4 傅立叶级数的近似,用有限项的线性组合组合来表示原信号 按均方误差最小准则，得 傅立叶级数系数与无限项组合的系数相同，且与所取项数目无关,吉布森现象- 存在“超量”，且与项数无关 项数M越大， 越接近原信号：上升沿和下降沿越来越陡，峰值位置越接近原信号的不连续点含有更多的高频分量,3.4 离散时间周期

5、信号的傅立叶级数表示 与连续时间信号的区别：离散-有限项级数，连续-无穷级数 3.4.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合 周期信号：xn=xn+N.基波频率 考虑 （1）谐波信号 （2）只有N个信号是不同的,的线性组合： 表示仅需在连续N个整数上取值 -离散时间傅立叶级数 -傅立叶级数系数 /频谱系数,3.4.2 离散周期信号傅立叶级数表示的确定 方法一：解联立方程组 方法二：类似连续时间 两边同乘 在N项上求和 利用正交性,没有收敛问题 物理意义：周期信号可以分解为成谐波关系的复指数信号的线性组合 -频谱系数，共有N个，常为复数 反映xn中每一个谐波分量的相对大小 综合公式、分析公式,例：

6、求 的频谱系数 解：仅当 整数或整数的比时， xn是周期的。分两种情况： （1）基波频率 一个周期内其余 （2） 一个周期内其余,例： 求频谱系数 解： 在0N-1一个周期中， 图：N1=2, N=10,20,40,3.5 连续时间傅立叶级数性质 3.5.1 线性 若x(t),y(t)周期均为T, 则：,3.5.2 时移 若 ， 则 (模不变)(分析公式证 ) 3.5.3 时间反转 若 ， 则 (由综合公式证） 偶函数的 ？ 奇函数的 ？,3.5.4 时域尺度变换 周期改变：x(t)周期为T， 则 ( 为正实数)周期为 傅立叶系数没有改变，但傅立叶级数表示改变，因基波频率改变,3.5.5 相乘

7、 若x(t)、y(t)周期都为T，且 则乘积的周期仍为T，且有： (卷积),3.5.6 共轭及共轭对称性 若 则 （用综合公式证明） 对实信号 ？ 若x(t)为实偶信号？ 若x(t)为实奇信号 ？ 纯虚数，奇,3.5.7 连续时间周期信号的帕斯瓦尔定理 k次谐波的平均功率 物理意义： 总平均功率=所有谐波的平均功率之和,3.6 离散时间福立叶级数性质 3.6.1 相乘 周期卷积 计算,3.6.2 一次差分 xn-xn-1 3.6.3 离散时间周期信号的帕斯瓦尔定理 周期信号的平均功率 = 所有谐波分量平均功率之和,3.7 举例 1、求频谱系数,解：回忆3.3节例 相当于T1=1,T=4,且g(t)=x(t-1)-1/2,由时移性质有： 由线性性质：,2、求xn的频谱系数,解：回忆3.4例,当N1=1,N=5时3.4例即为x1n,3、 求 即周期冲激串的傅立叶系数相同,4、已知xn， (1) N=6 (2) (3) (4) xn具有最小功率， 求xn,解：由(1)(2) 由(3) 为使具有最小功率,必须取,3.8 傅立叶级数应用于LTI系统 3.2节结论,特殊情况下，取： 频率响应 连续时间，输入x(t)为周期信号： LTI系统单位冲激响应h(t),则输出：,离散时间，输入xn为周期信号， LTI系统单位冲激响应h