初中数学-线段的垂直平分线及角平分线.ppt

1、初中数学,基本知识 知识的运用,线段的垂直平分线与角平分线,一.基本知识:,(一).线段的垂直平分线.,A,B,a,O,1.基本性质:线段垂直平分线上任意一点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.,P,2.尺规作线段的垂直平分线.,3.在三角形中:三角形三边的中垂线相交于一点.这一点到三角形三顶点的距离相等,叫三角形的外心.,A,B,C,O,(二).角平分线:,A,O,B,C,1.定义:如图,若AOC=COB.则 射线OC叫AOB的平分线.,2.基本性质:角平分线上任意一 点到角两边的距离相等.反之到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.,P,D,E,3.会用

2、尺规作角的平分线,4.三角形的三条内角平分线相交于一点.这一点到三边的距离相等.叫做三角形的内心.,A,B,C,D,E,F,二.知识的运用,(一)垂直平分线的运用: 利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得到(1) 等腰三角形,两底角相等,三线合一等结论; (2) 转化线段,有利于问题的解决. (3) 折叠问题就是轴对称问题,对称轴就是对应点的中垂线.,A,B,P,O,问题1.已知一条河m的同侧有两组同学分别在A,B两处活动, 现要派一名同学从A地到河边 提水送到B地,问该同学应选怎 样的路线,才能使所走路程最短?,.,A,B,.,m,P,A1,P1,.,解:作点A关于直线m 的对称点A

3、1,连结A1B 交直线m于一点P,连结PA,则PA+PB为最小,即A-P-B就是所求的最短路线.,问题2. 如图，菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 ；,E,B,D,A,C,P,解:菱形ABCD 对角线互相垂直平分,D与B关于AC对称.于是,PB+PE的最小值,就是 DE线段的长.等于,3.如图已知,在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,将矩形对折 使点C与点A重合，EF为折痕,求EF的长.,O,解（法一）：连结AC，由已知得点A、C关于直线EF对称，所以EF垂直平分线段AC，OA=OC， 因为AEFC，所以,得：OF=O

4、E.,COFCBA,注：折叠问题就是轴对称问题，对称轴就是垂直平分线。,解法（二）连结AF.,角平分线知识的运用：,P,A,B,O,C,E,F,M,N,一般是利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到线段相等。还可以构造三角形全等。,问题4.如图， 在ABC中，已知A=60，BE、CD是角平分线，相交于O点，则BOC=,解：BOC=180-（1+2） = 180- （ABC+ACB） = 180- （ 180- A） = 90+ A =120,1,2,注： ABC中，内心O的对 应角BOC=90+ A,问题5.如图已知，ABCD，AE、DE分别平分BAD和ADC， 过E作直线交AB于B，交DC于

5、C，若AB=1，DC=3， 求AD的长.,解（法一）：如图在AD上截取AF=AB BAF=EAF，AE=AE EBAEAF AB=AF，B=1,F,1,2,ABCD B+C=180 1+2=180 2= C,FDE=EDC，DE=DE EFDEDC,DF=DC,AD=AF+FD =AB+DC=4,解法（二） 延长AE，交DC的延长线于M可证ADM为等腰三角形 得：AD=AB+DC =4,M,注：利用角平分线构造全等，此题中延长AE得到等腰常用,问题6.已知任意四边形ABCD的对角线不垂直，问在四边形内是否存在一点P使： APB=BPC， APE=CPE， 且APB APE,分析：考虑特殊情况：连结对角线BE，作AB关于BE的对称线段 BA1连结CA1并延长交BE于P即为所求。,A1,P,C1,P,