27函数与方程

1、要点梳理 1.函数的零点 （1）函数零点的定义 对于函数y=f(x)(xD),把使_成立的实数x叫 做函数y=f(x)(xD)的零点.,2.7 函数与方程,f(x)=0,基础知识 自主学习,（2）几个等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与_有 交点 函数y=f(x)有_. (3)函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数y=f(x)在区间a，b上的图象是连续不 断的一条曲线，并且有_,那么函 数y=f(x)在区间_内有零点,即存在c(a,b), 使得_，这个_也就是f(x)=0的根.,f（a）f（b）0,(a，b),f(c)=0,c,x轴,零点,2.二次函数y=ax2+b

2、x+c (a0)的图象与零点的关系,(x1,0), (x2,0),(x1,0),无,一个,两个,3.二分法 （1）二分法的定义 对于在区间a，b上连续不断且_的 函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区 间_,使区间的两个端点逐步逼近_,进 而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间a，b，验证_, 给定精确度 ； 第二步，求区间（a，b）的中点x1；,f(a)f(b)0,一分为二,零点,f(a)f(b)0,第三步，计算_： 若_，则x1就是函数的零点； 若_，则令b=x1 (此时零点x0(a,x1); 若_，则令a=x1

3、 (此时零点x0(x1,b); 第四步，判断是否达到精确度 ：即若|a-b| ,则 得到零点近似值a（或b）; 否则重复第二、三、四步.,f(x1),f(a)f(x1)0,f(x1)f(b)0,f(x1)=0,基础自测 1.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,则g(x)=bx2-ax的 零点是 （ ） A.0，2 B.0， C.0， D.2, 解析 由f(2)=2a+b=0,得b=-2a, g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). 令g(x)=0，得x=0,x= g（x）的零点为0，,C,2.函数f(x)=3ax-2a+1在-1，1上存在一个零点， 则a的取值范围是 （ ） A.

4、B.a1 C. D. 解析 f(x)=3ax-2a+1在-1，1上存在一个零点， 则f(-1)f(1)0,即,D,3.函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公 共点横坐标的是 （ ） 解析 图B不存在包含公共点的闭区间a，b使函 数f（a）f（b）0.,B,4.下列函数中在区间1,2上一定有零点的是（ ） A.f(x)=3x2-4x+5 B.f(x)=x3-5x-5 C.f(x)=mx2-3x+6 D.f(x)=ex+3x-6 解析 对选项D，f（1）=e-30， f（1）f（2）0.,D,5.设函数 则函数f(x)- 的零点是_. 解析 当x1时， 当x1时， (舍去大于1的根). 的零

5、点为,题型一 零点的判断 【例1】判断下列函数在给定区间上是否存在零点. (1)f（x）=x2-3x-18，x1，8； (2)f（x）=log2(x+2)-x，x1，3.,题型分类 深度剖析,解 （1）方法一 f（1）=12-31-18=-200， f(1) f(8)0， 故f(x)=x2-3x-18,x1，8存在零点. 方法二 令f(x)=0，得x2-3x-18=0,x1，8. (x-6)(x+3)=0，x=61，8,x=-31，8， f（x）=x2-3x-18，x1，8有零点.,(2)方法一 f（1）=log23-1log22-1=0, f(3)=log25-3log28-3=0, f（1

6、） f（3）0， 故f(x)=log2(x+2)-x,x1，3存在零点. 方法二 设y=log2(x+2),y=x,在同一直角坐标系 中画出它们的图象，,从图象中可以看出当1x3时， 两图象有一个交点， 因此f(x)=log2(x+2)-x, x1，3存在零点. 函数的零点存在性问题常用的办法 有三种:一是用定理，二是解方程,三是用图象.值得 说明的是，零点存在性定理是充分条件，而并非是 必要条件.,探究提高,知能迁移1 判断下列函数在给定区间上是否存 在零点. （1）f(x)=x3+1; （2） x（0，1）. 解 （1）f(x)=x3+1=(x+1)(x2-x+1), 令f(x)=0，即(

7、x+1)(x2-x+1)=0,x=-1, f(x)=x3+1有零点-1. （2）方法一 令f(x)=0， x=1, 而1 (0,1), x(0,1)不存在零点.,方法二 令 y=x,在同一平面直角坐标系中， 作出它们的图象,从图中可以看出当0x1时,两图象 没有交点. 故 x(0，1)没有零点.,题型二 函数零点个数的判断 【例2】求函数y=ln x+2x-6的零点个数.,解 在同一坐标系画出 y=ln x与y=6-2x的图象，由 图可知两图象只有一个交点, 故函数y=ln x+2x-6只有一个 零点. 若采用基本作图法，画出函数y=ln x+ 2x-6的图象求零点个数,则太冗长.构造新函数y

8、=ln x 与y=6-2x,用数形结合法求交点,则简洁明快.,探究提高,B,题型三 零点性质的应用 【例3】(12分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x0). (1)若g(x)=m有零点，求m的取值范围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)-f(x)=0有两个 相异实根. （1）可结合图象也可解方程求之. （2）利用图象求解.,思维启迪,解题示范 解 （1）方法一 等号成立的条件是x=e. 故g(x)的值域是2e，+)， 4分 因而只需m2e，则 g(x)=m就有零点. 6分 方法二 作出 的图象如图： 4分 可知若使g(x)=m有零点，则只需m2e. 6分,方法

9、三 解方程由g（x）=m，得x2-mx+e2=0. 此方程有大于零的根， 4分 等价于 故m2e. 6分 (2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根， 即g（x）=f（x）中函数g（x）与f（x）的图象有两个 不同的交点，,作出 （x0）的图象. f（x）=-x2+2ex+m-1 =-(x-e)2+m-1+e2. 其对称轴为x=e，开口向下， 最大值为m-1+e2. 10分 故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时， g(x)与f(x)有两个交点， 即g(x)-f(x)=0有两个相异实根. m的取值范围是（-e2+2e+1,+). 12分,此类利用零点求参数的范围的问题，可 利用方程，

10、但有时不易甚至不可能解出，而转化为构 造两函数图象求解,使得问题简单明了.这也体现了 当不是求零点，而是利用零点的个数，或有零点时求 参数的范围，一般采用数形结合法求解.,探究提高,知能迁移3 是否存在这样的实数a,使函数f(x)=x2+ (3a-2)x+a-1在区间-1,3上与x轴恒有一个零点, 且只有一个零点.若存在,求出范围,若不存在,说 明理由. 解 =(3a-2)2-4(a-1)0 若实数a满足条件,则只需f(-1)f(3)0即可. f(-1)f(3)=(1-3a+2+a-1)(9+9a-6+a-1) =4(1-a)(5a+1)0. 所以a 或a1.,检验:(1)当f(-1)=0时，

11、a=1.所以f(x)=x2+x. 令f(x)=0，即x2+x=0，得x=0或x=-1. 方程在-1,3上有两根，不合题意，故a1. (2)当f(3)=0时，a= 解之得x= 或x=3. 方程在-1,3上有两根,不合题意,故a 综上所述,a1.,1.函数零点的判定常用的方法有：零点存在性定 理；数形结合；解方程f（x）=0. 2.研究方程f(x)=g(x)的解，实质就是研究G(x)= f（x）-g（x）的零点. 3.二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法.其 实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在 的范围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的 任一点就是这个函数零点的近似值.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,1.对于函数y=f(x)(xD),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数的零点,注意以下几点: (1)函数的零点是一个实数,当函数的自变量取这个 实数时,其函数值等于零.