冯锡兰版工程力学课件10、扭转.ppt

1、10-1 扭转的概念和实例,10-2 扭转时的内力,10-3 薄壁圆筒的扭转,10-4 圆轴扭转时的应力,10-5 圆轴扭转时的变形,10-6 圆轴扭转时的强度和刚度计算,第十章 扭转,构件特征：等圆截面直杆圆轴。,受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。,变形特征：纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角(或 称剪应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对 转动，称为扭转角。,扭转的特征,10-1 扭转的概念和实例,扭转的实例,实例1 汽车传动轴,实例2 汽车方向盘轴,10-2 扭转时的内力,直接计算,1、外力偶矩计算,根据传动功率计算,受扭构件的内力矩如何？ 截面法,Me 是外力矩,根据平衡，截

2、面上有内力矩T扭矩,T,根据右手定则确定力矩矢的方向,力矩旋转方向,力矩矢方向,由此确定扭矩及外力矩的力矩矢方向,2 扭矩,扭矩正负规定,右手螺旋法则,右手拇指指向外法线方向为 正 + 右手拇指指向外法线反方向为 负 -,扭矩的正负号规定,按照右手螺旋法则，扭矩矢量的指向与截面外法线方向一致为正，反之为负。,截面,n,截面外法线,T,扭矩矢量,扭矩的计算及扭矩图的绘制,1、计算各外力矩的大小（已知功率和转速）；,2、将各外力矩采用右手螺旋定则绘出外力矩矢；,3、取各控制截面，预设扭矩矢（内力矩矢）为正方向，列平衡方程，计算扭矩矢的大小；,4、以轴线方向为横坐标，扭矩大小为纵坐标绘出扭矩图。,例

3、题3-1,某转动轴，转速n = 200 rpm, 主动轮输入功率为PA = 200 kW,三个从动轮输出功率分别为PB = 90 kW, PC = 50kW, PD = 60 kW 1、计算1-1 2-2 3-3截面的扭矩；2、画出扭矩图,解,首先计算各个外力矩的大小,将外力矩转换为力矩矢量,取1-1截面左侧分析,将截面上的扭矩设为正,列方程,T,1,取2-2截面左侧分析,列方程,M,B,T,2,x,B,C,M,C,取3-3截面右侧分析,列方程,由上述计算得到扭矩值,画扭矩图,课堂练习（时间 3分钟）,试画出下面轴的扭矩图,你做对了吗？,薄壁圆筒通常指 的圆筒,当其两端面上作用有外力偶矩时，任

4、一横截面上的内力偶矩扭矩(torque),10-3 薄壁圆筒的扭转,1、薄壁圆筒横截面上各点处切应力,推论： (1) 横截面保持为形状、大小未改变的平面，即横截面如 同刚性平面一样； (2) 相邻横截面只是绕圆筒轴线相对转动，横截面之间的距离未变。,横截面上的应力： (1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，且圆周上所有点处的切应力相同； (2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布； (3) 横截面上无正应力。,由 根据应力分布可知,，于是有,如图取单元体：,为保持单元体平衡，则其他几个面上应有什么应力？大小如何？,2 切应力互等定理,在两个相互垂直的平面上，

5、垂直于两平面交线的切应力必定成对存在，其数值相等，其方向或同时指向交线，或同时背离交线，这一规律成为 切应力互等定理。,单元体四个侧面均只有切应力而无正应力 纯剪切状态。,圆轴扭转时横截面上的应力状态是 纯剪切状态。,3、剪切胡克定律(Hookes law in shear),(1) 上述薄壁圆筒表面上每个格子的直角均改变了g，这种直角改变量称为切应变(shearing strain)。 该圆筒两个端面之间绕圆筒轴线相对转动了j角，这种角位移称为相对扭转角。,薄壁圆筒的扭转实验表明：当横截面上切应力t 不超过材料的剪切比例极限tp时，外力偶矩Me(数值上等于扭矩T )与相对扭转角j 成线性正比

6、例关系，从而可知t 与g 亦成线性正比关系：,这就是材料的剪切胡克定律，式中的比例系数G称为材料的切变模量(shear modulus)。 钢材的切变模量的约值为：G =80GPa,1、实验现象和平面假设,10-4 圆轴扭转时的切应力,平面假设: 圆周扭转变形前为平面的横截面，变形后仍为大小相等的平面，其半径仍保持直线，且相邻两个截面的距离不变。,由平面假设，圆轴无轴向线应变和横向线应变，因而可以认为横截面上无正应力，由于相对转动引起纵向线倾斜，倾斜角 g 为切应变，因此圆轴横截面上存在切应力。,1、实验现象和平面假设,2、横截面上切应力计算公式的推导 - 几何关系,其中 表示扭转角沿轴线长度

7、方向的变化率，而 称为相对扭转角。,同一截面上 为常数，因此 与 成正比,横截面上切应力计算公式的推导 - 物理关系,以 表示横截面上距圆心为 处的切应力，则胡克定律:,代入几何关系表达式,由于 发生在垂直于半径的平面内，所以 也应与半径垂直。,横截面上切应力计算公式的推导 - 静力学关系,微切力：,对圆心O 的微力矩,内力矩，扭矩 T,代入物理关系和几何关系：,取,Ip : 截面对圆心 O 的 极惯性矩,极惯性矩的单位: m4 mm4,截面上某点的切应力,该截面上的扭矩-内力矩,所求的点至圆心的距离,截面对圆心的极惯性矩,综合,对某一截面而言，Mx 为常数， Ip 也是常数，因此横截面上的切

8、应力是 r 的线性函数,圆心处 r = 0 t = 0,外表面 r = r max t = t max,取,Wt 截面的抗扭截面模量，单位 mm3 m3,按照上述公式，可以得到切应力的分布规律图,3、极惯性矩和抗扭截面模量的计算,空心圆截面:,例10-2,一传动轴如图,各段直径分别为 已知 (1)画出扭矩图,(2)求1,2,3截面的最大剪力.,解: 1做扭矩图,2计算应力,同理得,在谈到圆轴扭转切应力公式的推导（几何关系）时，相距为 dx 的两个相邻截面之间有相对转角dj,取,单位长度扭转角用来表示扭转变形的大小,单位长度扭转角的单位: rad/m,抗扭刚度,越大，单位长度扭转角越小,10-5

9、 圆轴扭转时的变形,在一段轴上，对单位长度扭转角公式进行积分，就可得到两端相对扭转角j 。,相对扭转角的单位: rad,当 为常数时：,请注意单位长度扭转角和相对扭转角的区别,同种材料阶梯轴扭转时:,解： 1. 各段轴的横截面上的扭矩：,例10-3 图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 Nm，M2 = 955 Nm，M3 = 637 Nm，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，钢的切变模量G = 80 GPa。试求横截面C相对于B的扭转角jCB(这里相对扭转角的下角标的注法与书上不同，以下亦如此)。,3. 横截面C相对于B的扭转角：,2. 各段轴的两

10、个端面间的相对扭转角：,1、强度计算,此处t为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即,铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。,10-6 圆轴扭转时的强度和刚度计算,例10-4 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。扭转力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力t =80 MPa。试校核该轴的强度。,BC段内,AB段内,解：1. 绘扭矩图,2. 求每段轴的横截面上的最大切应力,3. 校核强度,需要指

11、出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。,t2,max t1,max，但有t2,maxt = 80MPa，故该轴满足强度条件。,例题 10-5,某汽车传动轴，用45号无缝钢管制成，其外径 D =90mm, 壁厚 t =2.5mm,使用时最大扭矩为T =1500Nm，已知钢管允许的最大切应力为60MPa，问此轴是否满足设计要求？ 若此轴改为实心圆轴，并要求同样的最大切应力，那么实心轴的直径D1 应为多少？从此题中得到什么样的启发？,D =90mm, t =2.5mm, Tmax =1500Nm,1、抗扭截面模量,2、轴上最大切应力,3、若改为实心轴,分析:,实心圆截面面积:,空心圆截面面积:,重量比:,因此，在承载能力相同的条件下，使用空心轴要比使用实心轴节省材料，更加经济。,思考: 理论上为什么同等重量的空心轴要比实心轴抗扭能力强？,2、刚度计算,式中的许可单位长度扭转角j的常用单位是(/m)。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：,对于精密机器的轴j0.150.30 (/m)；,对于一般的传动轴j2 (/m)。,解: 1. 按强度条件求所需外直径D,例10-6 由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径